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素材/微分中值定理的不等式问题.md

@@ -15,11 +15,9 @@
 ### 法二：直接对所得结果进行放缩
 
 
-## 例一
-设 $e < a < b < e^2$，证明：
-$$
-\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).
-$$
+>[!example] 例1
+设 $e < a < b < e^2$，证明：$$
+\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).$$
 
 **证明**：  
 考虑函数 $f(x) = \ln^2 x$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
@@ -44,11 +42,9 @@ $$
 \ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).
 $$
 证毕。
-## 例2
-设 $a > e$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：
-$$
-a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.
-$$
+>[!example] 例2
+设 $a > e$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：$$
+a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
 
 **证明**：  
 令 $f(t) = a^t$，则 $f(t)$ 在 $[x, y]$ 上连续，在 $(x, y)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x, y)$，使得
@@ -57,11 +53,9 @@ $$
 $$
  $$\frac{a^\xi \ln a}{\sin \xi }>a^\xi \ln a>a^x \ln a$$
  证毕
-## 例3
-证明：当 $x>0$ 时，
-$$
-\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.
-$$
+>[!example] 例3
+证明：当 $x>0$ 时，$$
+\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$
 
 **证明**：  
 考虑函数 $f(t) = \arctan t$ 与 $g(t) = \ln(1+t)$，两者在 $[0, x]$ 上连续，在 $(0, x)$ 内可导，且 $g'(t) = \frac{1}{1+t} \neq 0$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in (0, x)$，使得
@@ -88,16 +82,9 @@ $$
 $$
 等号在 $\xi = \sqrt{2} - 1$ 时成立，即存在 $x > 0$ 使等号成立。证毕。
 
-## 例3
-  
+>[!example] 例4
 (1) 证明：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;  
-(2) 证明不等式 
-$$
-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right),
-$$ 
-其中 $n$ 为正整数。
-
-## 解答
+(2) 证明不等式 $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。
 
 **证明**  
 （1）对 $x > 0$ 定义函数 $f(t) = \ln(1+t), t \in \left[\frac{x}{2}, x\right]$,