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编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -414,8 +414,8 @@ $$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
 
 
 >[!example] 例1
-设 $e < a < b < e^2$，证明：$$
-\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).$$
+设 $e < a < b < \text{e}^2$，证明：$$
+\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{\text{e}^2}(b-a).$$
 
 **证明**：  
 考虑函数 $f(x) = \ln^2 x$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
@@ -426,18 +426,19 @@ $$
 $$
 g'(x) = \frac{2(1-\ln x)}{x^2}.
 $$
-当 $x > e$ 时，$\ln x > 1$，故 $g'(x) < 0$，即 $g(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减。  
-由于 $e < a < \xi < b < e^2$，所以
+当 $x > \text{e}$ 时，$\ln x > 1$，故 $g'(x) < 0$，即 $g(x)$ 在 $(\text{e}, +\infty)$ 上单调递减。  
+由于 $\text{e} < a < \xi < b < \text{e}^2$，所以
 $$
-g(\xi) > g(e^2) = \frac{2\ln e^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}.
+g(\xi) > g(\text{e}^2) = \frac{2\ln 
+\text{e}^2}{\text{e}^2} = \frac{4}{\text{e}^2}.
 $$
 因此
 $$
-\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} > \frac{4}{e^2},
+\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} > \frac{4}{\text{e}^2},
 $$
 即
 $$
-\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).
+\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{\text{e}^2}(b-a).
 $$
 证毕。
 >[!example] 例2
@@ -481,12 +482,12 @@ $$
 等号在 $\xi = \sqrt{2} - 1$ 时成立，即存在 $x > 0$ 使等号成立。证毕。
 
 >[!example] 例4
-(1) 证明：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;  
-(2) 证明不等式 $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \text{e}\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。
+(1) 证明：存在 $\displaystyle\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;  
+(2) 证明不等式 $$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \text{e}\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。
 
 **证明**  
-（1）对 $x > 0$ 定义函数 $f(t) = \ln(1+t), t \in \left[\frac{x}{2}, x\right]$,  
-由拉格朗日中值定理知：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得  
+（1）对 $x > 0$ 定义函数 $\displaystyle f(t) = \ln(1+t), t \in \left[\frac{x}{2}, x\right]$,  
+由拉格朗日中值定理知：存在 $\displaystyle \theta \in (0, 1)$ 使得  
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -496,9 +497,9 @@ f(x) - f\left(\frac{x}{2}\right) &= \ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) \\
 \end{aligned}
 $$
 
-（2）不等式两边取对数，可知仅证明 $(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$ 即可。  
+（2）不等式两边取对数，可知仅证明 $\displaystyle(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$ 即可。  
 
-令 $F(x) = x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right) - (x+1)\ln(1+x), x \geq 0$，则由（1）知  
+令 $\displaystyle F(x) = x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right) - (x+1)\ln(1+x), x \geq 0$，则由（1）知  
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -509,9 +510,9 @@ F'(x) &= 1 + \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} + \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) -
 \end{aligned}
 $$
 
-因此 $F(x) > F(0) = 0, x > 0$。即 $(x+1)\ln(1+x) < x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right), x > 0$。  
+因此 $F(x) > F(0) = 0, x > 0$。即 $\displaystyle(x+1)\ln(1+x) < x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right), x > 0$。  
 
-令 $x = \frac{1}{n}$，则有 $(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$。因此对任意正整数 $n$ 有不等式  
+令 $\displaystyle x = \frac{1}{n}$，则有 $\displaystyle (n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$。因此对任意正整数 $n$ 有不等式  
 
 $$
 \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \text{e}\left(1+\frac{1}{2n}\right)