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@ -217,7 +217,7 @@ $$
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- $\displaystyle \lim_{\square \to 0} (1+\square)^{1/\square} = e$
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### 3.3 使用技巧
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1. **识别结构**：寻找$\frac{\sin(\text{无穷小})}{\text{相同的无穷小}}$或$\frac{e^{\text{无穷小}}-1}{\text{相同的无穷小}}$的形式
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1. **识别结构**：寻找$\displaystyle\frac{\sin(\text{无穷小})}{\text{相同的无穷小}}$或$\displaystyle\frac{e^{\text{无穷小}}-1}{\text{相同的无穷小}}$的形式
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2. **变量代换**：令$t = \text{无穷小表达式}$，化为标准形式
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3. **恒等变形**：利用对数、指数等恒等式转化
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@ -330,15 +330,15 @@ $$
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在乘积和商的极限运算中，可以将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，简化计算。
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### 4.2 常用等价无穷小（$x\to 0$）
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| 等价形式 | 条件 |
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| $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ | 基础等价 |
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| $x \sim e^x-1 \sim \ln(1+x)$ | 指数对数等价 |
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| $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | 三角函数等价 |
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| $(1+x)^a-1 \sim ax$ | 幂函数等价 |
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| $a^x-1 \sim x\ln a\ (a>0)$ | 指数函数等价 |
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| $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ | 高阶等价 |
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| $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ | 高阶等价 |
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| 等价形式 | 条件 |
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| --------------------------------------------------------- | ------ |
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| $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ | 基础等价 |
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| $x \sim e^x-1 \sim \ln(1+x)$ | 指数对数等价 |
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| $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | 三角函数等价 |
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| $(1+x)^a-1 \sim ax$ | 幂函数等价 |
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| $a^x-1 \sim x\ln a\ (a>0)$ | 指数函数等价 |
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| $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ | 高阶等价 |
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| $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ | 高阶等价 |
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### 4.3 使用原则
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1. **乘除运算可直接替换**
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