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试卷库/线性代数期末真题/线代2015秋A.md

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+# 国防科技大学2015-2016学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
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+**考试形式：闭卷**  
+**考试时间：150分钟**  
+**满分：100分**
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+## 一、单选题（每小题3分，共18分）
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+1. 设$A,B$均为$n$阶方阵，则下列结论中错误的是（ ）。
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+   - (A)$|A| = |A^{\mathrm{T}}|$
+   - (B)$|A^{2} - B^{2}| = |A|^{2} - |B|^{2}$
+   - (C)$|AB| = |BA|$
+   - (D)$|AB^{2}| = |B^{2}A|$
+
+2. 设$A$为$n$阶方阵，且$\operatorname{rank}(A) = r < n$，那么在$A$的$n$个行向量中（ ）。
+
+   - (A) 任意$r + 1$个行向量线性相关  
+   - (B) 至少有一个零向量  
+   - (C) 任意$r$个行向量线性无关  
+   - (D) 每个行向量可由其余$n - 1$个线性表出
+
+3. 设矩阵  
+$$
+   A = \begin{bmatrix}
+   1 & -3 & 0 \\
+   2 & -6 & 0 \\
+   1 & -3 & t
+   \end{bmatrix},
+$$
+   如果$B$是三阶非零矩阵且$AB = 0$，则（ ）。
+
+   - (A) 当$t = -2$时，$B$的秩为2  
+   - (B) 当$t = 0$时，$B$的秩为2  
+   - (C) 当$t = -1$时，$B$的秩为1  
+   - (D) 当$t \neq 0$时，$B$的秩为2
+
+4. 关于$n$阶实对称矩阵$A$的下列条件中，哪个不是$A$为正定矩阵的充分必要条件？（ ）
+
+   - (A) 相似于主对角线元素全为正的对角矩阵  
+   - (B) 负惯性指数为0  
+   - (C) 相应的二次型是正定的  
+   - (D) 存在可逆实矩阵$C$使$A = C^{\mathrm{T}}C$
+
+5. 设$e_1, e_2$和$e_1', e_2'$是线性空间$\mathbb{R}^2$的两组基，并且已知关系式$e_1' = e_1 + 5e_2,\ e_2' = e_2$，则由基$e_1, e_2$到基$e_1', e_2'$的过渡矩阵是（ ）。
+
+   - (A)$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$
+   - (B)$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -6 & 0 \end{bmatrix}$
+   - (C)$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}$
+   - (D)$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$
+
+6. 如果三阶方阵$A$的特征值为$1, -3, 3$，则$-A + 3A^{-1}$的特征值为（ ）。
+
+   - (A)$-2, -2, 2$
+   - (B)$2, -2, 2$
+   - (C)$1, 1, -3$
+   - (D)$2, 2, -2$
+
+---
+
+## 二、填空题（每空3分，共18分）
+
+1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2}$均为2维行向量，记矩阵  
+$$
+   A = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \end{bmatrix},\ 
+   B = \begin{bmatrix} -\alpha_{2} \\ 3\alpha_{1} - 3\alpha_{2} \end{bmatrix}.
+$$
+   如果$|A| = 3$，那么行列式$|B| =$__________。
+
+2. 如果向量$(6, -3)^{\mathrm{T}}$不能由向量组$(a, -1)^{\mathrm{T}}, (-a - 2, a)^{\mathrm{T}}$线性表出，则参数$a =$__________。
+
+3. 已知矩阵$\begin{bmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$的逆矩阵为$\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$，可确定参数$x =$__________。
+
+4. 若实对称矩阵$\begin{bmatrix} 3 & a \\ a & 2 \end{bmatrix}$是正定矩阵，则参数$a$满足条件 __________。
+
+5. 设$e_{1},e_{2}$是线性空间$\mathbb{R}^{2}$的基，如果$x e_{2} - 3e_{1}, e_{2} - e_{1}$也是$\mathbb{R}^{2}$的基，则参数$x$满足条件 __________。
+
+6. 设$n$阶非零方阵$A$满足$3A^{2} - 2A = 0$，则$A$的全部不同特征值可能是 __________。
+
+---
+
+## 三、（10分）设$x_{k} = a + bk\ (k = 0,1,2,\dots ,n - 1)$，计算$n$阶行列式的值
+
+$$
+\Delta_{n} = \begin{vmatrix}
+x_{0} & x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n - 1} \\
+x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{0} \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+x_{n - 1} & x_{0} & x_{1} & \dots & x_{n - 2}
+\end{vmatrix}.
+$$
+
+---
+
+## 四、（10分）设有$n$元线性方程组$Ax = b$，其中
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+2a & a & 0 & \cdots & 0 \\
+a & 2a & a & \cdots & 0 \\
+0 & a & 2a & \cdots & 0 \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+0 & 0 & 0 & \cdots & 2a
+\end{bmatrix}, \quad 
+b = \begin{bmatrix}
+1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+（1）证明：行列式$|A| = (n + 1)a^{n}$；  
+（2）当$a$为何值时，该方程组有唯一解？在有唯一解时，求$x_{2}$；  
+（3）当$a$为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
+
+---
+
+## 五、（8分）已知向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{r}$与向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{r},\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{s}$有相同的秩。证明：向量组$\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{s}$可由向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{r}$线性表出。
+
+---
+
+## 六、（10分）设$A, B, C$均为2阶方阵，其中$A, B$为可逆矩阵。求分块矩阵
+
+$$
+M = \begin{bmatrix} 0 & A \\ B & C \end{bmatrix}
+$$
+
+的逆矩阵$M^{-1}$和伴随矩阵$M^{*}$。
+
+---
+
+## 七、（12分）设$A$为3阶方阵，$\alpha_{1},\alpha_{2}$分别是$A$的属于特征值$-2, -3$的特征向量，向量$\alpha_{3}$满足
+
+$$
+A\alpha_{3} = 2\alpha_{1} + 3\alpha_{2} - 2\alpha_{3}.
+$$
+
+（1）证明：$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关；  
+（2）令$P = [\alpha_{1}\ \alpha_{2}\ \alpha_{3}]$为3阶方阵，求$P^{-1}AP$。
+
+---
+
+## 八、（14分）
+
+（1）设  
+$$
+J_{3} = \begin{bmatrix}
+0 & 0 & 0 \\
+1 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0
+\end{bmatrix},
+$$
+求出所有与$J_{3}$可交换的矩阵。  
+
+（2）用$J_{n}$表示$n$阶矩阵  
+$$
+J_n = \begin{bmatrix}
+0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+0 & 0 & \cdots & 1 & 0
+\end{bmatrix},
+$$
+证明：与$J_{n}$可交换的矩阵必是下三角矩阵。  
+
+（3）用$\operatorname{comm}(J_{n})$表示所有与$J_{n}$可交换的矩阵组成之集合，证明$\operatorname{comm}(J_{n})$是线性空间$\mathbb{R}^{n\times n}$的一个线性子空间，并求其维数。
+
+---
+
+## 参考答案
+
+### 一、单选题
+1. B  
+2. A  
+3. C  
+4. B  
+5. D  
+6. D  
+
+### 二、填空题
+1.$9$
+2.$1$
+3.$2$
+4.$|a| < \sqrt{6}$
+5.$x \neq 3$
+6.$0, \dfrac{2}{3}$
+
+### 三、解答
+$$
+\Delta_{n} = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}} \left(a + \frac{n - 1}{2} b\right) (b n)^{n - 1}.
+$$
+
+### 四、解答
+（1）证明略；  
+（2）当$a \neq 0$时，方程组有唯一解，此时$x_2 = \dfrac{1 - n}{1 + n}$；  
+（3）当$a = 0$时，方程组有无穷多解，通解为  
+$$
+x = (0,1,0,\dots ,0)^{\mathrm{T}} + k (1,0,0,\dots ,0)^{\mathrm{T}}, \quad k \in \mathbb{R}.
+$$
+
+### 五、证明略
+
+### 六、解答
+$$
+M^{-1} = \begin{bmatrix} -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{bmatrix}, \quad 
+M^{*} = \begin{bmatrix} -B^{*}CA^{*} & |A|B^{*} \\ |B|A^{*} & 0 \end{bmatrix}.
+$$
+
+### 七、解答
+（1）证明略；  
+（2）
+$$
+P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
+-2 & 0 & 2 \\
+0 & -3 & 3 \\
+0 & 0 & -2
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+### 八、解答
+（1）所有与$J_3$可交换的矩阵形如  
+$$
+\begin{bmatrix}
+a & 0 & 0 \\
+b & a & 0 \\
+c & b & a
+\end{bmatrix}, \quad a,b,c \in \mathbb{R}.
+$$
+（2）证明略；  
+（3）$\operatorname{comm}(J_n)$是线性子空间，维数为$n$。
+
+---
+
+**注意：**  
+1. 请先填好密封线左边的内容，不得在其它任何地方作标记。  
+2. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上一律无效。