From 04e3942a6d9bdab983703fe0d824467d994a48f0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Fri, 16 Jan 2026 18:28:15 +0800 Subject: [PATCH 1/3] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E7=9A=84=E6=96=87?= =?UTF-8?q?=E4=BB=B6=EF=BC=9A=E5=BE=AE=E5=88=86=E4=B8=AD=E5=80=BC=E5=AE=9A?= =?UTF-8?q?=E7=90=86?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 编写小组/讲义/微分中值定理.md | 726 ++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 726 insertions(+) create mode 100644 编写小组/讲义/微分中值定理.md diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理.md b/编写小组/讲义/微分中值定理.md new file mode 100644 index 0000000..520d07a --- /dev/null +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理.md @@ -0,0 +1,726 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- +**内部资料，禁止传播** +**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁 + +## **辅助函数的构造方法** + +### **原理** + +在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导后的结果**。 + +### **常见构造类型** + +#### 1. 乘积型与商型 +若结论形如： +$$ +f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0 +$$ +可构造辅助函数： +$$ +F(x) = f(x)g(x) +$$ +若结论形如： +$$ +f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0 +$$ +可构造辅助函数： +$$ +F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x) \neq 0) +$$ + +#### 2. 含幂函数因子 +若结论形如： +$$ +n f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0 +$$ +可构造辅助函数： +$$ +F(x) = x^n f(x) +$$ + +#### 3. 一阶线性微分结构 +若结论形如： +$$ +f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0 +$$ +可构造积分因子： +$$ +\mu(x) = e^{\int P(x)\mathrm{d}x} +$$ +并设辅助函数： +$$ +F(x) = \mu(x) f(x) +$$ + +注意：2和3两种结构的区别在于 +2是 $\xi$ 与导函数相乘，并且只能是1次 +3是 $\xi$ 与函数相乘，并且可以是各种形式 + +#### 4. 对数型 +若结论形如： +$$ +\frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = k +$$ +可构造辅助函数： +$$ +F(x) = \ln|f(x)| - kx +$$ + +#### 5. 常数变指数 +若结论形如： +$$ +f'(\xi) = \lambda f(\xi) +$$ +可构造辅助函数： +$$ +F(x) = e^{-\lambda x} f(x) +$$ +或者写成： +$$ +f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0 +$$ +则构造辅助函数： +$$ +F(x) = e^{\lambda x} f(x) +$$ + +注：5实际上是3的 $P(\xi)=\lambda$ 的特殊情况 +4和5本质是一样的，根据题目的具体情况选择，5的形式可能更常见、更好用 + +--- + +### **例题**（先看完后面的知识再做这个） + +>[!example] 例1 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。 +证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$ + +**解析**： +将结论改写为： +$$ +f'(\xi) - 2\xi f(\xi) = 0 +$$ +属于一阶线性微分结构，其中 $P(x) = -2x$。 +积分因子为： +$$ +\mu(x) = e^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = e^{-x^2} +$$ +构造辅助函数： +$$ +F(x) = e^{-x^2} f(x) +$$ +则 $F(0) = 0$，$F(1) = e^{-1}$。 +需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。 + +>[!example] 例2 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。 +证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例3 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{1-x} f(x) dx$ +证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +## **罗尔定理** + +### **原理** +若函数 f(x) 满足以下三个条件： +在闭区间 $[a,b]$ 上连续； +在开区间 $(a,b)$ 内可导； +区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$； +则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。 +罗尔定理的几何意义为：满足条件的函数曲线在区间内至少有一条水平切线。 +它是拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$）当 $f(a)=f(b)$ 时的特例。 + +### **适用条件** +罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。 +具体可分为以下几类： +1.直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根 +题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。 +2.构造辅助函数证明导函数相关方程有根 +对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。 +3.结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在 +若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。 +4.证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理） +若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。 + +罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数 + +### **例题** +>[!example] 例1 +设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。 + +```text + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例2 +设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 +$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$ +试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。 + + +```text + + + + + + + + + + + + + +``` + + +>[!example] 例3 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足 +$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明： +(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$； +(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。 + +```text + + + + + + + + + + + + + +``` +## **拉格朗日中值定理** +### **原理** +若函数 f(x) 满足两个条件: +在闭区间 $[a,b]$ 上连续； +在开区间 $(a,b)$ 内可导； +则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 +$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ +也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。 +是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。 + +### **适用条件** +拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。 + +### **例题** + +>[!example] 例1 +设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且 +$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。 + +```text + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例2 +设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有 +$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + + +>[!example] 例3 + 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。 +（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得 + $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$ + （2）求 + $$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +## **柯西中值定理** + +### **原理** + +设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件： +1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续； +2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导； +3. 对任意 $x \in (a, b)$，有 $g'(x) \neq 0$； +则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得： + +$$ +\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} +$$ + +柯西中值定理的几何意义为：由参数方程 $(g(t), f(t))$ 表示的曲线，在两点间的割线斜率等于曲线上某点切线的斜率。 + +它与拉格朗日中值定理的关系为：当 $g(x) = x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。它是处理两个函数之间微分中值关系的通用形式。 + +### **适用条件** + +柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。 + +常见应用方向包括： +1. 直接证明存在性等式； +2. 通过函数配对，将目标等式转化为柯西中值定理的标准形式； +3. 处理“双中值问题”，常与拉格朗日中值定理结合使用。 + +### **例题** + +>[!example] 例1 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得： +$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) \cdot \frac{\ln(b/a)}{b-a}$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例2 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在不同的 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得： +$$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例3 +设 $0 < a < b$，证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得： +$$f(b)-f(a) = \frac{3\xi^2}{a^2+ab+b^2} f'(\xi)(b-a)$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +## 多次运用中值定理 + +多次运用中值定理一般有如下特征： +1. 有多个中值（如$\xi,\eta$两个中值）； +2. 有二阶导出现。 +这种题目一般会比较难，而且通常要结合其他方法，比如反证法、构造函数等。 + +多次用中值定理又分为两种： +1. 在同一区间（或一个区间包含另一个区间）上用不同的中值定理； +2. 在相邻区间上对原函数和导函数用同一个（也可能是不同的）中值定理。 + +>[!example] 例1 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得 $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例2 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。 + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例3 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足 +$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明： +(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$； +(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。 + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +**题后总结：** + 1. 注意观察要证等式的形式，如果需要用到中值定理，就看看应该是哪个中值定理，比如等于某个确定的值一般就是罗尔，有多个函数（有些比较隐蔽，尤其是幂函数）一般是柯西，其他一些奇奇怪怪的情况基本上是拉格朗日 + 2. 注意分析和综合相结合的方法，从结论向前推一推，推不动了再从条件往后推一推，这是证明题的很重要的思路 + 3. 数形结合可以给我们很大的信心并提供思路，但是也要小心用 + +## 微分中值定理证明不等式的要点归纳 + +### 识别不等式结构 + - 若不等式形如 $f(b) - f(a)$ 与 $b-a$ 的关系，或含有函数值差与自变量差之商，可考虑**拉格朗日中值定理**。 + +### 选择合适定理与辅助函数 + - **拉格朗日定理**：常用于"单函数"差值型不等式，构造 $f(x)$ 使 $f'(\xi)$ 出现在不等式中。 + - **柯西定理**：适用于"双函数"比值型不等式，构造 $f(x), g(x)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 出现。 + - **辅助函数构造**：常借助常见函数如 $\ln x, e^x, x^n, \arctan x, \sin x, \cos x$ 等，通过求导形式匹配目标。 + +### 法一：利用导数单调性估计中值 + - 应用中值定理得到含 $\xi$ 的表达式后，可以通过函数极值的求法求出其最大最小值进行比较 + +### 法二：直接对所得结果进行放缩 + + +>[!example] 例1 +设 $e < a < b < e^2$，证明：$$ +\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例2 +设 $a > e$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：$$ +a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例3 +证明：当 $x>0$ 时，$$ +\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例4 +(1) 证明：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$; +(2) 证明不等式 $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。 + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +经过对近十年的期末测试题的观察，微分中值定理通常不会单独出题，而是与积分中值定理一起出，本模块旨在通过几道经典的题目，让同学们熟悉微分中值与定积分中值的综合运用。 +首先我们来回顾定积分中值定理： + +>[!note] 定理 +>如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在积分区间$[a,b]$上至少有一点$\xi$，使 +>$$\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)\qquad(a\le\xi\le b)$$ + +这类题的识别特征是： +1. 出现积分号 +2. 证明存在 $\xi$ 使得…… + +>[!example] 例题1 +>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\large{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$. 证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$ + +```text + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例题2 +>设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\large{\int}_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.证明：至少存在一点$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=\frac{2}{2-\xi}f(\xi)$ + +```text + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例题3 +>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$$3\int_{\frac{2}{3}}^1f(x)\mathrm{d}x=f(0).$$证明存在$c\in(0,1)$，使得$f'(c)=0$. + +```text + + + + + + + + + + +``` \ No newline at end of file From 06db5fd5191ecdfb28c7e1b994978de7aaaf3e24 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Sat, 17 Jan 2026 08:18:28 +0800 Subject: [PATCH 2/3] vault backup: 2026-01-17 08:18:27 --- 编写小组/讲义/微分中值定理.md | 2 +- 编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md | 2 +- 2 files changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理.md b/编写小组/讲义/微分中值定理.md index 520d07a..3493a06 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理.md @@ -95,7 +95,7 @@ $$ ### **例题**（先看完后面的知识再做这个） >[!example] 例1 -设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=0$。 证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$ **解析**： diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md index 5b60613..53d208c 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -95,7 +95,7 @@ $$ ### **例题**（先看完后面的知识再做这个） >[!example] 例1 -设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=0$。 证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$ **解析**： From 7ea644786dd628a59a256c760f6d9b9941bd1f1e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Sat, 17 Jan 2026 08:33:52 +0800 Subject: [PATCH 3/3] vault backup: 2026-01-17 08:33:52 --- 编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md index 53d208c..583c8b2 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -136,7 +136,7 @@ $$ --- >[!example] 例3 -设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{1-x} f(x) dx$ +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$ 证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$ **解析**：