|
|
|
|
@ -616,20 +616,20 @@ Trivia: 魔法六边形
|
|
|
|
|
另外，此题解析等所有说明都不要删除，保留一种探索感%%
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!todo] 示例
|
|
|
|
|
>已知函数 $f(x), g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) > 0$，则极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm \text dx$ 的值为$\underline{\qquad}.$
|
|
|
|
|
>已知函数 $f(x), g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) > 0$，则极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\text dx$ 的值为$\underline{\qquad}.$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!fail] 错解
|
|
|
|
|
>由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由最值定理，存在 $m,M>0$，使得 $m\leqslant f(x)\leqslant M,$ 故$$\sqrt[n]{m} \int_a^b g(x)\mathrm \text dx \leqslant \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm \text dx \leqslant \sqrt[n]{M} \int_a^b g(x)\mathrm \text dx.$$又有 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1$，所以由夹逼定理知$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm \text dx = \int_a^b g(x)\mathrm \text dx.$$
|
|
|
|
|
>由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由最值定理，存在 $m,M>0$，使得 $m\leqslant f(x)\leqslant M,$ 故$$\sqrt[n]{m} \int_a^b g(x)\text dx \leqslant \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\text dx \leqslant \sqrt[n]{M} \int_a^b g(x)\text dx.$$又有 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1$，所以由夹逼定理知$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\text dx = \int_a^b g(x)\text dx.$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!summary] 题后总结
|
|
|
|
|
>这道题很妙，妙在想到用夹逼定理。但是这是怎么想到的呢？
|
|
|
|
|
>我们观察一下极限的形式：有一个开 $n$ 次根号。这会让我们想到这样一个极限：$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1,a\gt0.$$从而可以用放缩和夹逼定理做出这道题……吗？
|
|
|
|
|
>不对，我们再看一下这个不等式：$$\sqrt[n]{m} \int_a^b g(x)\mathrm \text dx \leqslant \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm \text dx \leqslant \sqrt[n]{M} \int_a^b g(x)\mathrm \text dx,$$它真的成立吗？并不，题中没有给出 $g(x)\gt0$ 的条件，甚至连 $g(x)$ 保持同号的条件都没有，所以并不成立。那么应该怎么做呢？下面给出一种思路。
|
|
|
|
|
>不对，我们再看一下这个不等式：$$\sqrt[n]{m} \int_a^b g(x)\text dx \leqslant \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\text dx \leqslant \sqrt[n]{M} \int_a^b g(x)\text dx,$$它真的成立吗？并不，题中没有给出 $g(x)\gt0$ 的条件，甚至连 $g(x)$ 保持同号的条件都没有，所以并不成立。那么应该怎么做呢？下面给出一种思路。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!done] 正解
|
|
|
|
|
>仍然利用 $f(x)$ 的最值和这个极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1,a\gt0.$
|
|
|
|
|
>考虑差$\displaystyle\int_a^bg(x)\sqrt[n]{f(x)}\text dx-\int_a^bg(x)\text dx=\int_a^bg(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)\text dx.$
|
|
|
|
|
>由于我们不清楚 $g(x)$ 的符号，所以考虑绝对值 $$\int_a^b|g(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)|\text dx.$$由于 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以它必定有界，即存在正数 $G\gt0$，使得 $|g(x)|\leqslant G,$ 故$$0\leqslant\int_a^b|g(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)|\text dx\leqslant G\int_a^b|\sqrt[n]{f(x)}-1|\text dx.$$由于 $\displaystyle\sqrt[n]m-1\leqslant \sqrt[n]{f(x)}-1\leqslant\sqrt[n]M-1,$ 所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f(x)}-1=0,$ 从而 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\sqrt[n]{f(x)}-1|=0,$ 故$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_a^bG|\sqrt[n]{f(x)}-1|=0\qquad(*),$$由夹逼定理知$$\int_a^b|g(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)|\text dx=0,$$故$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm \text dx = \int_a^b g(x)\mathrm \text dx.$$
|
|
|
|
|
>由于我们不清楚 $g(x)$ 的符号，所以考虑绝对值 $$\int_a^b|g(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)|\text dx.$$由于 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以它必定有界，即存在正数 $G\gt0$，使得 $|g(x)|\leqslant G,$ 故$$0\leqslant\int_a^b|g(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)|\text dx\leqslant G\int_a^b|\sqrt[n]{f(x)}-1|\text dx.$$由于 $\displaystyle\sqrt[n]m-1\leqslant \sqrt[n]{f(x)}-1\leqslant\sqrt[n]M-1,$ 所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f(x)}-1=0,$ 从而 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\sqrt[n]{f(x)}-1|=0,$ 故$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_a^bG|\sqrt[n]{f(x)}-1|=0\qquad(*),$$由夹逼定理知$$\int_a^b|g(x)(\sqrt[n]{f(x)}-1)|\text dx=0,$$故$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\text dx = \int_a^b g(x)\text dx.$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!summary] 题后总结
|
|
|
|
|
>上述方法是怎么想到的呢？其实，我先用画图软件大致确定了答案应该是 $\displaystyle\int_a^bg(x)\text dx,$ 然后想：不知道符号的处理办法应该是加绝对值。但是加绝对值会有这样一个问题：$\displaystyle\lim f(x)=a\Rightarrow \lim |f(x)|=|a|,$ 但 $\displaystyle\lim |f(x)|=|a|\nRightarrow \lim f(x)=a$。但有一种特殊情况：<span style='color: blue'>如果</span> $\color{blue}a=0,$ <span style='color: blue'>那么反过来也是成立的</span>。所以可以考虑被积函数和结果式子的差，这样就可以让极限值为 $0$，从而可以得出结论了。
|
|
|
|
|
|
