From 3675c3adcf79d63bbd341c0fe91bf513b9c6a104 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Tue, 20 Jan 2026 00:53:36 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?A=20=E8=AF=95=E5=8D=B7=E5=BA=93/=E7=BA=BF?= =?UTF-8?q?=E6=80=A7=E4=BB=A3=E6=95=B0=E6=9C=9F=E6=9C=AB=E7=9C=9F=E9=A2=98?= =?UTF-8?q?/=E7=BA=BF=E4=BB=A32022=E7=A7=8BB.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../线代2022秋B.md | 52 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 52 insertions(+) create mode 100644 试卷库/线性代数期末真题/线代2022秋B.md diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2022秋B.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2022秋B.md new file mode 100644 index 0000000..672f202 --- /dev/null +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2022秋B.md @@ -0,0 +1,52 @@ +## 一、单选题（共6小题，每小题3分） +1. 已知 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 A_{ij}=3c$，则$\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$ + A. $4c$ + B. $2c$ + C. $c$ + D. $-2c$ +2. 设 $\boldsymbol A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，$\boldsymbol B=\mathbb{R}^{n\times m}$，且 $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，则 + A. 当 $n>m$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 仅有零解. + B. 当 $n>m$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 必有非零解. + C. 当 $m>n$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 仅有零解. + D. 当 $m>n$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 必有非零解. +3. 关于 $n$ 维向量组 ${\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m}$，下列结论正确的是 + A. 若 $mn$ +4. 已知五阶非零方阵 $\boldsymbol A$ 满足 $\boldsymbol A^2=\boldsymbol O$，则线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol 0$ 的解空间维数可能是 + A. $1$ + B. $2$ + C. $4$ + D. 以上都不对 +5. 设 $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 是方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$，则下列结论错误的是 + A. 向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$ 线性无关 + B. $\lambda_1=0$ 时向量组 $\boldsymbol\alpha_1, \boldsymbol A(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)$ 线性无关 + C. $\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2$ 不是 $\boldsymbol A$ 的特征向量 + D. $\lambda_2=0$ 时向量组 $\boldsymbol\alpha_1, \boldsymbol A(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)$ 线性无关 +6. 已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $A$ 相似但不合同的是 + A. $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$ + B. $\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ + C. $\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}$ + D. $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ +## 二、填空题（共6小题，每小题3分） +1. 设行列式 $D=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\a&1&1&1&1\\1&b&1&1&1\\1&1&c&1&1\\1&1&1&d&1\end{vmatrix}$，则其所有元素的代数余子式之和的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. +2. 设矩阵 $\boldsymbol A=\begin{bmatrix}3&2&2\\2&4&0\\2&0&2\end{bmatrix}$，$\boldsymbol A^*$ 为 $\boldsymbol A$ 的伴随矩阵，则 $(\boldsymbol A^*)^*=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. +3. 已知 $\boldsymbol A, \boldsymbol B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol A|=-|\boldsymbol B|$， 则 $|\boldsymbol A+\boldsymbol B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. +4. 已知集合 $V=\{\boldsymbol A\in\mathbb{R}^{4\times4}|\boldsymbol A^\mathrm{T}=-\boldsymbol A\}$ 关于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，则 $\mathrm{dim}V$ 等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. +5. 向量空间 $\mathbb{R}^2$ 的基 $(1,1)^\mathrm T, (1,-1)^\mathrm T$ 到基 $(1,0)^\mathrm T,(2,1)^\mathrm T$的过渡矩阵为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. +6. 已知实二次型 $x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+2ax_2x_3$ 通过正交变换可化为标准形 $y_1^2+4y_2^2$，则 $a=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. +## 三、计算题（10分） +计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots&1\\2&0&2&\cdots&2\\3&3&0&\cdots&3\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&n&n&\cdots&0\end{vmatrix}$ . +## 四、证明题（10分） +设 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $\boldsymbol A+\boldsymbol B$ 与 $\boldsymbol A-\boldsymbol B$ 都是可逆矩阵，证明 $\begin{bmatrix}\boldsymbol A&\boldsymbol B\\\boldsymbol B&\boldsymbol A\end{bmatrix}$ 是可逆矩阵. +## 五、计算题（共2小题，每小题5分，共10分） +设向量组 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}, \boldsymbol\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\3\\-5\\1\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_3=\begin{bmatrix}3\\1\\10\\6\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_4=\begin{bmatrix}3\\7\\-9\\a\end{bmatrix}$， +1. 讨论向量组的线性相关性， +2. 当向量组线性相关是， $\boldsymbol\alpha_2$ 是否可由其余向量线性表示？如能线性表示请写出线性表示形式，若不能线性表示请说明理由. +## 六、计算题（10分） +已知三阶方阵 $\boldsymbol A=\begin{bmatrix}\boldsymbol\alpha_1&\boldsymbol\alpha_2&\boldsymbol\alpha_3\end{bmatrix}$ 有 $3$ 个不同的特征值，其中 $\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2$，若$\boldsymbol\beta=\boldsymbol\alpha_1+3\boldsymbol\alpha_2+4\boldsymbol\alpha_3$，求线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol\beta$ 的通解. +## 七、证明题（12分） +已知 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 为正定矩阵，$n$ 阶实矩阵 $\boldsymbol B$ 使得 $\boldsymbol A-\boldsymbol B^\mathrm T \boldsymbol A\boldsymbol B$ 也为正定矩阵，证明 $\boldsymbol B$ 的特征值满足关系式 $|\lambda|<1$. +## 八、计算题（12分） +设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$ 通过正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 可化为标准形，求所用的正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 及对应的标准形. \ No newline at end of file