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编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md

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+1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】
+
+   (A) $AB - BA$;  
+   (B) $AB + BA$;  
+   (C) $BAB$;  
+   (D) $(AB)^2$.
+
+2. 设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是【 】
+
+   (A) $A^T$ 与 $B^T$ 相似；  
+   (B) $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似；  
+   (C) $A + A^T$ 与 $B + B^T$ 相似；  
+   (D) $A + A^{-1}$ 与 $B + B^{-1}$ 相似。
+
+3. 设向量组  
+   $$
+   \alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad 
+   \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad 
+   \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad 
+   \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,
+   $$  
+   其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】
+
+   (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$;  
+   (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$;  
+   (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;  
+   (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
+
+4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则【 】
+
+   (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;  
+   (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;  
+   (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;  
+   (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.
+
+5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足【 】
+
+   (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;  
+   (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;  
+   (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;  
+   (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.
+
+6. 已知方程组
+   $$
+   \text{(I)} \quad
+   \begin{cases}
+   x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\
+   2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\
+   x_1 + x_2 + ax_3 = 0,
+   \end{cases}
+   $$
+   与
+   $$
+   \text{(II)} \quad
+   \begin{cases}
+   x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\
+   2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0
+   \end{cases}
+   $$
+   同解，则【 】
+
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+---