From e229b80da390c9758bab9e3529afb6a086c447d3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E5=88=98=E6=9F=AF=E5=A6=A4?= <2503393720@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 16:57:43 +0800 Subject: [PATCH 1/7] vault backup: 2026-01-11 16:57:43 --- 编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md b/编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md index ce84b16..9e9e91d 100644 --- a/编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md +++ b/编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md @@ -1,3 +1,4 @@ +定理 对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, 1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$； 2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$； @@ -5,4 +6,4 @@ 注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。 把以上结论应用到齐次线性方程组，可得 -推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。 \ No newline at end of file +推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。 From fbc483913818ac0f105da6ee356314be3cfc74e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E5=88=98=E6=9F=AF=E5=A6=A4?= <2503393720@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 16:57:58 +0800 Subject: [PATCH 2/7] vault backup: 2026-01-11 16:57:58 --- {编写小组/讲义 => 素材}/线性方程组解的问题.md | 0 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) rename {编写小组/讲义 => 素材}/线性方程组解的问题.md (100%) diff --git a/编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md b/素材/线性方程组解的问题.md similarity index 100% rename from 编写小组/讲义/线性方程组解的问题.md rename to 素材/线性方程组解的问题.md From 52ac7df4afe9ce4cbe7df8d12c6289ead3c8df2d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E5=88=98=E6=9F=AF=E5=A6=A4?= <2503393720@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 17:23:44 +0800 Subject: [PATCH 3/7] vault backup: 2026-01-11 17:23:44 --- 素材/线性方程组解的问题.md | 9 --------- 素材/解的问题.md | 29 +++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 29 insertions(+), 9 deletions(-) delete mode 100644 素材/线性方程组解的问题.md create mode 100644 素材/解的问题.md diff --git a/素材/线性方程组解的问题.md b/素材/线性方程组解的问题.md deleted file mode 100644 index 9e9e91d..0000000 --- a/素材/线性方程组解的问题.md +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -定理 -对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, -1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$； -2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$； -3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。 -注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。 - -把以上结论应用到齐次线性方程组，可得 -推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。 diff --git a/素材/解的问题.md b/素材/解的问题.md new file mode 100644 index 0000000..b3bfe9f --- /dev/null +++ b/素材/解的问题.md @@ -0,0 +1,29 @@ +### 1. 原理 +**线性方程组解的判定** +对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, +1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$； +2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$； +3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。 +注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。 + +把以上结论应用到齐次线性方程组，可得 +推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。 + +**矩阵方程解的判定** +本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。 +最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。 +1. 有解的充要条件： +矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即： +$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$ +这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。 +2. 解的结构： +- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。 +- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。 + +可逆矩阵 +- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$ + +其他形式的矩阵方程 +- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法。 +- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。 + \ No newline at end of file From c69084ad3f6a861fd8adf66b6638f11119a49951 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E5=88=98=E6=9F=AF=E5=A6=A4?= <2503393720@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 17:38:38 +0800 Subject: [PATCH 4/7] vault backup: 2026-01-11 17:38:38 --- 素材/解的问题.md | 67 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 64 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/素材/解的问题.md b/素材/解的问题.md index b3bfe9f..af1d6f4 100644 --- a/素材/解的问题.md +++ b/素材/解的问题.md @@ -1,4 +1,4 @@ -### 1. 原理 +### 原理 **线性方程组解的判定** 对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, 1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$； @@ -24,6 +24,67 @@ $$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$ - 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$ 其他形式的矩阵方程 -- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法。 +- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$ - 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。 - \ No newline at end of file + +>[!example] **例一** +>设矩阵 +>$$A = \begin{bmatrix} +1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ +1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ +1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ +1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 +\end{bmatrix}, +\quad +x = \begin{bmatrix} +x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 +\end{bmatrix}, +\quad +b = \begin{bmatrix} +1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 +\end{bmatrix}$$ +其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。 + +**答**：$(1,0,0,0)^T$。 + +**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。 + +又由 +$$ +\begin{bmatrix} +1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ +1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ +1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ +1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +1 \\ +0 \\ +0 \\ +0 +\end{bmatrix} += +\begin{bmatrix} +1 \\ +1 \\ +1 \\ +1 +\end{bmatrix} +$$ + 可知 $Ax = b$ 的解为 +$$ +\begin{bmatrix} +1 \\ +0 \\ +0 \\ +0 +\end{bmatrix} +$$ + +>[!example] **例二** +> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$ + +--- + +解析： +类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$ \ No newline at end of file From 4d69ea2c7ed143714b8c6ea49f196d935be3c87e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E5=88=98=E6=9F=AF=E5=A6=A4?= <2503393720@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 17:39:00 +0800 Subject: [PATCH 5/7] vault backup: 2026-01-11 17:39:00 --- 素材/解的问题.md | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/素材/解的问题.md b/素材/解的问题.md index af1d6f4..9486cda 100644 --- a/素材/解的问题.md +++ b/素材/解的问题.md @@ -84,7 +84,7 @@ $$ >[!example] **例二** > 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$ ---- -解析： + +**解析**： 类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$ \ No newline at end of file From 245376ca0d0c0060258c358a0e2103149d589d9c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E5=88=98=E6=9F=AF=E5=A6=A4?= <2503393720@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 17:39:10 +0800 Subject: [PATCH 6/7] vault backup: 2026-01-11 17:39:10 --- 素材/解的问题.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/素材/解的问题.md b/素材/解的问题.md index 9486cda..ff27b2e 100644 --- a/素材/解的问题.md +++ b/素材/解的问题.md @@ -1,4 +1,4 @@ -### 原理 +### 原理 **线性方程组解的判定** 对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, 1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$； From bffc942ce75a29be410669c2b3b22be037ace62c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Sun, 11 Jan 2026 17:56:18 +0800 Subject: [PATCH 7/7] vault backup: 2026-01-11 17:56:18 --- 素材/线性方程组同解.md | 1 + 素材/解的问题.md | 6 ++---- 2 files changed, 3 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/素材/线性方程组同解.md b/素材/线性方程组同解.md index 35ee541..3211c95 100644 --- a/素材/线性方程组同解.md +++ b/素材/线性方程组同解.md @@ -25,3 +25,4 @@ $N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？ (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. +解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$ \ No newline at end of file diff --git a/素材/解的问题.md b/素材/解的问题.md index ff27b2e..c21616c 100644 --- a/素材/解的问题.md +++ b/素材/解的问题.md @@ -27,7 +27,7 @@ $$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$ - 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$ - 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。 ->[!example] **例一** +>[!example] **例1** >设矩阵 >$$A = \begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ @@ -81,10 +81,8 @@ $$ \end{bmatrix} $$ ->[!example] **例二** +>[!example] **例2** > 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$ - - **解析**： 类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$ \ No newline at end of file