Merge branch 'develop' of https://bdgit.educoder.net/pkeazo37w/advanced-math-notes into develop

笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md

@@ -19,6 +19,10 @@ $\sum\limits_{i=2}^{n}a_i, \prod\limits_{i=1}^{n}a_i$
 
 $\int_1^5 x\mathrm{d}x$
 
+如果像让积分符号更加好看，就在前面加上\displaystyle，如
+
+$\displaystyle\int_1^5f(x)\text{d}x$
+
 积分符号的上下记号，用limits套：
 
-$\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$
+$\displaystyle\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$

素材/柯西中值定理与常见辅助函数.md

@@ -29,7 +29,7 @@ $$
 
 >[!example] 例1  
 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
-$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) \cdot \frac{\ln(b/a)}{b-a}$$
+$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot \ln(b/a)$$
 
 **解析**：  
 将等式变形为：

编写小组/讲义/微分中值定理.md

@@ -9,7 +9,7 @@ tags:
 
 ### **原理**
 
-在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导后的结果**。
+在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导（或多次求导）后的结果**。
 
 ### **常见构造类型**
 
@@ -116,7 +116,7 @@ $$
 需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。
 
 >[!example] 例2  
-设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。  
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。 （有改动） 
 证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$
 
 ```text
@@ -371,7 +371,7 @@ $$
 
 >[!example] 例1  
 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
-$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) \cdot \frac{\ln(b/a)}{b-a}$$
+$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$
 
 ```text
 
@@ -419,29 +419,6 @@ $$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$
 
 ```
 
->[!example] 例3  
-设 $0 < a < b$，证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
-$$f(b)-f(a) = \frac{3\xi^2}{a^2+ab+b^2} f'(\xi)(b-a)$$
-
-```text
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-```
 
 ## 多次运用中值定理
 

编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -9,7 +9,7 @@ tags:
 
 ### **原理**
 
-在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导后的结果**。
+在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导（或多次求导）后的结果**。
 
 ### **常见构造类型**
 
@@ -118,25 +118,19 @@ $$
 ---
 
 >[!example] 例2  
-设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。  
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。  
 证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$
 
 **解析**：  
 结论可写为：
-$$
-\bigl[ \text{e}^{kx} f''(x) \bigr]' \big|_{x=\xi} = 0
-$$
+$$\bigl[ \text{e}^{kx} f''(x) \bigr]' \big|_{x=\xi} = 0$$
 因此构造辅助函数：
-$$
-H(x) = \text{e}^{kx} f''(x)
-$$
-由条件可推知存在 $\eta_1, \eta_2 \in (a, b)$ 使 $f''(\eta_1) = f''(\eta_2) = 0$，从而 $H(\eta_1)=H(\eta_2)=0$。  
-对 $H(x)$ 应用罗尔定理即得证。
+$$H(x) = \text{e}^{kx} f''(x)$$由$f(a)=f(b)=0$及罗尔定理知，存在$c\in(a,b),f'(c)=0$；又$f'(a)=0$，则存在$d\in(a,c),f''(d)=0$；又$f''(b)=0$，知$H(d)=H(b)=0$，得存在$\xi\in(d,b)\subset(a,b),H'(\xi)=0\Rightarrow f'''(\xi)+kf''(\xi)=0$。
 
 ---
 
 >[!example] 例3  
-设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
+设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} \text{e}^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
 证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$
 
 **解析**：  
@@ -312,7 +306,7 @@ $$
 
 >[!example] 例1  
 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
-$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) \cdot \frac{\ln(b/a)}{b-a}$$
+$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$
 
 **解析**：  
 将等式变形为：
@@ -356,24 +350,6 @@ $$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$
    f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
    $$
 
----
-
->[!example] 例3  
-设 $0 < a < b$，证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
-$$f(b)-f(a) = \frac{3\xi^2}{a^2+ab+b^2} f'(\xi)(b-a)$$
-
-**解析**：  
-将等式变形为：
-$$
-\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
-$$
-取 $g(x) = x^3$，则 $g'(x) = 3x^2 \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。  
-由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
-$$
-\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
-$$
-整理后即得所求。
-
 ## 多次运用中值定理
 
 多次运用中值定理一般有如下特征：
@@ -411,7 +387,7 @@ $$
 >[!example] 例2
 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
 
-**分析：![[微分中值定理图.png]]**
+**分析：**![[多次运用 微分中值定理.png]]
 	二阶导的零点就是图像的拐点，从图中能直观地看出来，函数图像的凹凸性确实发生了改变。现在的问题就是如何证明。
 	首先可以很直观地看到，函数图像应当有两条与直线$AB$平行的切线，由拉格朗日中值定理也可以证明这一点。这样，$f'(x)$就在不同地方取到了相同的函数值，这就想到用罗尔定理，从而可以证明题中结论。