From 42bfcc66c2cb8da1c428d7ab78ef4e41d6998ea9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Wed, 28 Jan 2026 10:02:53 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?A=20=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E6=95=B4=E5=90=88?= =?UTF-8?q?=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E9=AB=98=E6=95=B0=E7=B4=A0=E6=9D=90/?= =?UTF-8?q?=E7=89=B9=E5=AE=9A=E7=BB=93=E6=9E=84=E5=AE=9A=E7=A7=AF=E5=88=86?= =?UTF-8?q?.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../高数素材/特定结构定积分.md | 24 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 24 insertions(+) create mode 100644 素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md diff --git a/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md b/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md new file mode 100644 index 0000000..ea3bbe3 --- /dev/null +++ b/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md @@ -0,0 +1,24 @@ +## 函数的奇偶性在定积分上的体现 +如果 $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数，那么： +$\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$ +合理运用上面的特性可以有效化简定积分（一般都是用 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$ 来简化积分），通常来说，在看到积分上下限互为相反数且被积函数较复杂时，可以试图“剥掉奇函数”来简化，用公式写，就是这样： +如果 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是其他函数，那么： +$\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$ +>[!example] 例题 +>计算定积分 $$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx$$ + +>[!note] 解答 +>不难发现，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数…… +>>[!faq] 这个“不难发现”是怎么发现的？ +>>这个靠主动寻找+奇偶函数的乘法性质，同奇偶相乘得偶函数，反之则为奇函数. +>>$1+x^2$ 是偶函数，$\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数 +> +>因此 +>$$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\left[\arctan x\right]_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$ + +## 三角函数的特殊性与华莱士公式 + +$\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx$ + +华莱士公式： +$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1\end{cases},k\in\mathbb{N}$$