From 4330697ce5281b441fa3586b2a057e851063a409 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 16 Jan 2026 09:27:19 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-16 09:27:19 --- .../讲义/微分中值定理（解析版）.md | 2 +- .../1.17高数限时练.md | 12 ++++++------ .../1.17高数限时练（解析版）.md | 14 +++++++------- 3 files changed, 14 insertions(+), 14 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md index 53c82e6..0720e7d 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -70,7 +70,7 @@ $$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明： 直接对$f(x)$用中值定理吗？不是，这样子我们得不出任何的结论。或许我们应该构造一个新的函数，让我们更容易研究一些。观察要证的式子，由于我们完全不知道导数的性质，所以考虑函数$g(x)=f(x)-x^2$，有$g'(x)=f'(x)-2x,g''(x)=f''(x)-2$，且$g(0)=0,g(1)=0,g(\frac{1}{2})>0$.看到这些$0$就舒服很多了。注意这里应该是多次运用中值定理中的第2种情况，因为题目很明显给了我们分割区间的一个点：$\large{\frac{1}{2}}$. **解**： -(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。在$[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1]$上分别用拉格朗日中值定理得$\exists\eta_1\in(0,\frac{1}{2}),\eta_2\in(\frac{1}{2},1)$，使得$$g'(\eta_1)=\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2}>0,g'(\eta_2)=\frac{g(1)-g(1/2)}{1/2}<0$$对$g'(x)$在区间$[\eta_1,\eta_2]$上用拉格朗日中值定理得，$\exists\xi\in(\eta_1,\eta_2)$，使得$$g''(\xi)=\frac{g'(\eta_2)-g'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}<0,$$即$$f''(\xi)<2.$$ +(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。在$[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1]$上分别用拉格朗日中值定理得，$\exists\eta_1\in(0,\frac{1}{2}),\eta_2\in(\frac{1}{2},1)$，使得$$g'(\eta_1)=\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2}>0,g'(\eta_2)=\frac{g(1)-g(1/2)}{1/2}<0$$对$g'(x)$在区间$[\eta_1,\eta_2]$上用拉格朗日中值定理得，$\exists\xi\in(\eta_1,\eta_2)$，使得$$g''(\xi)=\frac{g'(\eta_2)-g'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}<0,$$即$$f''(\xi)<2.$$ (2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，故$g(x_0)\le0$。由$g(0)=0,g(1)=0,g(1/2)>0,\exists\alpha\in(0,1),g(\alpha)=0$.故由罗尔中值定理，$$\exists\beta_1\in(0,\alpha),\beta_2\in(\alpha,1),g'(\beta_1)=g'(\beta_2)=0,$$从而$$\exists\beta\in(\beta_1,\beta_2),g''(\beta)=0$$这与$f''(x)\neq2$，即$g''(x)\neq0$矛盾，故结论成立。 **题后总结：** diff --git a/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练.md b/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练.md index 0dcd9a8..24e7993 100644 --- a/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练.md +++ b/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练.md @@ -6,10 +6,10 @@ tags: 1. 下列级数发散的是（　）。 - (A) $\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n + 1}{n^4 + 1}$ - (B) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^4 + 1}{4^n + 1}$ - (C) $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ - (D) $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n + 1}$ + (A) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4^n + 1}{n^4 + 1}$ + (B) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4 + 1}{4^n + 1}$ + (C) $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ + (D) $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n + 1}$ 2. 当 $x \to 0$时，与 $x - \sin x$同阶的无穷小是（　）。 @@ -96,7 +96,7 @@ tags: 7. （16分）已知当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = \sqrt{a + bx^2} - \cos x$ 与 $x^2$ 是等价无穷小。 （1）求参数 $a, b$ 的值；（6分） - （2）计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^4}$的值。（10分） + （2）计算极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^4}$的值。（10分） ```text @@ -116,7 +116,7 @@ tags: ``` -8. （20分）设函数 $f(x)$在 $[0,1]$上可导，$\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) dx = 0$。证明存在 $\xi \in (0,1)$，使得 +8. （20分）设函数 $f(x)$在 $[0,1]$上可导，$\large{\int_{0}^{\frac{1}{2}}} f(x) dx = 0$。证明存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $$f(\xi) = (1 - \xi) f'(\xi)。$$ ```text diff --git a/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练（解析版）.md b/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练（解析版）.md index 7bc6e37..9d6c9e1 100644 --- a/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.17高数限时练（解析版）.md @@ -6,10 +6,10 @@ tags: 1. 下列级数发散的是（　）。 - (A) $\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n + 1}{n^4 + 1}$ - (B) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^4 + 1}{4^n + 1}$ - (C) $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ - (D) $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n + 1}$ + (A) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4^n + 1}{n^4 + 1}$ + (B) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4 + 1}{4^n + 1}$ + (C) $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ + (D) $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n + 1}$ 2. 当 $x \to 0$时，与 $x - \sin x$同阶的无穷小是（　）。 @@ -96,7 +96,7 @@ tags: 7. （16分）已知当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = \sqrt{a + bx^2} - \cos x$ 与 $x^2$ 是等价无穷小。 （1）求参数 $a, b$ 的值；（6分） - （2）计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^4}$的值。（10分） + （2）计算极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^4}$的值。（10分） ```text @@ -263,7 +263,7 @@ $$ ## 10. 积分条件与微分方程形式的中值定理 -已知$f(x)$在$[0,1]$上可导，$\int_0^{1/2} f(x) dx = 0$ +已知$f(x)$在$[0,1]$上可导，$\large{\int}_0^{1/2} f(x) dx = 0$ 证明存在$\xi \in (0,1)$使$f(\xi) = (1-\xi)f'(\xi)$ **证：** @@ -273,7 +273,7 @@ g'(x) = -f(x) + (1-x)f'(x) $$ 要证等式等价于$g'(\xi) = 0$ -设$h(x) = \int_0^x f(t)dt$，由已知$h(1/2) = 0$，且$h(0)=0$ +设$h(x) = \large{\int_0^x }f(t)dt$，由已知$h(1/2) = 0$，且$h(0)=0$ 由罗尔定理，存在$c \in (0,1/2)$使$h'(c) = f(c) = 0$ 于是：