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编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md

@@ -646,3 +646,34 @@ D =
 \end{pmatrix}$$
 **答案**： (B) 12  
 
+>[!example] 例3
+ 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
+（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
+   $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
+   （2）求
+   $$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$
+
+
+
+解：
+1. 证** 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得
+
+$$
+f(x)=f(0)+x f'(x\theta(x)).
+$$
+
+如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。
+
+2. 解 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
+
+$$
+\begin{aligned}
+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x} 
+&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \\
+&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-x f'(0)}{x^{2}} \\
+&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} \\
+&= \frac{f''(0)}{2},
+\end{aligned}
+$$
+
+所以 $\lim_{x\rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$。