From 4489e65261b855d37e49cedb35463b865c4cfbd1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Fri, 23 Jan 2026 23:34:09 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?M=20=E7=BC=96=E5=86=99=E5=B0=8F=E7=BB=84/?= =?UTF-8?q?=E8=AE=B2=E4=B9=89/=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E5=8F=8A=E4=BA=8C?= =?UTF-8?q?=E6=AC=A1=E5=9E=8B=EF=BC=88=E8=A7=A3=E6=9E=90=E7=89=88=EF=BC=89?= =?UTF-8?q?.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md | 7 +++++-- 1 file changed, 5 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md index 5862850..233481f 100644 --- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md @@ -199,6 +199,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >1. 求特征值和特征向量； >2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵； >3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。 + +>[!bug] 问题排查 +>在求特征向量的时候，可以检查不同特征值的特征向量是否正交：如果不正交，则求得的结果一定是错误的。可以用这种方法来快速排查潜在的错误。 ##### 求标准形 1. 已知二次型（直接求） >[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题 @@ -320,9 +323,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >[!done] 该解法的底层逻辑 >记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T, C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}$， ->$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow y=C^{-1}\boldsymbol x$ +>$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow\boldsymbol y=C^{-1}\boldsymbol x$ >所以 $\boldsymbol y=C^{-1}D\boldsymbol z=\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$， ->这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列操作的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了. +>这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列变换的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了. >$f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol y^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol y=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$ >$=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&0&0\\0&4&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol z=-\dfrac{1}{2}z_1^2+4z_2^2$