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编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md

@@ -95,21 +95,23 @@ $$
 
 
 解析：
-步骤1：分析矩阵A的幂次规律
 先计算$A^2$：
 
-$$A^2 = \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} = 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$
+$$A^2 
+= \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
+$$= \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix}
+$$$$= \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} $$
+$$= 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$
  
 由此递推：
 - $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$
 - 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$
  
-步骤2：写出最终表达式
+
  
 将A代入得：
-$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times6^{n-1}&-6^{n-1}\\-9\times6^{n-1}&3\times6^{n-1}\end{bmatrix}$$
+$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
  
-答案：$$\boldsymbol{6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}}$$
 
 
 9. 若向量组
@@ -157,7 +159,10 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times6^
     \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
     $$
 
-13. （10 分）计算 下面两个$n$ 阶行列式
+
+---
+
+12. （10 分）计算 下面的$n$ 阶行列式
 
     $$
     D_n = \begin{vmatrix}
@@ -182,6 +187,16 @@ $$
 $$
 
 
+13. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
+(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
+(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
+
+
+
+解析：
+(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
+
+(2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)<\dim N(B),r(A)=3>r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.
 
 
 14. （10 分）设 
@@ -200,6 +215,7 @@ $$
 
 
 
+
 15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
 
     （1）证明 $A - E$ 可逆；
@@ -241,10 +257,4 @@ $$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begi
 此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为
 $$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$
 方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$
-设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
-(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
-(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
-解析：
-(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
 
-(2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)<\dim N(B),r(A)=3>r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.