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+++ b/1.14线代测试答案.md
@@ -0,0 +1,218 @@
+# **1.14 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）**
+
+## **第一部分：题目**
+
+### **1.**
+
+已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？
+
+### **2.（2013 秋 A）**
+
+$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$
+
+### **3.（2018 秋 A）**
+
+$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$
+
+### **4.（2018 秋 A）**
+
+$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$
+### **5.（2018 秋 A）**
+
+$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$
+
+### **6.（2022 秋 A・5）**
+
+$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$
+
+### **7.（2022 秋 A）**
+
+$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$
+
+$$\begin{aligned}
+A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3
+\end{aligned}
+$$
+(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$；
+
+(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。
+
+### **8.（2013 秋 A）**
+
+$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$
+
+### **9.（2013 秋 A・三）**
+
+设 n 阶行列式：
+
+$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$
+
+证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。
+
+## **第二部分：答案与解析**
+
+### 1. 答案：$\boxed{4c}$
+
+#### **解析：**
+
+$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$
+由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。
+
+利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。
+
+此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。
+
+### **2. 答案：$\boxed{2}$
+
+#### **解析：**
+
+将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式：
+
+$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$
+
+设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关：
+
+若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。
+
+向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。
+
+### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$
+
+#### **解析：**
+
+设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
+
+• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
+
+• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
+
+$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。
+
+### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$**
+
+#### **解析：**
+
+将二次型展开为矩阵形式：
+
+$$f(\boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{n}(A\boldsymbol{x})_i^2=(A\boldsymbol{x})^T(A\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x}$$
+
+• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。
+
+### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）**
+
+#### **解析：**
+
+实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。
+
+• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。
+
+• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。
+
+• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。
+
+### **6. 答案：$\boxed{9}$**
+
+#### **解析：**
+
+设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
+
+$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
+
+• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
+
+• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。
+
+### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$**
+
+#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关**
+
+因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。
+
+由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法：
+
+$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$
+
+其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$：
+
+$$\begin{aligned}
+|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\
+&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\
+&=-25\neq0
+\end{aligned}
+$$
+
+• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。
+
+• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。
+
+#### **(2) 计算 $|E-A|$**
+
+由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。
+
+计算 $E-C$：
+
+$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$
+
+按第三行展开计算行列式：
+
+$$
+\begin{aligned}
+|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\
+&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\
+&=2+18=20
+\end{aligned}
+$$
+
+故 $|E-A|=20$。
+
+### **8. 答案：**
+
+$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix}
+$$
+#### **解析：**
+
+通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导：
+
+• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律：
+
+◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$；
+
+◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。
+
+• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。
+
+### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$**
+
+#### **步骤 1：建立递推公式**
+
+对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）：
+
+$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$
+
+• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）；
+
+• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。
+
+因此递推公式为：
+
+$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$
+
+#### **步骤 2：确定初始条件**
+
+• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$；
+
+• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。
+
+#### **步骤 3：求解递推关系**
+
+递推公式 $D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$ 是**斐波那契数列的变形**，斐波那契数列的通项公式（比内公式）为：
+
+$$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right]$$
+
+对比初始条件：$D_1=1=F_2，D_2=2=F_3$，故 $D_n=F_{n+1}$（斐波那契数列的第 $n+1$ 项）。
+
+将$ F_{n+1} 代入比内公式$，得：
+
+$$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$$
+
+证毕。
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