M 编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md

编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md

@@ -4,6 +4,8 @@ Requires: 先写点自己的理解和做题的感悟，有人提交时就整合
 aliases:
   - Integrate
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+%%用两个百分号扩在一起的是MarkDown注释，保存时不会展现。如无必要，无需删去。
+也可以用这种方法标注内容%%
 # Section 1  积分基础
 >[!bug] 待补充
 # Section 2  积分方法
@@ -13,7 +15,7 @@ aliases:
 1. （对定积分：）靠奇函数来消项；通过拆分上下限来简化可能性(?)
 2. （对有理式：）有理式的拆解
 ## 换元积分法
-#### 常见特征：被积函数有三角函数、 $x^2\pm a^2$ 等元素
+常见特征：被积函数有三角函数、 $x^2\pm a^2$ 等元素
 使用换元积分法非常考验你对被积函数的敏感程度，也就是“题感”，方法本身是特别容易理解的，因此我们必须熟练记忆一些初等函数求导公式以及额外补充的一些推出来的求导公式。
 >[!example] 开胃菜
 >求不定积分 $\int\cos^2x\sin x\mathrm dx$.
@@ -22,7 +24,7 @@ aliases:
 >>如果你对整个过程很熟练，可以写成 $\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=\int\cos^2x\mathrm d(\cos x)=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
 
 除此之外还有第二类换元法
->[!bug] 待补充
+>[!bug] TODO: 待补充
 
 换元法有下列几种情况：
 #### 1. 三角函数式
@@ -104,6 +106,8 @@ $\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$
 >[!todo] 示例
 >求不定积分 $\int x\cos x\mathrm dx$
 
+%%像这种示例，就不用挖掉解答了：
+建议以后不挖去解答的用“示例”标签，可以用info或者todo样式%%
 >[!done] 正确示例
 >解：按照顺序，匹配到“**幂**”，那么我们取 $u=x$，$\mathrm dv=\cos x\mathrm dx=\mathrm d\sin x$
 >$\int x \cos x\mathrm dx = \int x\mathrm d\sin x = x \sin x - \int \sin x\mathrm dx = x \sin x + \cos x + C$
@@ -112,20 +116,15 @@ $\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$
 >解：我们尝试取 $u=\cos x$，$\mathrm dv=x\mathrm dx=\frac{1}{2}\mathrm dx^2$，
 >$\displaystyle\int x\cos x\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\cos x\mathrm dx^2=x^2\cos x+\int x^2\sin x\mathrm dx$    ……
 >你还愿意继续积下去吗？我是不愿意了。
-#### 常见特征：
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-#### 反对幂指三
+### 常见情况：
+#### 1. 幂对乘积或幂反乘积或幂指乘积
+>[!example] 例题
+>求不定积分 $\int x^3 \ln x\mathrm dx$
+
+>[!note] 解析
+>最先匹配的是“**对**”（对数函数 $\ln x$），取 $u=\ln x,\mathrm dv=x^3\mathrm dx$，则：
+>$\begin{align}\int x^3 \ln x\mathrm dx&= \int \ln x d\left(\frac{x^4}{4}\right) \\&= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4}\int x^3\mathrm dx \\&= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4 + C\end{align}$
+
 
 # Section 3  特殊积分
 ### 1. 依靠循环式求解的积分