From 52b211df3630cf2aed5fa35b1edfa7621a53bd49 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Sat, 17 Jan 2026 10:12:45 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-17 10:12:44 --- 编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md | 6 ++---- 1 file changed, 2 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md index 50d0ebf..c5dab63 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -118,7 +118,7 @@ $$ --- >[!example] 例2 -设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。 证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$ **解析**： @@ -129,9 +129,7 @@ $$ 因此构造辅助函数： $$ H(x) = \text{e}^{kx} f''(x) -$$ -由条件可推知存在 $\eta_1, \eta_2 \in (a, b)$ 使 $f''(\eta_1) = f''(\eta_2) = 0$，从而 $H(\eta_1)=H(\eta_2)=0$。 -对 $H(x)$ 应用罗尔定理即得证。 +$$由$f(a)=f(b)=0$及罗尔定理知，存在$c\in(a,b),f'(c)=0$；又$f'(a)=0$，则存在$d\in(a,c),f''(d)=0$；又$f''(b)=0$，知$H(d)=H(b)=0$，得存在$\xi\in(d,b)\subset(a,b),H'(\xi)=0\Rightarrow f'''(\xi)+kf''(\xi)=0$。 ---