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@ -201,4 +201,35 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \, \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{4}}
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>用分部积分法得 $$I=xf(x)|^1_0-\int_0^1xf'(x)\text dx=-\int_0^1x\arctan(x^2-1)\text dx.$$
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>令 $u=x^2-1$，则 $\text du=2x\text dx$，于是 $$I=-\frac{1}{2}\int_{-1}^0\arctan u\text du=-\frac{1}{2}((u\arctan u)|_{-1}^0-\frac{1}{2}\ln(1+u^2)|_{-1}^0)=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln2.$$
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>[!example] 例题
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>设 $\displaystyle a_n=\int_0^1x(1-x)^n\text dx,n=1,2,\cdots$.
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>（1）求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$；
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>（2）设常数 $\lambda\gt0$，试讨论级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \lambda^na_n$ 的敛散性.
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>[!note] 解析
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>（1）**解1：**$$\begin{aligned}
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>a_n&=-\int_0^1x(1-x)^n\text d(1-x)\\
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>&=-\frac{1}{n+1}\int_0^1x\text d(1-x)^{n+1}\\
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>&=-\frac{1}{n+1}\left([x(1-x)^{n+1}]_0^1-\int_0^1(1-x)^{n+1}\text dx\right)\\
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>&=-\frac{1}{n+1}\int_0^1(1-x)^{n+1}\text d(1-x)\\
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>&=-\frac{1}{n+1}\left[\frac{(1-x)^{n+2}}{n+2}\right]_0^1\\
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>&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\
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>&=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.
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>\end{aligned}$$
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>于是$$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}.$$
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>因此$$\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2}.$$
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>**解2：** 令 $t=1-x$，则
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>$$\begin{aligned}
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a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n \, dx = \int_0^1 (1-t) t^n \, dt \\
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&= \int_0^1 (t^n - t^{n+1}) \, dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 \\
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&= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}.
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>\end{aligned}$$
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>后同解1
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>（2）设 $\displaystyle b_n = \lambda^n a_n = \lambda^n \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$。考虑比值判别法：$$\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\lambda^{n+1} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)}{\lambda^n \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)} = \lambda \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{(n+2)(n+3)} }{ \frac{1}{(n+1)(n+2)} } = \lambda \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+3} = \lambda.$$
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>故当 $0 < \lambda < 1$ 时，级数收敛；当 $\lambda > 1$ 时，级数发散。
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当 $\lambda = 1$ 时，$\displaystyle b_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$，由 (1) 知级数收敛。
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综上，当 $0 < \lambda \le 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \lambda^n a_n$ 收敛；当 $\lambda > 1$ 时，级数发散.
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>[!summary] 题后总结
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>第一问解1是利用第一类换元法和分部积分法，比较常规，也相对容易想到；解2利用第二类换元法，大大简化了计算，可以作为经验积累下来。为什么用这种换元呢？观察一下特征：一个相对复杂的式子 $(1-x)$ 上有一个 $n$ 次方，变得更加复杂，而简单的式子 $x$ 是一次的，更加简单。为了“调和”两个式子的复杂度，我们把复杂式子代换掉，这样就能更加方便地进行积分了。
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