diff --git a/特征值.md b/特征值.md new file mode 100644 index 0000000..8d997ba --- /dev/null +++ b/特征值.md @@ -0,0 +1,297 @@ +# 第四章 方阵的相似化问题 + +## 4.1 特征值与特征向量 + +### 4.1.1 基本概念与求法 + +**定义 4.1** +设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ 使得 +$$ +A\xi = \lambda \xi, +$$ +则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个**特征值**，$\xi$ 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的一个**特征向量**。 + +#### 特征值与特征向量的求法 + +由定义可得： +$$ +A\xi = \lambda \xi \quad \text{且} \quad \xi \neq 0. +$$ +等价地： +$$ +(\lambda E - A)\xi = 0 \quad \text{且} \quad \xi \neq 0. +$$ +这表明**特征向量 $\xi$** 是齐次线性方程组 $(\lambda E - A)x = 0$ 的**非零解**。该方程组有非零解当且仅当 +$$ +\operatorname{rank}(\lambda E - A) < n, +$$ +即 $\lambda E - A$ 是奇异矩阵（行列式为零）。 + +**求法步骤**： + +1. **求特征值** + 由 $|\lambda E - A| = 0$ 解出 $\lambda$ 的所有根 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（包括重根）。 + +2. **求特征向量** + 对每个特征值 $\lambda_i$，代入齐次线性方程组 + $$ + (\lambda_i E - A)x = 0 + $$ + 求解，所得的全部非零解即为对应于 $\lambda_i$ 的特征向量。 + +#### 特征多项式与特征方程 + +**定义 4.2** +设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是一个变量，则矩阵 $\lambda E - A$ 称为 $A$ 的**特征矩阵**，其行列式 +$$ +f_A(\lambda) = |\lambda E - A| +$$ +称为 $A$ 的**特征多项式**，方程 $|\lambda E - A| = 0$ 称为 $A$ 的**特征方程**。 + +特征方程的根就是矩阵 $A$ 的特征值。 + +--- + +### 4.1.2 特征值与特征向量的性质 + +#### 特征值的积与和 + +**定理 4.1** +设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数计算），则： + +1. $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$（特征值的积等于矩阵的行列式）； +2. $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$（特征值的和等于矩阵的迹）。 + +**证明** +设特征多项式为 $f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$。 +由于 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是 $f_A(\lambda) = 0$ 的根，故有 +$$ +f_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_n). \tag{1} +$$ + +将 $\lambda = 0$ 代入 (1) 式，得 +$$ +| -A | = (-1)^n |A| = (-1)^n \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n, +$$ +因此 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$。 + +另一方面，将 $f_A(\lambda)$ 按行列式展开，其 $\lambda^{n-1}$ 项仅出现在主对角线上元素的乘积 $(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22}) \cdots (\lambda - a_{nn})$ 中，故 $\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn})$。而在 (1) 式中，$\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)$。比较系数即得 +$$ +\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}. +$$ + +**推论** +方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 的所有特征值均不为零。 + +#### 迹、代数重数与几何重数 + +**定义 4.3（迹）** +设 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，则称 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 为 $A$ 的**迹**，记作 $\operatorname{tr}(A)$。由定理 4.1 知，$\operatorname{tr}(A)$ 等于 $A$ 的所有特征值之和。 + +**定义 4.4（代数重数）** +设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征多项式可分解为 +$$ +|\lambda E - A| = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s}, +$$ +其中 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是互不相同的特征值，且 $r_1 + r_2 + \cdots + r_s = n$。则称 $r_i$ 为特征值 $\lambda_i$ 的**代数重数**。 + +**定义 4.5（几何重数）** +设 $\lambda_i$ 是方阵 $A$ 的特征值，则称特征子空间 +$$ +V_{\lambda_i} = \{ x \mid (A - \lambda_i E) x = 0 \} +$$ +的维数 $\dim V_{\lambda_i}$ 为 $\lambda_i$ 的**几何重数**，即齐次线性方程组 $(A - \lambda_i E)x = 0$ 的基础解系所含向量的个数。 + +**定理 4.2（几何重数不超过代数重数）** +设 $\lambda_k$ 是方阵 $A$ 的特征值，其代数重数为 $r_k$，几何重数为 $d_k$，则 +$$ +d_k \leq r_k, \quad k = 1, 2, \dots, s. +$$ +即属于特征值 $\lambda_k$ 的线性无关的特征向量的个数不超过其代数重数。 + + + +#### 特征值与矩阵运算的关系 + +**例 4.5** +设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（即 $A\xi = \lambda\xi$，$\xi \neq 0$）。则： + +1. 对于任意常数 $k$，$k\lambda$ 是矩阵 $kA$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $kA$ 对应于 $k\lambda$ 的特征向量。 +2. 对于任意正整数 $l$（$l \geq 1$），$\lambda^l$ 是矩阵 $A^l$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $A^l$ 对应于 $\lambda^l$ 的特征向量。 +3. 对于矩阵多项式 + $$ + g(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E, + $$ + 数 + $$ + g(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 + $$ + 是矩阵 $g(A)$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $g(A)$ 对应于 $g(\lambda)$ 的特征向量。 + +**证明** +1. 由 $A\xi = \lambda\xi$，两边乘以 $k$ 得 $(kA)\xi = (k\lambda)\xi$，故结论成立。 +2. 对 $l$ 用数学归纳法。当 $l=1$ 时显然。假设 $A^{l-1}\xi = \lambda^{l-1}\xi$，则 + $$ + A^l \xi = A(A^{l-1}\xi) = A(\lambda^{l-1}\xi) = \lambda^{l-1} A\xi = \lambda^{l-1} \cdot \lambda \xi = \lambda^l \xi. + $$ + 故结论对任意正整数 $l$ 成立。 +3. 利用 (2) 的结论， + $$ + \begin{aligned} + g(A)\xi &= (a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E)\xi \\ + &= a_k A^k\xi + a_{k-1} A^{k-1}\xi + \cdots + a_1 A\xi + a_0 E\xi \\ + &= a_k \lambda^k \xi + a_{k-1} \lambda^{k-1} \xi + \cdots + a_1 \lambda \xi + a_0 \xi \\ + &= (a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0) \xi \\ + &= g(\lambda) \xi. + \end{aligned} + $$ + 因此 $g(\lambda)$ 是 $g(A)$ 的特征值，$\xi$ 为对应的特征向量。 + +#### 不同特征值的特征向量线性无关 + +**定理 4.3** +设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是 $A$ 的 $s$ 个互不相同的特征值，$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 分别是与之对应的特征向量（即 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i,\ i=1,2,\dots,s$），则向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性无关。 + +**证明（数学归纳法）** +**归纳基础**：当 $s=1$ 时，$\xi_1 \neq 0$，故线性无关。 + +**归纳假设**：假设对于 $s-1$ 个互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关。 + +**归纳步骤**：考虑 $s$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ 及对应的特征向量 $\xi_1, \dots, \xi_s$。设有一组数 $k_1, \dots, k_s$ 使得 +$$ +k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_s \xi_s = 0. \tag{1} +$$ + +用矩阵 $A$ 左乘 (1) 式，并利用 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i$，得 +$$ +k_1 \lambda_1 \xi_1 + k_2 \lambda_2 \xi_2 + \cdots + k_s \lambda_s \xi_s = 0. \tag{2} +$$ + +将 (1) 式乘以 $\lambda_s$，再减去 (2) 式，得 +$$ +k_1 (\lambda_s - \lambda_1) \xi_1 + k_2 (\lambda_s - \lambda_2) \xi_2 + \cdots + k_{s-1} (\lambda_s - \lambda_{s-1}) \xi_{s-1} = 0. +$$ + +由归纳假设，$\xi_1, \dots, \xi_{s-1}$ 线性无关，故 +$$ +k_i (\lambda_s - \lambda_i) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, s-1. +$$ +因为特征值互不相同，$\lambda_s - \lambda_i \neq 0$，所以 $k_i = 0\ (i=1,\dots,s-1)$。代入 (1) 式得 $k_s \xi_s = 0$，而 $\xi_s \neq 0$，故 $k_s = 0$。因此所有系数均为零，向量组 $\xi_1, \dots, \xi_s$ 线性无关。 + +--- + +### 4.1.3 示例 + +#### 例 4.3 求矩阵 $B$ 的特征值与特征向量 + +设 +$$ +B = \begin{bmatrix} +-3 & 1 & -1 \\ +-7 & 5 & -1 \\ +-6 & 6 & -2 +\end{bmatrix}. +$$ + +**解** +计算特征多项式： +$$ +\begin{aligned} +f_B(\lambda) &= |\lambda E - B| = +\begin{vmatrix} +\lambda+3 & -1 & 1 \\ +7 & \lambda-5 & 1 \\ +6 & -6 & \lambda+2 +\end{vmatrix} \\[6pt] +&= (\lambda+3) \begin{vmatrix} \lambda-5 & 1 \\ -6 & \lambda+2 \end{vmatrix} +- (-1) \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 6 & \lambda+2 \end{vmatrix} ++ 1 \begin{vmatrix} 7 & \lambda-5 \\ 6 & -6 \end{vmatrix} \\[6pt] +&= (\lambda+3)\big[(\lambda-5)(\lambda+2) + 6\big] + \big[7(\lambda+2) - 6\big] + \big[7\cdot(-6) - 6(\lambda-5)\big] \\[6pt] +&= (\lambda+3)(\lambda^2 - 3\lambda -4) + (7\lambda+8) + (-12 - 6\lambda) \\[6pt] +&= (\lambda-4)\big[(\lambda+3)(\lambda+1) + 1\big] \\[6pt] +&= (\lambda-4)(\lambda^2 + 4\lambda + 4) \\[6pt] +&= (\lambda-4)(\lambda+2)^2. +\end{aligned} +$$ + +故特征方程为 $(\lambda-4)(\lambda+2)^2 = 0$，得特征值： +$$ +\lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -2. +$$ + +**对于 $\lambda_1 = 4$**，解方程组 $(4E - B)x = 0$： +$$ +4E - B = \begin{bmatrix} +7 & -1 & 1 \\ +7 & -1 & 1 \\ +6 & -6 & 6 +\end{bmatrix} +\stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow} +\begin{bmatrix} +1 & 0 & 0 \\ +0 & -1 & 1 \\ +0 & 0 & 0 +\end{bmatrix}. +$$ +得基础解系： +$$ +\xi_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. +$$ +因此对应于 $\lambda_1 = 4$ 的全部特征向量为 $k_1\xi_1$（$k_1 \neq 0$）。 + +**对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$**，解方程组 $(-2E - B)x = 0$： +$$ +-2E - B = \begin{bmatrix} +1 & -1 & 1 \\ +7 & -7 & 1 \\ +6 & -6 & 0 +\end{bmatrix} +\stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow} +\begin{bmatrix} +1 & -1 & 0 \\ +0 & 0 & 1 \\ +0 & 0 & 0 +\end{bmatrix}. +$$ +同解方程组为 +$$ +\begin{cases} +x_1 - x_2 = 0, \\ +x_3 = 0. +\end{cases} +$$ +取自由未知量 $x_2 = 1$，得基础解系： +$$ +\eta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}. +$$ +因此对应于二重特征值 $-2$ 的全部特征向量为 $k\eta$（$k \neq 0$）。 + +--- + +### 例 4.4（幂等矩阵的特征值） + +设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A^2 = A$（即 $A$ 是幂等矩阵）。证明：$A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。 + +#### 证明 + +设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（$\xi \neq 0$），则有 +$$ +A\xi = \lambda \xi. +$$ + +在等式两边左乘矩阵 $A$，得 +$$ +A^2\xi = A(\lambda \xi) = \lambda A\xi = \lambda^2 \xi. +$$ + +由于 $A^2 = A$，故 $A^2\xi = A\xi = \lambda \xi$。因此 +$$ +\lambda^2 \xi = \lambda \xi \quad \Rightarrow \quad (\lambda^2 - \lambda)\xi = 0. +$$ + +因为 $\xi \neq 0$，所以 $\lambda^2 - \lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda - 1) = 0$。解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。 + +因此，幂等矩阵 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。 + +--- + diff --git a/研讨记录/2026.1.16会议记录.md b/研讨记录/2026.1.16会议记录.md index 01334fe..f4a514d 100644 --- a/研讨记录/2026.1.16会议记录.md +++ b/研讨记录/2026.1.16会议记录.md @@ -3,18 +3,18 @@ 2.学习效率和大部队的学习情况安排 任务安排： 线代： -1.线性变化（线性空间的定义与性质） -2.课程的基础概念 -3.多从反证方向思考证明题 -4.施密特正交化法 +1. 线性变化（线性空间的定义与性质） +2. 课程的基础概念 +3. 多从反证方向思考证明题 +4. 施密特正交化法 第一模块：3.7-4.3： -施密特正交化； -线性空间； -线性变化； -特征值与特征向量； -方阵与实对称矩阵的相似对角化 +- [ ] 施密特正交化； +- [ ] 线性空间； +- [ ] 线性变化； +- [x] 特征值与特征向量； +- [ ] 方阵与实对称矩阵的相似对角化 第二模块：5.1-5.4 -二次型的概念； -正交变换法； -合同变换法； -配方法； \ No newline at end of file +- [ ] 二次型的概念； +- [ ] 正交变换法； +- [ ] 合同变换法； +- [ ] 配方法； \ No newline at end of file diff --git a/素材/特征值.md b/素材/特征值.md index a0d0906..ca0e36f 100644 --- a/素材/特征值.md +++ b/素材/特征值.md @@ -4,7 +4,7 @@ **证明：** 根据迹的定义，只需要证明（1）。 -因为$r(A)=1[!example] 例1 diff --git a/素材/特征值与相似.md b/素材/特征值与相似.md index 204b7c9..17e0436 100644 --- a/素材/特征值与相似.md +++ b/素材/特征值与相似.md @@ -10,22 +10,55 @@ 2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$。 3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$。 4. 相似矩阵特征值相等。 - +#### 对角化 +$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ 。 +对角化的步骤： +1. 确定特征值 $\lambda_i$ +2. 对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化） +3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵： +$$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end{bmatrix}, +\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix},A=P^{-1}\Lambda P$$ ## 常见题型 ##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问。 1. 针对“迹”设问 +>[!hint]- 提示 +>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征： +>（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$； +>>证明：因为$r(A)=1 +>（2）它的另一个特征值为 $\mathrm{tr}(A)$. +>>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出. +> +>秩为 $1$ 的矩阵 $A$ 可以拆成 $A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^\mathrm{T}$，$\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ +>此时 $A$ 的迹为 $\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ + >[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1 -设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为？（详解见[[特征值]]） -2. 针对“有理函数”设问 +设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_ + +>[!note]- 解析 +>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 +>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 +>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 +>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$。（最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问） + >[!example] 例题2 +>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。 + +>[!note]- 解析 +>设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： +>$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ +>注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 +>秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 +2. 针对“有理函数”设问 +>[!example] 例题3 >已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ->[!note] 解析 +>[!note]- 解析 >“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。” >根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。 >$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。 ->[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题3 +>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题4 已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】 A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似. B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似. @@ -35,20 +68,22 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb >[!note] 解析 >C选项是一个典型的 $f(A)\sim f(B)\ ,f(x)=x^2+1$ 结构，如果熟悉性质可以秒选 +>[!warning] 注意！ +>转置不能作为有理式的一部分！ ##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质。 ->[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题4 +>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题5 >设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵． ->[!note] 解析 +>[!note]- 解析 >通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$, > $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$ > $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$。 > 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。 -> $3-\mathrm{rank}(5E-A)=2$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}=1$，求得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$； -> 而 $3-\mathrm{rank}(E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}=2$，满足条件，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$； +> $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(5E-A)=1$ 得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$； +> 而 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$； > 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$。 > 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。 -> $3-\mathrm{rank}(E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}=1$，求得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$； -> 而 $3-\mathrm{rank}(5E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}=2$，满足条件，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$； +> $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(E-A)=1$ 得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$； +> 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$； > 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。 \ No newline at end of file