From 5a9e89620e22017628614ff4635c1fa188178ebd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Sat, 17 Jan 2026 13:02:31 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-17 13:02:31 --- 编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md index 74fe52e..1bca532 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -199,13 +199,13 @@ $$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$ ## **拉格朗日中值定理** ### **原理** -若函数 f(x) 满足两个条件: +若函数 $f(x)$ 满足两个条件: 在闭区间 $[a,b]$ 上连续； 在开区间 $(a,b)$ 内可导； 则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。 -是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。 +是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 $(a,b)$ 内，至少存在一点的切线与连接端点 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的弦平行。 ### **适用条件** 拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。 @@ -308,7 +308,7 @@ $$ >[!example] 例1 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得： -$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$ +$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot \ln(b/a)$$ **解析**： 将等式变形为：