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素材/秩的不等式.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+# 一般式
+
+## 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+## 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+## 3. 重要不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+# 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ rank  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ rank  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ rank  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ rank  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+