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笔记分享/达布定理.md

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+>[!note] 定理：
+>如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则其导函数$f'(x)$在$[a,b]$上有介值性质，即若$f(x)$在$[a,b]$上的值域为$[m,M]$,则$\forall \xi\in[m,M]$，总$\exists \eta\in[a,b],$有$\xi=f'(\eta)$.
+
+**证明**：若$m=M$，结论显然成立.若$m<M$,设$f'(x_1)=m,f'(x_2)=M$,不妨设$x_1<x_2$.任取$\xi\in(m,M)$,令$$g(x)=f(x)-\xi x,x\in[a,b].$$于是$g(x)$在$[a,b]$上可导，且$$g'(x_1)=f'(x_1)-\xi<0,g'(x_2)=f'(x_2)-\xi>0.$$由零值定理，$\exists  \eta\in(x_1,x_2) \subset(a,b),g'(\eta)=0\implies f'(\eta)=\xi$，证毕.

编写小组/黑马试卷/1.16黑马试卷.md

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+### 一、选择题（共3小题，每小题2分，共10分）  
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+1. 函数  
+$$
+   f(x) = \begin{cases} 
+   \sqrt{x} \sin \frac{1}{x}, & x > 0, \\ 
+   0, & x \leq 0 
+   \end{cases}
+$$
+   在点$x = 0$处（ ）。  
+   (A) 不连续  
+   (B) 连续但不可导  
+   (C) 可导且$f'(0) = 0$
+   (D) 可导且$f'(0) \neq 0$
+
+2. 数列极限$\lim_{n \to \infty} (e^{-n} + \pi^{-n})^{\frac{1}{n}}$的值为（ ）。  
+   (A)$e$
+   (B)$\pi$
+   (C)$\frac{1}{e}$
+   (D)$\frac{1}{\pi}$
+
+3. 曲线$y = \frac{x^3 - x^2}{2 + x^2}$的渐近线为（ ）。  
+   (A)$y = x - 1$
+   (B)$y = x + 1$
+   (C)$y = x$
+   (D)$y = \frac{1}{2}x$
+
+---
+
+### 二、填空题（共3小题，每小题2分，共10分）   
+
+4. 函数$f(x) = xe^{-x^2}$在$(-\infty,+\infty)$上的最大值为 $\underline{\qquad}$。  
+
+5. 曲线$C: x = \frac{1}{2} \cos t, y = \sin t, t \in [0,2\pi]$在点$(0,-1)$处的曲率为 $\underline{\qquad}$。  
+
+6. 不定积分$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} dx = \underline{\qquad}$。  
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+---
+
+### 三、解答题（共4小题，共80分）  
+
+7. 设$y(x)$是由曲线方程$\sin x + y + e^x = 2$确定的隐函数，试计算$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0}$的值，并求该曲线在点$P(0,1)$处的切线方程。（6分）  
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+```text
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+```
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+8. 计算不定积分  
+$$
+    \int \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} dx。
+$$
+    （6分）  
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+```text
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+```
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+9. 设曲线$f(x) = x^3 + ax^2 + 18x$（$a$为大于零的常数）的拐点正好位于$x$轴上，试求$a$的值及曲线$y = f(x)$的拐点坐标。（6分）   
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+```text
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+```
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+10. 计算极限  
+    $$\lim_{x \to +\infty} \left[ x + x^2 \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \right]。$$ 
+    （6分）