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     name: 表格
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+    name: 积

编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md

@@ -127,7 +127,17 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 
 除此之外还有第二类换元法
 
->[!bug] TODO: 待补充
+>[!example] 例题
+>计算定积分$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}$
+
+>[!solution] 解析
+>令 $t=\sqrt{1-x}$，则 $x=1-t^2,\text dx=-2t\text dt.$
+>$$\begin{aligned}
+>原式&=\int_1^0\frac{-2t\text dt}{(1+t^2)t}\\
+>&=2\int_0^1\frac{\text dt}{1+t^2}\\
+>&=2\arctan t\bigg|_0^1\\
+>&=\frac{\pi}{2}.
+>\end{aligned}$$
 
 换元法有下列几种情况：
 #### 1. 三角函数式
@@ -370,7 +380,7 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
 >[!summary] 题后总结
 >因为要证明的式子中是 $I_n$ 和 $I_{n-2}$，中间隔了两项，所以在凑的时候也要凑一个 $\tan^2x$和$\sec^2x$ 出来；而且 $\tan^2x=\sec^2x-1,\text d(\tan x)=\sec^2x\text dx$，用平方也更好凑一点。
 
-#### 4. 连续分部积分（选学？）
+#### 4. 连续分部积分（选学）
 >[!bug] 需要斟酌该内容是否重要。
 
 分部积分法的推广公式就是重复使用分部积分法法则。
@@ -700,6 +710,17 @@ $\displaystyle\int x \ln x\mathrm dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
 >[!abstract] 练习
 >尝试推导上述公式，
 
+## 三角函数的特殊性
+
+$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx,$
+
+$\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\text dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)\text dx.$
+
+## 华莱士公式：
+$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k,\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1,\end{cases}\qquad k\in\mathbb{N}$$
+其中 $m!!=\begin{cases}m(m-2)\cdots(4)(2),\ m\text{是偶数},\\m(m-2)\cdots(3)(1),\ m\text{是奇数}\end{cases}$ 称为双阶乘.
+
+
 # 碎碎念
 ### 魔法六边形
 左边全是正，正弦/正切/正割
@@ -708,19 +729,21 @@ $\displaystyle\int x \ln x\mathrm dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
 
 你可以绕着这个六边形旋转来得到三角函数的商：
 ![[魔法六边形-2.svg]]
-除此之外还有 $\sin x=\frac{\cos x}{\cot x},\cos x=\frac{\cot x}{\csc x}$...有时能够取得一些意想不到的效果。
+除此之外还有 $\displaystyle\sin x=\frac{\cos x}{\cot x},\cos x=\frac{\cot x}{\csc x}$...有时能够取得一些意想不到的效果。
 
 穿过六边形的中心 $1$，即为取倒数：
-$\sin x=\frac{1}{\csc x}$，$\cos x=\frac{1}{\sec x}$
+$\displaystyle\sin x=\frac{1}{\csc x}$，$\displaystyle\cos x=\frac{1}{\sec x}$
 ![[魔法六边形-3.svg]]
 防止在过度紧张的时候将正割/余割的倒数记错。
 
 对于每一个小倒三角 $\nabla$，三角形上边的两个角的平方和等于下面的角，用这种方法可以快速记忆三角函数平方和公式 $\tan^2 x+1=\sec^2 x, 1+\cot^2 x=\csc^2x$
 ![[魔法六边形-5.svg]]
 
-学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思勿漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。
-# 逐句解析
-##### 学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；
+
+# 谏学高数者十思书
+善学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思勿漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。
+## 逐句解析
+##### 善学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；
 等价无穷小的替换不能出现在加减法中。如果一定需要进行加减法，请改用**泰勒展开**，并留意泰勒展开的程度，你需要根据皮亚诺余项来判断需要展开到多少阶。
 ##### 将有洛，则思代换以化简；
 准备用洛必达的时候，先考虑能不能用等价代换来化简式子，减小求导的压力；
@@ -728,7 +751,7 @@ $\sin x=\frac{1}{\csc x}$，$\cos x=\frac{1}{\sec x}$
 在进行复合函数求导时，分层求导一定要彻底，不能漏掉某一层：
 $f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x)$
 ##### 惧积分，则思不定以加C
->[!error] 考试必考点！补药漏写常数 C 口牙！
+>[!error] 考试必考点！补药漏写积分常数 C 口牙！
 ##### 乐微分，则思dx而莫忘；
 >[!error] 考试必考点！补药漏写微分算子 dx 口牙！
 ##### 忧定积，则思牛莱而相减；