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特征值.md
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# 第四章 方阵的相似化问题
## 4.1 特征值与特征向量
### 4.1.1 基本概念与求法
**定义 4.1**
设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ 使得
$$
A\xi = \lambda \xi,
$$
则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个**特征值**，$\xi$ 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的一个**特征向量**。
#### 特征值与特征向量的求法
由定义可得：
$$
A\xi = \lambda \xi \quad \text{且} \quad \xi \neq 0.
$$
等价地：
$$
(\lambda E - A)\xi = 0 \quad \text{且} \quad \xi \neq 0.
$$
这表明**特征向量 $\xi$** 是齐次线性方程组 $(\lambda E - A)x = 0$ 的**非零解**。该方程组有非零解当且仅当
$$
\operatorname{rank}(\lambda E - A) < n,
$$
即 $\lambda E - A$ 是奇异矩阵（行列式为零）。
**求法步骤**：
1. **求特征值**
由 $|\lambda E - A| = 0$ 解出 $\lambda$ 的所有根 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（包括重根）。
2. **求特征向量**
对每个特征值 $\lambda_i$，代入齐次线性方程组
$$
(\lambda_i E - A)x = 0
$$
求解，所得的全部非零解即为对应于 $\lambda_i$ 的特征向量。
#### 特征多项式与特征方程
**定义 4.2**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是一个变量，则矩阵 $\lambda E - A$ 称为 $A$ 的**特征矩阵**，其行列式
$$
f_A(\lambda) = |\lambda E - A|
$$
称为 $A$ 的**特征多项式**，方程 $|\lambda E - A| = 0$ 称为 $A$ 的**特征方程**。
特征方程的根就是矩阵 $A$ 的特征值。
---
### 4.1.2 特征值与特征向量的性质
#### 特征值的积与和
**定理 4.1**
设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数计算），则：
1. $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$（特征值的积等于矩阵的行列式）；
2. $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$（特征值的和等于矩阵的迹）。
**证明**
设特征多项式为 $f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$。
由于 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是 $f_A(\lambda) = 0$ 的根，故有
$$
f_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_n). \tag{1}
$$
将 $\lambda = 0$ 代入 (1) 式，得
$$
| -A | = (-1)^n |A| = (-1)^n \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n,
$$
因此 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$。
另一方面，将 $f_A(\lambda)$ 按行列式展开，其 $\lambda^{n-1}$ 项仅出现在主对角线上元素的乘积 $(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22}) \cdots (\lambda - a_{nn})$ 中，故 $\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn})$。而在 (1) 式中，$\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)$。比较系数即得
$$
\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}.
$$
**推论**
方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 的所有特征值均不为零。
#### 迹、代数重数与几何重数
**定义 4.3（迹）**
设 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，则称 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 为 $A$ 的**迹**，记作 $\operatorname{tr}(A)$。由定理 4.1 知，$\operatorname{tr}(A)$ 等于 $A$ 的所有特征值之和。
**定义 4.4（代数重数）**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征多项式可分解为
$$
|\lambda E - A| = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s},
$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是互不相同的特征值，且 $r_1 + r_2 + \cdots + r_s = n$。则称 $r_i$ 为特征值 $\lambda_i$ 的**代数重数**。
**定义 4.5（几何重数）**
设 $\lambda_i$ 是方阵 $A$ 的特征值，则称特征子空间
$$
V_{\lambda_i} = \{ x \mid (A - \lambda_i E) x = 0 \}
$$
的维数 $\dim V_{\lambda_i}$ 为 $\lambda_i$ 的**几何重数**，即齐次线性方程组 $(A - \lambda_i E)x = 0$ 的基础解系所含向量的个数。
**定理 4.2（几何重数不超过代数重数）**
设 $\lambda_k$ 是方阵 $A$ 的特征值，其代数重数为 $r_k$，几何重数为 $d_k$，则
$$
d_k \leq r_k, \quad k = 1, 2, \dots, s.
$$
即属于特征值 $\lambda_k$ 的线性无关的特征向量的个数不超过其代数重数。
#### 特征值与矩阵运算的关系
**例 4.5**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（即 $A\xi = \lambda\xi$，$\xi \neq 0$）。则：
1. 对于任意常数 $k$，$k\lambda$ 是矩阵 $kA$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $kA$ 对应于 $k\lambda$ 的特征向量。
2. 对于任意正整数 $l$（$l \geq 1$），$\lambda^l$ 是矩阵 $A^l$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $A^l$ 对应于 $\lambda^l$ 的特征向量。
3. 对于矩阵多项式
$$
g(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E,
$$
数
$$
g(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0
$$
是矩阵 $g(A)$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $g(A)$ 对应于 $g(\lambda)$ 的特征向量。
**证明**
1. 由 $A\xi = \lambda\xi$，两边乘以 $k$ 得 $(kA)\xi = (k\lambda)\xi$，故结论成立。
2. 对 $l$ 用数学归纳法。当 $l=1$ 时显然。假设 $A^{l-1}\xi = \lambda^{l-1}\xi$，则
$$
A^l \xi = A(A^{l-1}\xi) = A(\lambda^{l-1}\xi) = \lambda^{l-1} A\xi = \lambda^{l-1} \cdot \lambda \xi = \lambda^l \xi.
$$
故结论对任意正整数 $l$ 成立。
3. 利用 (2) 的结论，
$$
\begin{aligned}
g(A)\xi &= (a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E)\xi \\
&= a_k A^k\xi + a_{k-1} A^{k-1}\xi + \cdots + a_1 A\xi + a_0 E\xi \\
&= a_k \lambda^k \xi + a_{k-1} \lambda^{k-1} \xi + \cdots + a_1 \lambda \xi + a_0 \xi \\
&= (a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0) \xi \\
&= g(\lambda) \xi.
\end{aligned}
$$
因此 $g(\lambda)$ 是 $g(A)$ 的特征值，$\xi$ 为对应的特征向量。
#### 不同特征值的特征向量线性无关
**定理 4.3**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是 $A$ 的 $s$ 个互不相同的特征值，$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 分别是与之对应的特征向量（即 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i,\ i=1,2,\dots,s$），则向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性无关。
**证明（数学归纳法）**
**归纳基础**：当 $s=1$ 时，$\xi_1 \neq 0$，故线性无关。
**归纳假设**：假设对于 $s-1$ 个互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关。
**归纳步骤**：考虑 $s$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ 及对应的特征向量 $\xi_1, \dots, \xi_s$。设有一组数 $k_1, \dots, k_s$ 使得
$$
k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_s \xi_s = 0. \tag{1}
$$
用矩阵 $A$ 左乘 (1) 式，并利用 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i$，得
$$
k_1 \lambda_1 \xi_1 + k_2 \lambda_2 \xi_2 + \cdots + k_s \lambda_s \xi_s = 0. \tag{2}
$$
将 (1) 式乘以 $\lambda_s$，再减去 (2) 式，得
$$
k_1 (\lambda_s - \lambda_1) \xi_1 + k_2 (\lambda_s - \lambda_2) \xi_2 + \cdots + k_{s-1} (\lambda_s - \lambda_{s-1}) \xi_{s-1} = 0.
$$
由归纳假设，$\xi_1, \dots, \xi_{s-1}$ 线性无关，故
$$
k_i (\lambda_s - \lambda_i) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, s-1.
$$
因为特征值互不相同，$\lambda_s - \lambda_i \neq 0$，所以 $k_i = 0\ (i=1,\dots,s-1)$。代入 (1) 式得 $k_s \xi_s = 0$，而 $\xi_s \neq 0$，故 $k_s = 0$。因此所有系数均为零，向量组 $\xi_1, \dots, \xi_s$ 线性无关。
---
### 4.1.3 示例
#### 例 4.3 求矩阵 $B$ 的特征值与特征向量
设
$$
B = \begin{bmatrix}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2
\end{bmatrix}.
$$
**解**
计算特征多项式：
$$
\begin{aligned}
f_B(\lambda) &= |\lambda E - B| =
\begin{vmatrix}
\lambda+3 & -1 & 1 \\
7 & \lambda-5 & 1 \\
6 & -6 & \lambda+2
\end{vmatrix} \\[6pt]
&= (\lambda+3) \begin{vmatrix} \lambda-5 & 1 \\ -6 & \lambda+2 \end{vmatrix}
- (-1) \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 6 & \lambda+2 \end{vmatrix}
+ 1 \begin{vmatrix} 7 & \lambda-5 \\ 6 & -6 \end{vmatrix} \\[6pt]
&= (\lambda+3)\big[(\lambda-5)(\lambda+2) + 6\big] + \big[7(\lambda+2) - 6\big] + \big[7\cdot(-6) - 6(\lambda-5)\big] \\[6pt]
&= (\lambda+3)(\lambda^2 - 3\lambda -4) + (7\lambda+8) + (-12 - 6\lambda) \\[6pt]
&= (\lambda-4)\big[(\lambda+3)(\lambda+1) + 1\big] \\[6pt]
&= (\lambda-4)(\lambda^2 + 4\lambda + 4) \\[6pt]
&= (\lambda-4)(\lambda+2)^2.
\end{aligned}
$$
故特征方程为 $(\lambda-4)(\lambda+2)^2 = 0$，得特征值：
$$
\lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -2.
$$
**对于 $\lambda_1 = 4$**，解方程组 $(4E - B)x = 0$：
$$
4E - B = \begin{bmatrix}
7 & -1 & 1 \\
7 & -1 & 1 \\
6 & -6 & 6
\end{bmatrix}
\stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
得基础解系：
$$
\xi_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.
$$
因此对应于 $\lambda_1 = 4$ 的全部特征向量为 $k_1\xi_1$（$k_1 \neq 0$）。
**对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$**，解方程组 $(-2E - B)x = 0$：
$$
-2E - B = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
7 & -7 & 1 \\
6 & -6 & 0
\end{bmatrix}
\stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
同解方程组为
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 = 0, \\
x_3 = 0.
\end{cases}
$$
取自由未知量 $x_2 = 1$，得基础解系：
$$
\eta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.
$$
因此对应于二重特征值 $-2$ 的全部特征向量为 $k\eta$（$k \neq 0$）。
---
### 例 4.4（幂等矩阵的特征值）
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A^2 = A$（即 $A$ 是幂等矩阵）。证明：$A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
#### 证明
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（$\xi \neq 0$），则有
$$
A\xi = \lambda \xi.
$$
在等式两边左乘矩阵 $A$，得
$$
A^2\xi = A(\lambda \xi) = \lambda A\xi = \lambda^2 \xi.
$$
由于 $A^2 = A$，故 $A^2\xi = A\xi = \lambda \xi$。因此
$$
\lambda^2 \xi = \lambda \xi \quad \Rightarrow \quad (\lambda^2 - \lambda)\xi = 0.
$$
因为 $\xi \neq 0$，所以 $\lambda^2 - \lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda - 1) = 0$。解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
因此，幂等矩阵 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
---

86
素材/向量空间与线性空间.md
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@ -0,0 +1,86 @@
在讲线性空间之前，必须先复习一下向量空间的知识，这是必要的，因为线性空间与向量空间之间有某种“联系”，这种联系叫做“同构”。
>[!note] 定义1$\qquad$向量空间
>设$V$是数域$\mathbb{F}$上的$n$维向量构成的非空集合，如果$V$对于向量加法及数乘两种运算封闭，即
>（1）对任意的$\boldsymbol{\alpha}\in V,\boldsymbol{\beta}\in V$，有$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V$；
>（2）对任意的$\boldsymbol{\alpha}\in V,k\in \mathbb{F}$，有$k\boldsymbol{\alpha}\in V$，
>那么称集合$V$为数域$\mathbb{F}$上的**向量空间**.若$\mathbb{F}$为实（复）数域，则称$V$为**实（复）向量空间**.
一般地，由向量$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$**生成的向量空间**定义为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$的一切线性组合所构成的集合，记作$\mathrm{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)$，即$$\text{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)=\{k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n|k_1,k_2,\cdots,k_n\in\mathbb{R}\}.$$
>[!note] 定义2$\qquad$子空间
>设$U,V$都是同一数域上的向量空间，若$U\subseteq V$，则称$U$为$V$的子空间.
向量空间的**基**和**维数**等概念就不在这里具体定义，不然讲义会变得相当繁琐。但建议大家自己去看一看书上的相关定义，这是必要的。
有以下几个点需要注意：
>[!tip]
>1)零空间$\displaystyle\{\boldsymbol{0}\}$没有基；
>2)一般来说，向量空间的基是不唯一的；
>3)等价的向量组生成的向量空间是相同的；
>4)向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概念
如果向量组$\displaystyle T:\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$是向量空间$\displaystyle V$的一组基，则对任意$\boldsymbol{\beta}\in V$，有$$\boldsymbol{\beta}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n,x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R},$$若用矩阵乘法的形式，则可以写成$$\boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,$$称$\boldsymbol{x}$为向量$\boldsymbol{\beta}$在基$T$下的坐标.特别地，如果取基$$\mathcal{E}:\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n,\boldsymbol{e}_i=\begin{bmatrix}\vdots\\1\\\vdots\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n,\text{其中1在第}i\text{行}，$$则$\boldsymbol{\beta}$在基$\mathcal{E}$下的坐标就是它本身.
既然基是不唯一的，那么会有一个问题：不同的基之间有什么关系呢？
我们取向量空间$V$的两组基$\displaystyle T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$和$\displaystyle T_2:\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$.由于$T_1$是一组基，向量组$T_2$中的每个向量肯定可以唯一地用$T_1$来表示，即$$\boldsymbol{\beta}_i=k_{i1}\boldsymbol{\alpha}_1+k_{i2}\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{in}\boldsymbol{\alpha}_n,k_{ij}\in\mathbb{R},i,j=1,2,\cdots,n.$$故$$\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\beta}_n
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n}\\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
k_{n1} & k_{n2} & \cdots & k_{nn}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n
\end{bmatrix}\boldsymbol{K},
$$称矩阵$\boldsymbol{K}$为基$T_1$到基$T_2$的**过渡矩阵**.由推导过程知过渡矩阵是存在且唯一的，也显然是可逆的（否则向量组$T_2$就会线性相关，与它是一组基矛盾）.同时，我们还要考虑同一个向量$\boldsymbol{\gamma}$在两组不同的基下的坐标之间的关系.
设向量$\boldsymbol{\gamma}\in V$，且在基$T_1$下的坐标为$\boldsymbol{x}$，即$$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\overset{\mathrm{def}}{=}\boldsymbol{Ax},$$若$\boldsymbol{\gamma}$在基$T_2$下的坐标为$\boldsymbol{y}$，则$$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\beta}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{y}\overset{\mathrm{def}}{=}\boldsymbol{By},$$又有$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{AK}$，得$$\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{By}=\boldsymbol{AKy},$$由于同一个向量在同一组基下的坐标是唯一的，故$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Ky},或\boldsymbol{y}=\boldsymbol{K}^{-1}\boldsymbol{x}.$$注意不要搞错矩阵乘的位置.
既然我们已经学了这么多的知识了，那不妨来做几道题试试吧！（雾）
>[!example] 例题1
>设$V=\{(x_1,x_2,x_3)^T|x_1+x_2+x_3=0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$，证明$V$是一个向量空间，并求出它的一组基.
**证明：** 对任意$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V, k\in\mathbb{R}$，记$(1,1,1)=\boldsymbol{\alpha}$，则有$\boldsymbol\alpha\boldsymbol x=\boldsymbol\alpha\boldsymbol y=0,\boldsymbol\alpha(\boldsymbol x+\boldsymbol y)=0$,故$\boldsymbol x+\boldsymbol y,k\boldsymbol x\in V$，即$V$是向量空间.显然$V$中的所有元素就是方程$x_1+x_2+x_3=0$的所有解，而方程的通解为$$\boldsymbol x=k_1\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},k_1,k_2\in\mathbb R,$$故$V$的基为$\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}.$
>[!example] 例题2
>已知$\mathbb{R}^2$的两组基$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$和$\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2$.求一个非零向量$\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^2$，使得$\boldsymbol\beta$在两组基下有相同的坐标，其中$$\boldsymbol\alpha_1=(2,-1)^T,\boldsymbol\alpha_2=(5,-4)^T;\boldsymbol\varepsilon_1=(1,0)^T,\boldsymbol\varepsilon_2=(0,1)^T.$$
**解：**
容易得到从后一组基到前一组基的过渡矩阵为$$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}2 & 5\\-1 & -4\end{bmatrix},$$设$\boldsymbol\beta$在$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$下的坐标为$\boldsymbol y$，则$$\boldsymbol y=\boldsymbol C\boldsymbol y\Rightarrow (\boldsymbol C-\boldsymbol E)\boldsymbol y=\boldsymbol 0.$$解这个齐次线性方程组得$$\boldsymbol y=k(-5,1)^T,k\in\mathbb{R}.$$
好了，现在回到我们的主题：线性空间。先下定义：
>[!note] 定义3$\qquad$线性空间
>设$V$为一非空集合，$\mathbb{F}$为一数域. 对于$V$中任意两个元素定义了“加法”运算，记为“+”；对于数域$\mathbb{F}$中的元素与$V$中元素定义“数乘”运算，记为"$\cdot$"（算式中常省略不写）. 如果满足对任意$x,y,z\in V,\lambda,\mu\in\mathbb{F}$，有
>（1）（封闭性）$V$对加法和数乘封闭；
>（2）（交换律）$x+y=y+x$
>（3）（加法结合律）$(x+y)+z=x+(y+z)$
>（4）（零元）存在元素$0\in V$，使得对任意$x\in V$均有$0+x=x$
>（5）（负元）对任意$x\in V$，存在$y\in V$，使得$x+y=0$
>（6）（第一分配律）$\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$
>（7）（第二分配律）$(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$
>（8）（数乘结合律）$(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)$
>（9）（数乘单位元）存在$1\in \mathbb{F}$，使得对任意$x\in V$，有$1x=x$，
>则称$V$关于上述运算构成数域$\mathbb{F}$上的**线性空间**，简记为 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 是线性空间.
这个定义看上去很复杂，其实是很自然的，这一系列的性质都是我们熟悉的向量空间所具有的，这里只是给它一般化了而已。这里的“加法”和“数乘”只是代表两种运算，并不一定就是我们平常所说的加法和乘法。
和向量空间类似，我们也可以定义线性子空间、基、维数和坐标等概念，也可以讨论线性空间中的基变换和坐标变换，但这里就不一一赘述了。我们主要关注线性空间的基。
设 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 为 $n$ 维线性空间，若 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{R}$ ，则对任意$\boldsymbol{\alpha}\in V$，若它在某一组基下的坐标为 $\boldsymbol{x}$ ，则所有这种坐标组成的集合是一个 $n$ 维的向量空间 $U$ 。而每一个线性空间中的元素对这一组基都有唯一的一个坐标，我们就可以建立起从 $V$ 到 $U$ 的一个双射 $\varphi: U\rightarrow V,\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{\alpha}$。设这组基为$T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$，则这个双射$\varphi$就可以写成$$\boldsymbol{\alpha}=\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}.$$这样，我们就可以把所有线性空间中的问题通过它的一组基放到一个维数相同的向量空间中去解决。这其实就是**同构**的思想，每一个线性空间都与一个同维的向量空间结构相同，能够保持原来空间中的运算性质。这也是为什么我们要先做一些向量空间的题目。
>[!example] 线性空间的几个例子
> $(1)$ 对任意给定的正整数$m,n,\mathbb{R}^{m\times n}=\{\boldsymbol A=[a_{ij}]_{m\times n}|a_{ij}\in\mathbb{R}\}$关于矩阵加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，成为**实矩阵空间**；
>
> $(2)$ 对任意给定的正整数$n$，次数不超过$n$ 的关于文字$x$的一切多项式构成的集合$\boldsymbol P_n[x]=\{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0|a_i\in\mathbb{R},i=0,1,\cdots,n\}$关于多项式加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，称为**多项式空间**。这里$x$可以是实数、复数、方阵，甚至可以是函数、映射，如果能定义出映射之间的乘法（一般可以是复合）和加法运算的话；
>
> $(3)$ 设集合$S$为向量空间$V$上所有线性变换的集合。对任意$\sigma,\pi\in S$定义加法和数域$\mathbb{F}$上的数乘分别为：$(\sigma+\pi)(x)=\sigma(x)+\pi(x),(k\sigma)(x)=k\sigma(x)$，则$S$关于上述加法和数乘构成数域$\mathbb{F}$上的线性空间。实际上，由于线性变换与方阵之间有一一对应的关系，我们可以借助矩阵空间来理解$S$这个线性空间。
上面第三个例子不要求大家掌握，但前两个还是得清楚的，这是书上明确给了的例子。
>[!example] 例题
>设$V$是定义与区间$[a,b]$上取正值的所有函数的集合，我们定义$$f\oplus g=f\times g,\lambda \odot f=f^\lambda\qquad(f,g\in V,\lambda\in\mathbb{R}).$$证明：在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
**证明：** 加法$\oplus$交换律、结合律显然成立.取常值映射$\text{c}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto 1$，有$$\forall f\in V,(f\oplus\text{c})(x)=f(x)\times\text c(x)=f(x)\times1=f(x),$$故映射 $\text{c}$ 为零元.对任意$f\in V$，取映射$\displaystyle g\in V:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto\frac{1}{f(x)}$，则$$(f\oplus g)(x)=f(x)\times g(x)=1=\text{c}(x),$$故$g$为$f$的负元. 显然负元唯一. 取$\lambda=1$，显然$1\odot f=f^1=f$，故存在数乘单位元.
$V$显然对上述加法和乘法封闭. 故在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.

30
素材/微分中值定理与定积分中值定理的综合运用：.md
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@ -1,30 +0,0 @@
经过对近十年的期末测试题的观察，微分中值定理通常不会单独出题，而是与积分中值定理一起出，本模块旨在通过几道经典的题目，让同学们熟悉微分中值与定积分中值的综合运用。
首先我们来回顾定积分中值定理：
>[!note] 定理
>如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在积分区间$[a,b]$上至少有一点$\xi$，使
>$$\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)\qquad(a\le\xi\le b)$$
这类题的识别特征是：
1. 出现积分号
2. 证明存在 $\xi$ 使得……
>[!example] 例题1
>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\large{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$. 证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$
**证明：**
由积分中值定理，存在$\eta\in(1,2),\int_1^2f(x)\text{d}x=f(\eta)=0$.
令$F(x)=\text{e}^{-2022x}f(x)$，有$$F'(x)=\text{e}^{-2022x}(f'(x)-2022f(x)),$$且$F(0)=0=F(\eta)$。故由罗尔中值定理得存在$\xi\in(0,\eta)\subset(0,2)$，使得$$F'(\xi)=0,f'(\xi)=2022f(\xi).$$
>[!example] 例题2
>设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\large{\int}_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.证明：至少存在一点$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=\frac{2}{2-\xi}f(\xi)$
**证明：**
令$F(x)=(x-2)^2f(x)$，则$$F'(x)=2(x-2)f(x)+(x-2)^2f'(x)=(x-2)(2f(x)+(x-2)f'(x)).$$由于$\large{\int_0^1}f(x)\text{d}x=0$，由积分中值定理，存在$\eta\in(0,1)$，$f(\eta)=0$，从而$F(\eta)=0$.又$F(2)=0$，由罗尔定理得$$\exists\xi\in(\eta,2)\subset(0,2),F'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=\frac{2}{2-\xi}f(\xi).$$
>[!example] 例题3
>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$$3\int_{\frac{2}{3}}^1f(x)\mathrm{d}x=f(0).$$证明存在$c\in(0,1)$，使得$f'(c)=0$.
**证明：**
由积分中值定理，存在$\xi\in(\frac{2}{3},1)$，使得$\int_\frac{2}{3}^1f(x)\text{d}x=f(\xi)\cdot(1-\frac{2}{3})$，故$f(\xi)=f(0)$.由罗尔中值定理，存在$c\in(0,\xi)\subset(0,1)$，使得$f'(c)=0$.证毕.

122
素材/微分中值定理的不等式问题.md
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@ -1,122 +0,0 @@
## 微分中值定理证明不等式的要点归纳
### 识别不等式结构
- 若不等式形如 $f(b) - f(a)$ 与 $b-a$ 的关系，或含有函数值差与自变量差之商，可考虑**拉格朗日中值定理**。
### 选择合适定理与辅助函数
- **拉格朗日定理**：常用于"单函数"差值型不等式，构造 $f(x)$ 使 $f'(\xi)$ 出现在不等式中。
- **柯西定理**：适用于"双函数"比值型不等式，构造 $f(x), g(x)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 出现。
- **辅助函数构造**：常借助常见函数如 $\ln x, e^x, x^n, \arctan x, \sin x, \cos x$ 等，通过求导形式匹配目标。
### 法一：利用导数单调性估计中值
- 应用中值定理得到含 $\xi$ 的表达式后，可以通过函数极值的求法求出其最大最小值进行比较
### 法二：直接对所得结果进行放缩
>[!example] 例1
设 $e < a < b < e^2$，证明：$$
\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).$$
**证明**：
考虑函数 $f(x) = \ln^2 x$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
$$
\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} = f'(\xi) = \frac{2\ln \xi}{\xi}.
$$
令 $g(x) = \dfrac{2\ln x}{x}$，求导得
$$
g'(x) = \frac{2(1-\ln x)}{x^2}.
$$
当 $x > e$ 时，$\ln x > 1$，故 $g'(x) < 0$，即 $g(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减。
由于 $e < a < \xi < b < e^2$，所以
$$
g(\xi) > g(e^2) = \frac{2\ln e^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}.
$$
因此
$$
\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} > \frac{4}{e^2},
$$
即
$$
\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).
$$
证毕。
>[!example] 例2
设 $a > e$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：$$
a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
**证明**：
令 $f(t) = a^t$，则 $f(t)$ 在 $[x, y]$ 上连续，在 $(x, y)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x, y)$，使得
$$
\frac{a^y - a^x}{\cos x - \cos y} = \frac{a^\xi \ln a}{\sin \xi }
$$
$$\frac{a^\xi \ln a}{\sin \xi }>a^\xi \ln a>a^x \ln a$$
证毕
>[!example] 例3
证明：当 $x>0$ 时，$$
\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$
**证明**：
考虑函数 $f(t) = \arctan t$ 与 $g(t) = \ln(1+t)$，两者在 $[0, x]$ 上连续，在 $(0, x)$ 内可导，且 $g'(t) = \frac{1}{1+t} \neq 0$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in (0, x)$，使得
$$
\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} = \frac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{1/(1+\xi^2)}{1/(1+\xi)} = \frac{1+\xi}{1+\xi^2}.
$$
令 $\phi(\xi) = \dfrac{1+\xi}{1+\xi^2}$，则
$$
\phi'(\xi) = \frac{(1+\xi^2) - (1+\xi) \cdot 2\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac{1 - 2\xi - \xi^2}{(1+\xi^2)^2} = \frac{2 - (1+\xi)^2}{(1+\xi^2)^2}.
$$
令 $\phi'(\xi) = 0$，得 $(1+\xi)^2 = 2$，因 $\xi > 0$，故 $\xi = \sqrt{2} - 1$。
当 $0 < \xi < \sqrt{2} - 1$ 时，$\phi'(\xi) > 0$；当 $\xi > \sqrt{2} - 1$ 时，$\phi'(\xi) < 0$。
因此 $\phi(\xi)$ 在 $\xi = \sqrt{2} - 1$ 处取得最大值：
$$
\phi(\sqrt{2} - 1) = \frac{1 + (\sqrt{2} - 1)}{1 + (\sqrt{2} - 1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{1 + (3 - 2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})}.
$$
化简：
$$
\frac{\sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{4} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.
$$
于是对任意 $\xi > 0$，有 $\phi(\xi) \leq \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$，从而
$$
\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}, \quad x > 0.
$$
等号在 $\xi = \sqrt{2} - 1$ 时成立，即存在 $x > 0$ 使等号成立。证毕。
>[!example] 例4
(1) 证明：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;
(2) 证明不等式 $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。
**证明**
（1）对 $x > 0$ 定义函数 $f(t) = \ln(1+t), t \in \left[\frac{x}{2}, x\right]$,
由拉格朗日中值定理知：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得
$$
\begin{aligned}
f(x) - f\left(\frac{x}{2}\right) &= \ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) \\
&= \frac{1}{1+\frac{x}{2}+\theta} \cdot \frac{x}{2} \\
&= \frac{x}{2+(1+\theta)x}.
\end{aligned}
$$
（2）不等式两边取对数，可知仅证明 $(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$ 即可。
令 $F(x) = x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right) - (x+1)\ln(1+x), x \geq 0$，则由（1）知
$$
\begin{aligned}
F'(x) &= 1 + \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} + \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) - 1 - \ln(1+x) \\
&= \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} - \left[\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right)\right] \\
&= \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} - \frac{\frac{x}{2}}{1+(1+\theta)\frac{x}{2}} \\
&= \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} - \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} = 0.
\end{aligned}
$$
因此 $F(x) > F(0) = 0, x > 0$。即 $(x+1)\ln(1+x) < x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right), x > 0$。
令 $x = \frac{1}{n}$，则有 $(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$。因此对任意正整数 $n$ 有不等式
$$
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right)
$$
成立。

230
素材/柯西中值定理与常见辅助函数.md
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@ -1,230 +0,0 @@
## **柯西中值定理**
### **原理**
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
3. 对任意 $x \in (a, b)$，有 $g'(x) \neq 0$；
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得：
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
$$
柯西中值定理的几何意义为：由参数方程 $(g(t), f(t))$ 表示的曲线，在两点间的割线斜率等于曲线上某点切线的斜率。
它与拉格朗日中值定理的关系为：当 $g(x) = x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。它是处理两个函数之间微分中值关系的通用形式。
### **适用条件**
柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。
常见应用方向包括：
1. 直接证明存在性等式；
2. 通过函数配对，将目标等式转化为柯西中值定理的标准形式；
3. 处理“双中值问题”，常与拉格朗日中值定理结合使用。
### **例题**
>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot \ln(b/a)$$
**解析**：
将等式变形为：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \xi f'(\xi)
$$
取 $g(x) = \ln x$，则 $g'(x) = \frac{1}{x} \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。
对 $f(x)$ 与 $g(x)$ 应用柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi)
$$
整理即得所求。
---
>[!example] 例2
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在不同的 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得：
$$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$
**解析**：
1. 对 $f(x)$ 与 $g(x) = \frac{x^2}{2}$ 应用柯西中值定理，存在 $\eta \in (a, b)$ 使得：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{(b^2 - a^2)/2} = \frac{f'(\eta)}{\eta}
$$
整理得：
$$
f(b)-f(a) = \frac{b^2 - a^2}{2\eta} f'(\eta)
$$
2. 对 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
$$
f(b)-f(a) = (b-a) f'(\xi)
$$
3. 联立两式，消去 $f(b)-f(a)$ 得：
$$
(b-a) f'(\xi) = \frac{(b-a)(a+b)}{2\eta} f'(\eta)
$$
由于 $b-a \neq 0$，约去后即得：
$$
f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
$$
---
>[!example] 例3
设 $0 < a < b$，证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$$f(b)-f(a) = \frac{3\xi^2}{a^2+ab+b^2} f'(\xi)(b-a)$$
**解析**：
将等式变形为：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
$$
取 $g(x) = x^3$，则 $g'(x) = 3x^2 \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。
由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
$$
整理后即得所求。
## **辅助函数的构造方法**
### **原理**
在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导后的结果**。
### **常见构造类型**
#### 1. 乘积型与商型
若结论形如：
$$
f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = f(x)g(x)
$$
若结论形如：
$$
f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x) \neq 0)
$$
#### 2. 含幂函数因子
若结论形如：
$$
n f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = x^n f(x)
$$
#### 3. 一阶线性微分结构
若结论形如：
$$
f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0
$$
可构造积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x)\mathrm{d}x}
$$
并设辅助函数：
$$
F(x) = \mu(x) f(x)
$$
#### 4. 对数型
若结论形如：
$$
\frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = k
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \ln|f(x)| - kx
$$
#### 5. 常数变易法
若结论形如：
$$
f'(\xi) = \lambda f(\xi)
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{-\lambda x} f(x)
$$
---
### **例题**
>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$
**解析**：
将结论改写为：
$$
f'(\xi) - 2\xi f(\xi) = 0
$$
属于一阶线性微分结构，其中 $P(x) = -2x$。
积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = e^{-x^2}
$$
构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{-x^2} f(x)
$$
则 $F(0) = 0$，$F(1) = e^{-1}$。
需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。
---
>[!example] 例2
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。
证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$
**解析**：
结论可写为：
$$
\bigl[ e^{kx} f''(x) \bigr]' \big|_{x=\xi} = 0
$$
因此构造辅助函数：
$$
H(x) = e^{kx} f''(x)
$$
由条件可推知存在 $\eta_1, \eta_2 \in (a, b)$ 使 $f''(\eta_1) = f''(\eta_2) = 0$，从而 $H(\eta_1)=H(\eta_2)=0$。
对 $H(x)$ 应用罗尔定理即得证。
---
>[!example] 例3
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{1-x} f(x) dx$
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$
**解析**：
结论化为：
$$
f'(\xi) - (1-\xi) f(\xi) = 0
$$
积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int (x-1) \mathrm{d}x} = e^{\frac{x^2}{2} - x}
$$
构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} f(x)
$$
利用题设积分条件与积分中值定理，可找到 $\eta \in (0, \frac{1}{2})$ 使 $F(\eta) = F(1)$，再对 $F(x)$ 应用罗尔定理即证。

280
素材/特征值.md
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@ -1,32 +1,272 @@
## 第四章 方阵的相似化问题
>[!note] 定理
>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；（2）它的另一个特征值为$\mathrm{tr}(A)$.
### 4.1 特征值与特征向量
**证明：**
根据迹的定义，只需要证明（1）。
因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若$0$的代数重数为$n$，则 $A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾。又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$。
特殊地，如果$A=\beta^T\alpha$,则$\mathrm{tr}(A)=\alpha\beta^T$.
#### 4.1.1 基本概念与求法
>[!note] **定义 4.1**
设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ 使得
$$A\xi = \lambda \xi,$$
则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个**特征值**，$\xi$ 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的一个**特征向量**。
##### 特征值与特征向量的求法
由定义可得：
$$
A\xi = \lambda \xi \quad \text{且} \quad \xi \neq 0.
$$
等价地：
$$
(\lambda E - A)\xi = 0 \quad \text{且} \quad \xi \neq 0.
$$
这表明**特征向量 $\xi$** 是齐次线性方程组 $(\lambda E - A)x = 0$ 的**非零解**。该方程组有非零解当且仅当
$$
\operatorname{rank}(\lambda E - A) < n,
$$
即 $\lambda E - A$ 是奇异矩阵（行列式为零）。
**求法步骤**：
1. **求特征值**
由 $|\lambda E - A| = 0$ 解出 $\lambda$ 的所有根 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（包括重根）。
2. **求特征向量**
对每个特征值 $\lambda_i$，代入齐次线性方程组
$$
(\lambda_i E - A)x = 0
$$
求解，所得的全部非零解即为对应于 $\lambda_i$ 的特征向量。
#### 特征多项式与特征方程
>[!note] **定义 4.2**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是一个变量，则矩阵 $\lambda E - A$ 称为 $A$ 的**特征矩阵**，其行列式
$$f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$$
称为 $A$ 的**特征多项式**，方程 $|\lambda E - A| = 0$ 称为 $A$ 的**特征方程**。
特征方程的根就是矩阵 $A$ 的特征值。
---
#### 4.1.2 特征值与特征向量的性质
##### 特征值的积与和
>[!note] **定理 4.1**
设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数计算），则：
1.$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$（特征值的积等于矩阵的行列式）；
2.$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$（特征值的和等于矩阵的迹）。
**证明**
设特征多项式为 $f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$。
由于 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是 $f_A(\lambda) = 0$ 的根，故有
$$
f_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_n). \tag{1}
$$
将 $\lambda = 0$ 代入 (1) 式，得
$$
| -A | = (-1)^n |A| = (-1)^n \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n,
$$
因此 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$。
另一方面，将 $f_A(\lambda)$ 按行列式展开，其 $\lambda^{n-1}$ 项仅出现在主对角线上元素的乘积 $(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22}) \cdots (\lambda - a_{nn})$ 中，故 $\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn})$。而在 (1) 式中，$\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)$。比较系数即得
$$
\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}.
$$
>[!note] **推论**
方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 的所有特征值均不为零。
#### 迹、代数重数与几何重数
>[!note] **定义 4.3（迹）**
设 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，则称 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 为 $A$ 的**迹**，记作 $\operatorname{tr}(A)$。由定理 4.1 知，$\operatorname{tr}(A)$ 等于 $A$ 的所有特征值之和。
>[!note] **定义 4.4（代数重数）**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征多项式可分解为$$|\lambda E - A| = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s},$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是互不相同的特征值，且 $r_1 + r_2 + \cdots + r_s = n$。则称 $r_i$ 为特征值 $\lambda_i$ 的**代数重数**。
>[!note] **定义 4.5（几何重数）**
设 $\lambda_i$ 是方阵 $A$ 的特征值，则称特征子空间$$V_{\lambda_i} = \{ x \mid (A - \lambda_i E) x = 0 \}$$
的维数 $\dim V_{\lambda_i}$ 为 $\lambda_i$ 的**几何重数**，即齐次线性方程组 $(A - \lambda_i E)x = 0$ 的基础解系所含向量的个数。
>[!example] 例1
>设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^T$ 的全部 $3$ 个特征值为$\underline{\qquad}$。
>[!note] **定理 4.2（几何重数不超过代数重数）**
设 $\lambda_k$ 是方阵 $A$ 的特征值，其代数重数为 $r_k$，几何重数为 $d_k$，则$$d_k \leq r_k, \quad k = 1, 2, \dots, s.$$
即属于特征值 $\lambda_k$ 的线性无关的特征向量的个数不超过其代数重数。
**解：**
设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
#### 特征值与矩阵运算的关系
>[!example] **例 4.5**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（即 $A\xi = \lambda\xi$，$\xi \neq 0$）。则：
1.对于任意常数 $k$，$k\lambda$ 是矩阵 $kA$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $kA$ 对应于 $k\lambda$ 的特征向量。
2.对于任意正整数 $l$（$l \geq 1$），$\lambda^l$ 是矩阵 $A^l$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $A^l$ 对应于 $\lambda^l$ 的特征向量。
3.对于矩阵多项式$$g(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E,$$和数$$g(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0$$是矩阵 $g(A)$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $g(A)$ 对应于 $g(\lambda)$ 的特征向量。
**证明**
1. 由 $A\xi = \lambda\xi$，两边乘以 $k$ 得 $(kA)\xi = (k\lambda)\xi$，故结论成立。
2. 对 $l$ 用数学归纳法。当 $l=1$ 时显然。假设 $A^{l-1}\xi = \lambda^{l-1}\xi$，则
$$
A^l \xi = A(A^{l-1}\xi) = A(\lambda^{l-1}\xi) = \lambda^{l-1} A\xi = \lambda^{l-1} \cdot \lambda \xi = \lambda^l \xi.
$$
故结论对任意正整数 $l$ 成立。
3. 利用 (2) 的结论，
$$
\begin{aligned}
g(A)\xi &= (a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E)\xi \\
&= a_k A^k\xi + a_{k-1} A^{k-1}\xi + \cdots + a_1 A\xi + a_0 E\xi \\
&= a_k \lambda^k \xi + a_{k-1} \lambda^{k-1} \xi + \cdots + a_1 \lambda \xi + a_0 \xi \\
&= (a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0) \xi \\
&= g(\lambda) \xi.
\end{aligned}
$$
因此 $g(\lambda)$ 是 $g(A)$ 的特征值，$\xi$ 为对应的特征向量。
#### 不同特征值的特征向量线性无关
>[!note] **定理 4.3**
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是 $A$ 的 $s$ 个互不相同的特征值，$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 分别是与之对应的特征向量（即 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i,\ i=1,2,\dots,s$），则向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性无关。
**证明（数学归纳法）**
**归纳基础**：当 $s=1$ 时，$\xi_1 \neq 0$，故线性无关。
**归纳假设**：假设对于 $s-1$ 个互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关。
**归纳步骤**：考虑 $s$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ 及对应的特征向量 $\xi_1, \dots, \xi_s$。设有一组数 $k_1, \dots, k_s$ 使得
$$
k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_s \xi_s = 0. \tag{1}
$$
用矩阵 $A$ 左乘 (1) 式，并利用 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i$，得
$$
k_1 \lambda_1 \xi_1 + k_2 \lambda_2 \xi_2 + \cdots + k_s \lambda_s \xi_s = 0. \tag{2}
$$
将 (1) 式乘以 $\lambda_s$，再减去 (2) 式，得
$$
k_1 (\lambda_s - \lambda_1) \xi_1 + k_2 (\lambda_s - \lambda_2) \xi_2 + \cdots + k_{s-1} (\lambda_s - \lambda_{s-1}) \xi_{s-1} = 0.
$$
由归纳假设，$\xi_1, \dots, \xi_{s-1}$ 线性无关，故
$$
k_i (\lambda_s - \lambda_i) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, s-1.
$$
因为特征值互不相同，$\lambda_s - \lambda_i \neq 0$，所以 $k_i = 0\ (i=1,\dots,s-1)$。代入 (1) 式得 $k_s \xi_s = 0$，而 $\xi_s \neq 0$，故 $k_s = 0$。因此所有系数均为零，向量组 $\xi_1, \dots, \xi_s$ 线性无关。
---
### 4.1.3 示例
>[!example] 例 4.3
>求矩阵 $B$ 的特征值与特征向量
其中$$
B = \begin{bmatrix}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2
\end{bmatrix}.
$$
**解**
计算特征多项式：
$$
\begin{aligned}
f_B(\lambda) &= |\lambda E - B| =
\begin{vmatrix}
\lambda+3 & -1 & 1 \\
7 & \lambda-5 & 1 \\
6 & -6 & \lambda+2
\end{vmatrix} \\[6pt]
&= (\lambda+3) \begin{vmatrix} \lambda-5 & 1 \\ -6 & \lambda+2 \end{vmatrix}
- (-1) \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 6 & \lambda+2 \end{vmatrix}
+ 1 \begin{vmatrix} 7 & \lambda-5 \\ 6 & -6 \end{vmatrix} \\[6pt]
&= (\lambda+3)\big[(\lambda-5)(\lambda+2) + 6\big] + \big[7(\lambda+2) - 6\big] + \big[7\cdot(-6) - 6(\lambda-5)\big] \\[6pt]
&= (\lambda+3)(\lambda^2 - 3\lambda -4) + (7\lambda+8) + (-12 - 6\lambda) \\[6pt]
&= (\lambda-4)\big[(\lambda+3)(\lambda+1) + 1\big] \\[6pt]
&= (\lambda-4)(\lambda^2 + 4\lambda + 4) \\[6pt]
&= (\lambda-4)(\lambda+2)^2.
\end{aligned}
$$
故特征方程为 $(\lambda-4)(\lambda+2)^2 = 0$，得特征值：
$$
\lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -2.
$$
对于 $\lambda_1 = 4$，解方程组 $(4E - B)x = 0$：
$$
4E - B = \begin{bmatrix}
7 & -1 & 1 \\
7 & -1 & 1 \\
6 & -6 & 6
\end{bmatrix}
\stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
得基础解系：
$$
\xi_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.
$$
因此对应于 $\lambda_1 = 4$ 的全部特征向量为 $k_1\xi_1$（$k_1 \neq 0$）。
对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$，解方程组 $(-2E - B)x = 0$：
$$
-2E - B = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
7 & -7 & 1 \\
6 & -6 & 0
\end{bmatrix}
\stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
同解方程组为
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 = 0, \\
x_3 = 0.
\end{cases}
$$
取自由未知量 $x_2 = 1$，得基础解系：
$$
\eta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.
$$
因此对应于二重特征值 $-2$ 的全部特征向量为 $k\eta$（$k \neq 0$）。
---
>[!example] 例 4.4（幂等矩阵的特征值）
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A^2 = A$（即 $A$ 是幂等矩阵）。证明：$A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
**证明：**
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（$\xi \neq 0$），则有
$$
A\xi = \lambda \xi.
$$
$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。
在等式两边左乘矩阵 $A$，得
$$
A^2\xi = A(\lambda \xi) = \lambda A\xi = \lambda^2 \xi.
$$
>[!example] 例2
>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。
由于 $A^2 = A$，故 $A^2\xi = A\xi = \lambda \xi$。因此
$$
\lambda^2 \xi = \lambda \xi \quad \Rightarrow \quad (\lambda^2 - \lambda)\xi = 0.
$$
**解：**
设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
因为 $\xi \neq 0$，所以 $\lambda^2 - \lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda - 1) = 0$。解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
因此，幂等矩阵 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
---
• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。

101
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设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零 $n$ 维列向量 $\xi$，使得 $A\xi = \lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。
1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$。
2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**。
3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**。
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零 $n$ 维列向量 $\xi$，使得 $A\xi = \lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量.
1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$.
2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**.
3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**.
特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”。这一点在矩阵的相似表现的尤为明显。
特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”. 这一点在矩阵的相似表现的尤为明显.
特征值最基本的性质：
1. 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即 $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$；
2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$。
3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$。
4. 相似矩阵特征值相等。
2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$.
3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. 相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$.
4. 相似矩阵特征值相等.
相似矩阵的定义与性质
数域 $K$ 上两个 $n$ 阶矩阵$A,B$ 相似的定义为: 存在数域$K$ 上的可逆矩阵$P$ 使得$B = P^{-1}AP$. 记为
$A \sim B$.
1. 相似是一种等价关系, 即满足反身性, 对称性, 传递性.
2. $A,B$ 相似, 可以得到 $A,B$ 秩相同, 但是不要求$A,B$ 都可逆, 更不要求$A,B$ 对称.
3. 对于任意的有理式 $f(x)$， 都有$f(A) \sim f(B)$. 并且, 如果
$B = P^{-1}AP$, 则$f(B) = P^{-1}f(A)P$. 对于 $A^*$，可视作 $|A|A^{-1}$，是有理式中的一个 $-1$ 次方项目.
4. $A_1 \sim B_1,\;A_2 \sim B_2$, 不一定有$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$. 只有当$P^{-1}A_1P = B_1$ 且$P^{-1}A_2P = B_2$ 时(相同的过渡矩阵$P$), 才有 $P^{-1}(A_1+A_2)P = B_1+B_2$， 即$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$, 这是很苛刻的条件. 你将会在**例题4**中看到.
5. 如果$A_1 \sim A_2$, 且$B_1 \sim B_2$, 则显然有$\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$
原因是若$P^{-1}A_1P = A_2,\;Q^{-1}B_1Q = B_2$, 则$\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$
在选择题中，我们可以通过一些性质来快速排除可能的相似关系：
>[!info] 判断相似关系的快速步骤
>1. 判断特征值是否相等
>2. 判断行列式是否相等
>3. 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等
>4. 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论.
#### 对角化
$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ 。
将一个方阵通过可逆变换变为对角矩阵（$A=P^{-1}\Lambda P$）的过程就是相似对角化，相似对角化最根本的应用就是求方阵的有理式（ $\ f(A)=P^{-1}f(\Lambda)P$ ），这在科学计算中起到了很大的简化作用.
$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ .
对角化的步骤：
1. 确定特征值 $\lambda_i$
2. 对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）
3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵：
1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）；
2. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵：
$$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end{bmatrix},
\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix},A=P^{-1}\Lambda P$$
实对称矩阵是一类特殊的矩阵：实对称矩阵就是天选之子，本身就能相似对角化，因为他有 $n$ 个实特征向量，并且，实对称矩阵还可以正交相似对角化，即相似变化矩阵可以是正交矩阵（这个性质非常重要！）
实对称矩阵正交相似对角化的步骤：
1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）；
2. <span style="color:ffaa33;font-weight: bold;">对特征向量作施密特正交化；（不同特征值的特征向量天然正交）</span>
3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵.
若 $A$ 与某个对角矩阵 $B$ 相似，我们可以根据 $B$ 的性质来反推 $A$ 的性质（秩，行列式，特征值），一般地，求抽象矩阵的行列式，需要想到根据特征值的乘积得出.
## 常见题型
##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问。
##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问.
1. 针对“迹”设问
>[!hint]- 提示
>[!hint] 提示
>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：
>（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；
>>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若$0$的代数重数为$n$，则 $A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾。又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$。
>（1）$0$为其特征值，且几何重数均为$n-1$，若$A$能相似对角化，则$0$的代数重数也为$n-1$；
>>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若矩阵$A$能相似对角化，则代数重数与几何重数相等，也为$n-1$。若$A$不能相似对角化，则$0$的代数重数为$n$。
>
>（2）它的另一个特征值为 $\mathrm{tr}(A)$.
>>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出.
>
>秩为 $1$ 的矩阵 $A$ 可以拆成 $A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^\mathrm{T}$，$\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$
>此时 $A$ 的迹为 $\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$
>此时 $A$ 的迹为 $\displaystyle\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$
>[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_
>[!note]- 解析
>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$。（最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问）
>[!note] 解析
>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）.
>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）.
>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$.
>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$. （最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问）
>[!example] 例题2
>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。
>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$.
>[!note]- 解析
>[!note] 解析
>设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
>$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
>注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
>秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。
>由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$.
2. 针对“有理函数”设问
>[!example] 例题3
>已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>[!note]- 解析
>“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。”
>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。
>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
>[!note] 解析
>“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. ”
>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式.
>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$.
>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题4
已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】
@ -70,20 +98,21 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
>[!warning] 注意！
>转置不能作为有理式的一部分！
##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质。
##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质.
>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题5
>设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．
>[!note]- 解析
>[!note] 解析
>通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$,
> $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$
> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$。
> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$.
> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$.
> $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(5E-A)=1$ 得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$；
> 而 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$；
> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$。
> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$.
> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$.
> $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(E-A)=1$ 得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$；
> 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。
> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$.

71
素材/相似对角化.md
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@ -0,0 +1,71 @@
首先我们来谈谈什么是相似，换句话说，一堆矩阵相似，就是他们有某种特殊的共同特征，
就比如说我们可以把所有发展中国家列为相似的，而中国就是里面最具有代表特征的，同理，对角矩阵就是那个最具代表特征的矩阵，它非常简洁。
将一个方阵通过可逆变换变为对角矩阵的过程就是相似对角化。
相似对角化最根本的应用就是求方阵的幂，这在科学计算中起到了很大的简化作用。
值得一提的是，相似对角化并不是对所有方阵使用的，可遇而不可求。
一般的，相似对角化的充要条件是 $A$ 的特征值的几何重数=代数重数.
相似对角化的步骤：
1. 求特征值和特征向量（判断重数）
2. 取特征向量构成相似变化矩阵（记为 $P$ ），并得到相应的对角阵 $\Omega$（注意：特征向量要与特征值列列对应）
实对称矩阵
实对称矩阵就是天选之子，本身就能相似对角化，因为他有 $n$ 个实特征向量，并且，实对称矩阵还可以正交相似对角化，即相似变化矩阵可以是正交矩阵（这个性质非常重要！）
正交矩阵的逆等于他的转置，因此求逆的复杂度也会大大减小。
实对称矩阵正交对角化的步骤：
1. 求特征值和特征向量（此时我们得到的N个特征向量线性无关）
2. 将这 $n$ 个特征向量施密特正交化，得到标准正交向量组
3. 标准正交向量组构成正交矩阵，并得到相应的对角矩阵 $\Omega$（注意：特征向量要与特征值列列对应）
需要注意的是：
若 $A$ 与某个对角矩阵 $\Omega$ 相似，我们可以根据 $\Omega$ 的性质来反推 $A$ 的性质（秩，行列式，特征值），一般地，求抽象矩阵的行列式，可以根据特征值的乘积得出。
一些基本知识点：
# 相似矩阵的定义与性质
数域$K$ 上两个$n$ 级矩阵$A,B$ 相似的定义为: 存在数域$K$ 上的可逆矩阵$P$ 使得$B = P^{-1}AP$。记为
$A \sim B$.
1. 相似是一种等价关系, 即满足反身性, 对称性, 传递性.
2. $A,B$ 相似, 可以得到$A,B$ 秩相同, 但是不要求$A,B$ 都可逆, 更不要求$A,B$ 对称.
3. 相似与数域无关(即矩阵的相似不随数域的扩大而改变).
4. $A \sim B$ 可以得到$A^m \sim B^m$, 更一般地, 对于任意的多项式$f(x)$, 都有$f(A) \sim f(B)$. 并且, 如果
$B = P^{-1}AP$, 则$f(B) = P^{-1}f(A)P$. 同时$A^* \sim B^*$, 如果$A,B$ 可逆, 还有$A^{-1} \sim B^{-1}$.
5. $A_1 \sim B_1,\;A_2 \sim B_2$, 不一定有$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$. 只有当$P^{-1}A_1P = B_1$ 且$P^{-1}A_2P = B_2$ 时(相同的
过渡矩阵$P$), 才有$P^{-1}(A_1+A_2)P = B_1+B_2$, 即$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$, 这是很苛刻的条件.
6. 如果$A_1 \sim A_2$, 且$B_1 \sim B_2$, 则显然有
$$
\begin{pmatrix}
A_1 & O \\
O & B_1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
A_2 & O \\
O & B_2
\end{pmatrix}.
$$
原因是若$P^{-1}A_1P = A_2,\;Q^{-1}B_1Q = B_2$, 则
$$
\begin{pmatrix}
P & O \\
O & Q
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
A_1 & O \\
O & B_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
P & O \\
O & Q
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_2 & O \\
O & B_2
\end{pmatrix}.
$$
题型：
1. 求方阵的幂
2. 求行列式，特征值
3. 判断相似关系
判断相似关系的基本步骤（一般是选择题）：
Step1 判断特征值是否相等
Step2 判断行列式是否相等
step3 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等
Step4 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论.

10
素材/相似对角化的基础题目.md
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@ -0,0 +1,10 @@
>[!example] 例一
>设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 2 \\ 2&-1&-2\\2&-2&-1\end{bmatrix}$,$\boldsymbol E$是3阶单位矩阵，则矩阵$\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2$全部特征值之和是____
>[!note] 解析
>易知$\boldsymbol A$的特征值为$\lambda =1,1,-5$,令$\boldsymbol B=\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2,$
>$\xi为矩阵A的一个特征向量,\boldsymbol B\xi=(1+2\lambda-\lambda^2)\xi,$
>$则有\boldsymbol B 的特征值\lambda'=(1+2\lambda-\lambda^2)=2,2,-34,则答案为2+2-34=-30$

32
素材/秩为1矩阵性质.md
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@ -0,0 +1,32 @@
>[!note] 定理
>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；（2）它的另一个特征值为$\mathrm{tr}(A)$.
**证明：**
根据迹的定义，只需要证明（1）。
因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若$0$的代数重数为$n$，则 $A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾。又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$。
特殊地，如果$A=\beta^T\alpha$,则$\mathrm{tr}(A)=\alpha\beta^T$.
>[!example] 例1
>设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^T$ 的全部 $3$ 个特征值为$\underline{\qquad}$。
**解：**
设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。
>[!example] 例2
>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。
**解：**
设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。

30
素材/线性方程组同解.md
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@ -1,30 +0,0 @@
## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
非齐次的时候同理.
注意：由此，我们还能得到一些别的结论
例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
>[!example] 例1
>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$ 与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
(A) $a = 1, b = 0, c = 1$;
(B) $a = 1, b = 1, c = 2$;
(C) $a = 2, b = 0, c = 1$;
(D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$

90
素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
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@ -1,90 +0,0 @@
这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式
>[!note] 秩零化度定理：
>对于齐次方程组 ${A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}{A}=r$，则
> $$\dim N({A})=n-r$$
>[!example] 例1
>已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\beta$ 的通解.
**答案：**
$$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$
**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数
**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
>[!example] 例2
>设 $$A = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 6
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & -1 & a & a-1 \\
2 & -3 & 2 & -2
\end{bmatrix},
\quad
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$
(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
$\quad$
(2) 若方程组 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与方程组 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
**解：**
(1) 由于
$$
\begin{bmatrix}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
2 & -3 & 2 & -2 & -1
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
$$
故
$$
\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha],
$$
从而方程组
$$
\begin{cases}
A\boldsymbol{x} = \alpha \\
B\boldsymbol{x} = \beta
\end{cases}
$$
与 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 同解，故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。
(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理
由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
$$
4 - r(A) < 4 - r(B),
$$
故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则
$$
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & a \\
2 & -3 & 2
\end{array} \right| = 0,
$$
解得 $a = 1$。

88
素材/线性方程组解的问题.md
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@ -1,88 +0,0 @@
### 原理
**线性方程组解的判定**
对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
**矩阵方程解的判定**
本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
1. 有解的充要条件：
矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
2. 解的结构：
- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
可逆矩阵
- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
其他形式的矩阵方程
- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
>[!example] **例1**
>设矩阵
>$$A = \begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix},
\quad
x = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{bmatrix},
\quad
b = \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}$$
其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。
**答**：$(1,0,0,0)^T$。
**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
又由
$$
\begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
可知 $Ax = b$ 的解为
$$
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
$$
>[!example] **例2**
> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
**解析**：
类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$

137
素材/罗尔定理与拉格朗日中值定理.md
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@ -1,137 +0,0 @@
## **罗尔定理**
### **原理**
若函数 f(x) 满足以下三个条件：
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
罗尔定理的几何意义为：满足条件的函数曲线在区间内至少有一条水平切线。
它是拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$）当 $f(a)=f(b)$ 时的特例。
### **适用条件**
罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。
具体可分为以下几类：
1.直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
2.构造辅助函数证明导函数相关方程有根
对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。
3.结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。
4.证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。
罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数
### **例题**
>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
**解析**：
设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$即
$$
n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0
$$
两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
>[!example] 例2
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。
**解析**：
由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。
>[!example] 例3
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；
(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
**解析**：
(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理及罗尔定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。
(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。
## **拉格朗日中值定理**
### **原理**
若函数 f(x) 满足两个条件:
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。
### **适用条件**
拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。
### **例题**
>[!example] 例1
设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且
$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
**解析**：
对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
$$
f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0)
$$
即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。
>[!example] 例2
设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
**解析**：
不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：
$$
f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2)
$$
$$
f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1)
$$
于是
$$
f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1
$$
对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使
$$
f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0
$$
故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。
>[!example] 例3
设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
$$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
（2）求
$$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$
解：
1. 证： 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得
$$
f(x)=f(0)+x f'(x\theta(x)).
$$
如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。
2. 解 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x}
&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \\
&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-x f'(0)}{x^{2}} \\
&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} \\
&= \frac{f''(0)}{2},
\end{aligned}
$$
所以 $\lim_{x\rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$。

182
编写小组/讲义/微分中值定理.md
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@ -3,7 +3,7 @@ tags:
- 编写小组
---
**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁**
## **辅助函数的构造方法**
@ -48,7 +48,7 @@ f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0
$$
可构造积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x)\mathrm{d}x}
\mu(x) = \text{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}
$$
并设辅助函数：
$$
@ -76,7 +76,7 @@ f'(\xi) = \lambda f(\xi)
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{-\lambda x} f(x)
F(x) = \text{e}^{-\lambda x} f(x)
$$
或者写成：
$$
@ -84,7 +84,7 @@ f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0
$$
则构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{\lambda x} f(x)
F(x) = \text{e}^{\lambda x} f(x)
$$
注：5实际上是3的 $P(\xi)=\lambda$ 的特殊情况
@ -106,17 +106,19 @@ $$
属于一阶线性微分结构，其中 $P(x) = -2x$。
积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = e^{-x^2}
\mu(x) = \text{e}^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = \text{e}^{-x^2}
$$
构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{-x^2} f(x)
F(x) = \text{e}^{-x^2} f(x)
$$
则 $F(0) = 0$，$F(1) = e^{-1}$。
需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。
则 $F(0) = 0$，$F(1) = 0$。
于是由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，$F'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=2f(\xi)$.
---
>[!example] 例2
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。 （有改动）
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。
证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$
```text
@ -139,8 +141,10 @@ $$
```
---
>[!example] 例3
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\sqrt{e}\int_0^{1/2} e^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$\displaystyle f(1) = 2\sqrt{\text{e}}\int_0^{1/2} \text{e}^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$
```text
@ -161,12 +165,12 @@ $$
```
```
## **罗尔定理**
### **原理**
若函数 f(x) 满足以下三个条件：
若函数 $f(x)$ 满足以下三个条件：
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
@ -177,13 +181,13 @@ $$
### **适用条件**
罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。
具体可分为以下几类：
1.直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
1. 直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
2.构造辅助函数证明导函数相关方程有根
2. 构造辅助函数证明导函数相关方程有根
对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。
3.结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
3. 结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。
4.证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
4. 证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。
罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数
@ -204,8 +208,17 @@ $$
```
>[!example] 例2
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
@ -226,17 +239,25 @@ $$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
```
## **拉格朗日中值定理**
### **原理**
若函数 f(x) 满足两个条件:
若函数 $f(x)$ 满足两个条件:
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。
其中$\xi$也有另一种形式.由于$\xi$是介于$a,b$之间的，我们可以用以下形式表示这种“介于”的性质：$$\xi=a+\theta(b-a),\theta\in(0,1)$$如果令$b-a=h$，则拉格朗日中值定理还可以写成$$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a+\theta(b-a))=f(a)+hf'(a+\theta h).$$这也是泰勒公式中拉格朗日余项这个名字的由来。
是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 $(a,b)$ 内，至少存在一点的切线与连接端点 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的弦平行。
### **适用条件**
拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。
@ -262,17 +283,18 @@ $$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
```
>[!example] 例2
设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
```text
```
>[!example] 例2
设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
```
@ -297,7 +319,7 @@ $$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
$$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
（2）求
$$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$
$\lim\limits_{x \to 0} \theta(x).$
```text
@ -316,6 +338,10 @@ $$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
```
## **柯西中值定理**
@ -338,7 +364,7 @@ $$
### **适用条件**
柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。
柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。
常见应用方向包括：
1. 直接证明存在性等式；
@ -349,7 +375,7 @@ $$
>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$
$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot \ln(b/a)$$
```text
@ -363,12 +389,22 @@ $$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$
```
---
## 多次运用中值定理
@ -400,6 +436,11 @@ $$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$
```
@ -421,6 +462,13 @@ $$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot ln(b/a)$$
@ -454,9 +502,6 @@ $$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
@ -470,24 +515,23 @@ $$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
## 微分中值定理证明不等式的要点归纳
### 识别不等式结构
**识别不等式结构**
- 若不等式形如 $f(b) - f(a)$ 与 $b-a$ 的关系，或含有函数值差与自变量差之商，可考虑**拉格朗日中值定理**。
### 选择合适定理与辅助函数
**选择合适定理与辅助函数**
- **拉格朗日定理**：常用于"单函数"差值型不等式，构造 $f(x)$ 使 $f'(\xi)$ 出现在不等式中。
- **柯西定理**：适用于"双函数"比值型不等式，构造 $f(x), g(x)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 出现。
- **辅助函数构造**：常借助常见函数如 $\ln x, e^x, x^n, \arctan x, \sin x, \cos x$ 等，通过求导形式匹配目标。
- **辅助函数构造**：常借助常见函数如 $\ln x, \text{e}^x, x^n, \arctan x, \sin x, \cos x$ 等，通过求导形式匹配目标。
### 法一：利用导数单调性估计中值
**法一：利用导数单调性估计中值**
- 应用中值定理得到含 $\xi$ 的表达式后，可以通过函数极值的求法求出其最大最小值进行比较
### 法二：直接对所得结果进行放缩
**法二：直接对所得结果进行放缩**
最终目标是将多变量问题变成单变量问题，将复杂变量问题变成简单变量问题
>[!example] 例1
设 $e < a < b < e^2$，证明：$$
\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).$$
设 $\text{e} < a < b < \text{e}^2$，证明：$$
\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{\text{e}^2}(b-a).$$
```text
@ -505,15 +549,6 @@ $$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
```
>[!example] 例2
设 $a > e$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：$$
a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```text
@ -528,13 +563,12 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```
>[!example] 例3
证明：当 $x>0$ 时，$$
\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$
```text
>[!example] 例2
设 $a > \text{e}$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：$$
a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```text
@ -553,9 +587,9 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```
>[!example] 例4
(1) 证明：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;
(2) 证明不等式 $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。
>[!example] 例3
证明：当 $x>0$ 时，$$
\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$
```text
@ -572,6 +606,14 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```
>[!example] 例4
(1) 证明：存在 $\displaystyle\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \dfrac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;
(2) 证明不等式 $$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \text{e}\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。
```text
@ -589,6 +631,8 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```
## 微分中值定理与积分中值定理结合
经过对近十年的期末测试题的观察，微分中值定理通常不会单独出题，而是与积分中值定理一起出，本模块旨在通过几道经典的题目，让同学们熟悉微分中值与定积分中值的综合运用。
首先我们来回顾定积分中值定理：
@ -601,7 +645,7 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
2. 证明存在 $\xi$ 使得……
>[!example] 例题1
>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\large{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$. 证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$
>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$$3\int_{\frac{2}{3}}^1f(x)\mathrm{d}x=f(0).$$证明存在$c\in(0,1)$，使得$f'(c)=0$.
```text
@ -609,15 +653,6 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```
>[!example] 例题2
@ -630,25 +665,8 @@ a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$
```
>[!example] 例题3
>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$$3\int_{\frac{2}{3}}^1f(x)\mathrm{d}x=f(0).$$证明存在$c\in(0,1)$，使得$f'(c)=0$.
```text
>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\displaystyle{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$. 证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$
```

151
试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,151 @@
# 2010—2011学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 __________。
2. 设矩阵
$$
A = \left[ \begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\
a & b & \frac{-4}{3\sqrt{2}} \\
\frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}
\end{array} \right]
$$
为正交矩阵，则$ab =$__________。
3. 若实二次型
$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}
$$
为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 __________。
4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 __________。
5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$__________。
6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为 __________。
---
## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。
- (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$
- (B)$A^{-1}$的第二列乘以2为$B^{-1}$
- (C)$A^{-1}$的第二行乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$
- (D)$A^{-1}$的第二列乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$
2. 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关，以下命题中错误的是（ ）。
- (A)$\alpha_1$不能被$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性表示
- (B)$\alpha_2$不能被$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$线性表示
- (C)$\alpha_4$能被$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示
- (D)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关
3. 设$A = [a_{ij}]_{n\times n}$，二次型
$$
f(x_1,x_2,\dots ,x_n) = \sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n)^2
$$
的矩阵为（ ）。
- (A)$A$
- (B)$A^2$
- (C)$A^T A$
- (D)$A A^T$
4. 设$A, B$均为4阶方阵，且$\mathrm{rank}A = 4$，$\mathrm{rank}B = 3$，$A$和$B$的伴随矩阵为$A^*$和$B^*$，则$\mathrm{rank}(A^* B^*)$等于（ ）。
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
5. 已知$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$是向量空间$V$的一个基，以下向量组也是$V$的基的是（ ）。
- (A)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4+\alpha_1$
- (B)$\alpha_1-\alpha_2,\ \alpha_2-\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
- (C)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
- (D)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
6. 设3阶方阵$A$的三个特征值为$\lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = 3,\ \lambda_3 = -6$，对应于$\lambda_1$的特征向量为$x_1 = (1,0,-1)^T$，对应$\lambda_2$的特征向量为$x_2 = (2,1,1)^T$，记向量$x_3 = x_1 + x_2$，则（ ）。
- (A)$x_3$是对应于特征值$\lambda_1 = 0$的特征向量
- (B)$x_3$是对应于特征值$\lambda_2 = 3$的特征向量
- (C)$x_3$是对应于特征值$\lambda_3 = -6$的特征向量
- (D)$x_3$不是$A$的特征向量
---
## 三、（10分）计算$n$阶行列式
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 + x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n \\
x_2x_1 & 1 + x_2^2 & \cdots & x_2x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_nx_1 & x_nx_2 & \cdots & 1 + x_n^2
\end{vmatrix}
$$
其中$x_i \neq 0, i = 1, 2, \dots , n$。
---
## 四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{bmatrix}。
$$
---
## 五、（10分）判定向量组
$$
\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\
\alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix},\
\alpha_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix},\
\alpha_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}
$$
的线性相关性，求其一极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
---
## 六、（10分）设线性方程组为
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1} - 3x_{2} - x_{3} = 0, \\
x_{1} - 4x_{2} + ax_{3} = b, \\
2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 5,
\end{array}
\right.
$$
问：$a, b$取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
---
## 七、（12分）已知实二次型
$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1},
$$
求正交变换$x = Qy$，将二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形，并写出正交变换$x = Qy$。
---
## 八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：
(1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$；
(2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

179
试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,179 @@
# 2011—2012学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 已知3阶矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。
2. 已知矩阵$A$的逆矩阵
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 \\
3 & 1 & 0 \\
5 & 2 & 0
\end{bmatrix},
$$
则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。
3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。
4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。
5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。
---
## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 2 & b \end{bmatrix},
$$
$A$与$B$可交换的充要条件是（ ）。
- (A)$a = b - 1$
- (B)$a = b + 1$
- (C)$a = b$
- (D)$a = 2b$
2. 设$n$阶非零矩阵$A$满足$A^{3} = 0$，则（ ）。
- (A)$E - A$不可逆，$E + A$不可逆
- (B)$E - A$可逆，$E + A$不可逆
- (C)$E - A$不可逆，$E + A$可逆
- (D)$E - A$可逆，$E + A$可逆
3. 设$A,B$均为$m\times n$矩阵，给定下面四个命题：
① 若$A x = 0$的解均是$B x = 0$的解，则$\mathrm{rank}A \geq \mathrm{rank}B$；
② 若$\mathrm{rank}A \geq \mathrm{rank}B$，则$A x = 0$的解均是$B x = 0$的解；
③ 若$A x = 0$与$B x = 0$同解，则$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}B$；
④ 若$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}B$，则$A x = 0$与$B x = 0$同解。
则上述命题正确的是（ ）。
- (A) ①②
- (B) ①③
- (C) ②④
- (D) ③④
4. 设$n$阶可逆矩阵$A$的伴随矩阵为$A^{*}$，$n\geq 2$，互换$A$的第一行与第二行得到矩阵$B$，则（ ）。
- (A) 互换$A^{*}$的第一列与第二列得到$B^{*}$
- (B) 互换$A^{*}$的第一行与第二行得到$B^{*}$
- (C) 互换$A^{*}$的第一列与第二列得到$-B^{*}$
- (D) 互换$A^{*}$的第一行与第二行得到$-B^{*}$
5. 已知$\eta_{1},\eta_{2}$是非齐次线性方程组$A x = b$的两个不同解，$\xi_{1},\xi_{2}$是对应的齐次线性方程组$A x = 0$的基础解系，$k_{1},k_{2}$为任意常数，则$A x = b$的通解必是（ ）。
- (A)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} + \xi_{2}) + \dfrac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}$
- (B)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} - \xi_{2}) + \dfrac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2}$
- (C)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} + \eta_{2}) + \dfrac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}$
- (D)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} - \eta_{2}) + \dfrac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2}$
6. 已知$A$是4阶矩阵，且$\mathrm{rank}(3E - A) = 2$，则$\lambda = 3$是$A$的（ ）。
- (A) 一重特征值
- (B) 二重特征值
- (C)$k$重特征值，$k\geq 2$
- (D)$k$重特征值，$k\leq 2$
---
## 三、（10分）计算$n$阶行列式
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 + a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & 1 + a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\
a_3 & a_3 & 1 + a_3 & \cdots & a_3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n & a_n & a_n & \cdots & 1 + a_n
\end{vmatrix}
$$
**专业：** __________
**年级：** __________
**学院：** __________
**姓名：** __________
**学号：** __________
---
## 四、（10分）设
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix},
$$
$A^{*}X = A^{- 1} + 2X$，求矩阵$X$。
---
## 五、（10分）已知齐次线性方程组 (I) 的基础解系为
$$
\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
\xi_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},
$$
齐次线性方程组 (II) 的基础解系为
$$
\eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad
\eta_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix},
$$
试求方程组 (I) 和 (II) 的公共解。
---
## 六、（10分）设$p_1, p_2$分别是$n$阶矩阵$A$对应于特征值$\lambda_1, \lambda_2$的特征向量，$\lambda_1 \neq \lambda_2$，证明$p_1 + p_2$必不是$A$的特征向量。
---
## 七、（12分）设
$$
a_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix},\
a_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix},\
a_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{bmatrix},
$$
$$
\beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ a + 1 \end{bmatrix},\
\beta_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2a \end{bmatrix},\
\beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}.
$$
试问：当$a$为何值时，向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$等价？当$a$为何值时，向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$不等价？
---
## 八、（12分）已知二次型
$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + 6x_{3}^{2} + 8x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3} \quad (a > 0)
$$
通过正交变换可以化为标准形$7y_{1}^{2} + 7y_{2}^{2} - 2y_{3}^{2}$，求参数$a$及所用的正交变换。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

144
试卷库/线性代数期末真题/线代2012秋A.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,144 @@
# 2012—2013学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设矩阵$A = [\alpha_{1} \ \alpha_{2} \ \alpha_{3} \ \alpha]$，$B = [\alpha_{1} \ \alpha_{2} \ \alpha_{3} \ \beta]$，其中$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha ,\beta$均为4维列向量，且$|A| = |B| = 1$，则$|(A + B)^{\dagger}| =$__________。
2. 设$A$是3阶方阵，且$A$的全部特征值是$1,2,3$，则$|2A^{-1}| =$__________。
3. 已知$A = PQ,\ P = (1,2,1)^\mathrm{T},\ Q = (2, - 1,2)$，则矩阵$A^2$的秩是 __________。
4. 设$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}$，$E$是3阶单位矩阵，则矩阵$E + 2A - A^2$的全部特征值之和是 __________。
5. 二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}$在正交变换下的标准形是 __________。
6. 设向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}$线性无关，$\beta_{1} = \alpha_{1} + \alpha_{2},\ \beta_{2} = \alpha_{2} + \alpha_{3},\ \dots ,\ \beta_{s - 1} = \alpha_{s - 1} + \alpha_{s},\ \beta_{s} = \alpha_{s} + \alpha_{s}$，则向量组$\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{s}$线性无关的充要条件是 __________。
---
## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设4阶方阵$A, B$的秩分别是1、4，则矩阵$BAB$的秩是（ ）。
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
2. 设$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times m$矩阵，则线性方程组$ABX = 0$（ ）。
- (A) 当$n < m$时，仅有零解
- (B) 当$n < m$时，必有非零解
- (C) 当$m < n$时，仅有零解
- (D) 当$m < n$时，必有非零解
3.$n$阶方阵$A$有$n$个不同的特征值是$A$与对角阵相似的（ ）。
- (A) 充分必要条件
- (B) 充分但非必要条件
- (C) 必要但非充分条件
- (D) 既非充分也非必要条件
4. 设$n$为奇数，将$1,2,3,\dots ,n^2$这$n^2$个数排成一个$n$阶行列式，使得该行列式中每行每列元素的和都相等，则该行列式的值可以整除的正整数是（ ）。
- (A)$n^2$
- (B)$n^2 + 1$
- (C)$n^2 + 2$
- (D)$n^2 + 3$
5. 已知3阶实对称矩阵$A$的特征值为$1,1,-2$，且$\eta_1 = (1,1,-1)^\mathrm{T}$是$A$的对应于$\lambda = -2$的特征向量，则矩阵$A$为（ ）。
*注：原试卷此处包含一个矩阵表达式图片，内容为候选矩阵选项，此处保留说明。*
6. 已知4阶矩阵$A$与$B$相似，$A$的全部特征值为$1,2,3,4$，则行列式$|B^{-1} - E|$为（ ）。
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 0
---
## 三、（10分）计算$n$阶行列式的值
$$
D_n =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
---
## 四、（10分）设$A,B$是3阶方阵，$E$是3阶单位矩阵，且满足$AB + E = A^2 + B$。如果
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
求矩阵$B$。
---
## 五、（10分）设有非齐次线性方程组
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + kx_3 = 4, \\
-x_1 + kx_2 + x_3 = k^2, \\
x_1 - x_2 + 2x_3 = -4.
\end{cases}
$$
试讨论当参数$k$取何值时，
（1）该线性方程组无解；
（2）该线性方程组有无穷多解，并求出其通解表达式。
---
## 六、（10分）设$A$与$B$相似，且
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & x
\end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}.
$$
求$x,y$的值，并计算$A^{100}$。
---
## 七、（12分）设$A$为实对称矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{n}$分别为$A$的最小和最大特征值。
（1）证明对任意$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n})^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{n}$，均有
$$
\lambda_{1} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \lambda_{n} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{x};
$$
（2）若$|A| < 0$，则存在$\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n}$，使得$\mathbf{x}_{0}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}_{0} < 0$。
---
## 八、（12分）
（1）设$\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}$均是三维列向量，且$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性无关，$\beta_{1},\beta_{2}$线性无关，证明存在非零向量$\xi$，使得$\xi$既可由$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表出，又可由$\beta_{1},\beta_{2}$线性表出。
（2）当
$$
\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix},\
\alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix};\quad
\beta_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix},\
\beta_2 = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}
$$
时，求所有既可由$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表示，又可由$\beta_{1},\beta_{2}$线性表示的向量。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

0
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177
试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md
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@ -0,0 +1,177 @@
# 2014—2015学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & k & -2 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & -3
\end{bmatrix},
$$
行列式$|3A| = 27$，则参数$k =$__________。
2. 矩阵
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
的逆矩阵为 __________。
3. 设$A$是正负惯性指数均为1的3阶实对称矩阵，且满足$|E + A| = |E - A| = 0$，则行列式$|2E + 3A| =$__________。
4. 已知二次型
$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 2bx_{2}x_{3}
$$
可通过正交变换化成标准形$f = y_{1}^{2} + 2y_{2}^{2} + 5y_{3}^{2}$，则$ab^{2} =$__________。
5. 已知
$$
A_{1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix},\
A_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},\
B = \begin{bmatrix} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2}^{-1} \end{bmatrix},
$$
$B^{*}$为$B$的伴随矩阵，则$|B^{*}| =$__________。
6. 若向量组
$$
\alpha_{1} = (3,2,0,1)^{\mathrm{T}},\
\alpha_{2} = (3,0,\lambda ,0)^{\mathrm{T}},\
\alpha_{3} = (1, -2,4, -1)^{\mathrm{T}}
$$
线性相关，则$\lambda =$__________。
---
## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设$n$阶方阵$A,B,C$满足关系式$ABC = E$，其中$E$为$n$阶单位矩阵，则必有（ ）。
- (A)$BAC = E$
- (B)$B = C^{-1}A^{-1}$
- (C)$BCA = E$
- (D)$CBA = E$
2. 设$\alpha_{1},\alpha_{2}$和$\beta_{1},\beta_{2}$是向量空间$\mathbb{R}^{2}$的两组基，并且
$$
\beta_{1} = -5\alpha_{1} - 2\alpha_{2},\quad \beta_{2} = 3\alpha_{1} + \alpha_{2},
$$
则由$\beta_{1},\beta_{2}$到$\alpha_{1},\alpha_{2}$的过渡矩阵是（ ）。
- (A)$\begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 1 & -6 \end{bmatrix}$
- (B)$\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$
- (C)$\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$
- (D)$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
3. 设
$$
\alpha_{1} = (1,0,0,0)^{\mathrm{T}},\
\alpha_{2} = (2, -1,1, -1)^{\mathrm{T}},\
\alpha_{3} = (0,1, -1,a)^{\mathrm{T}},\
\beta = (3, -2,b, -2)^{\mathrm{T}},
$$
已知$\beta$不能由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表出，则（ ）。
- (A)$b = 2$
- (B)$b \neq 2$
- (C)$a = 1$
- (D)$a \neq 1$
4. 设$A$是3阶矩阵，$|A| = -4$，且$A^{2} - A = 2E$，则$A$的伴随矩阵$A^{*}$的特征值为（ ）。
- (A)$-2, -2, 4$
- (B)$-2, 4, 4$
- (C)$2, 2, -4$
- (D)$2, -4, -4$
5. 下列四个矩阵中，正定矩阵是（ ）。
- (A)$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$
- (B)$\begin{bmatrix} -9 & 2 & 0 \\ 2 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$
- (C)$\begin{bmatrix} -3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix}$
- (D)$\begin{bmatrix} 6 & 2 & 0 \\ 2 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
6. 设$A_{n+1} = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4]$，
$\xi_{1} = (-2,0,1,0)^{\mathrm{T}}$，$\xi_{2} = (1,0,0,1)^{\mathrm{T}}$为齐次线性方程组$Ax = 0$的基础解系，
$\eta$是$A$的属于特征值2的特征向量，则以下命题中错误的是（ ）。
- (A)$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性无关
- (B)$\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关
- (C)$\alpha_{1},\alpha_{2},\eta$线性无关
- (D)$\xi_{1},\xi_{2},\eta$线性无关
---
## 三、（10分）计算$n$阶行列式
$$
D_{n} = \begin{vmatrix}
1 + x_{1} & 1 + x_{1}^{2} & \dots & 1 + x_{1}^{n} \\
1 + x_{2} & 1 + x_{2}^{2} & \dots & 1 + x_{2}^{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 + x_{n} & 1 + x_{n}^{2} & \dots & 1 + x_{n}^{n}
\end{vmatrix}.
$$
---
## 四、（10分）求解非齐次线性方程组
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2x_{1} + x_{2} - x_{3} + x_{4} = 1, \\
3x_{1} - 3x_{2} + x_{3} - 3x_{4} = 4, \\
x_{1} + 4x_{2} - 3x_{3} + 5x_{4} = -2.
\end{array}
\right.
$$
---
## 五、（10分）设$n$维非零列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{n}$满足条件$\alpha_{i}^{\mathrm{T}}A\alpha_{j} = 0\ (i\neq j)$，其中$A$是$n$阶正定矩阵，证明向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{n}$线性无关。
---
## 六、（10分）设3阶方阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 6 & 1
\end{bmatrix},
$$
求解矩阵方程$AX + E = A^2 + X$。
---
## 七、（12分）设3阶矩阵$A = [\alpha_{1} \ \alpha_{2} \ \alpha_{3}]$，其中$\alpha_{1} \neq 0$，已知$AB = 0$，
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & -2 & -3 \\
k & 4 & 6
\end{bmatrix}.
$$
试根据$k$的不同取值求$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
---
## 八、（12分）已知三元二次型$x^{\mathrm{T}}Ax$经正交变换化为$2y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$，矩阵$B$满足方程
$$
\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{\mathrm{T}}\right]^{-1}BA^{-1} = 2AB + 4E,
$$
且$A^{*}\alpha = \alpha$，其中$\alpha = (1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，$A^{*}$为$A$的伴随矩阵，求二次型$x^{\mathrm{T}}Bx$的表达式。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

49
试卷库/线性代数期末真题/线代2017秋A.md
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@ -0,0 +1,49 @@
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设 $A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&\frac{5}{2}\end{bmatrix}$ ， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $(A^*)^{-1}=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
2. 已知向量 $\boldsymbol{\beta}_1=\begin{bmatrix}1\\a\\5\end{bmatrix}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_2=\begin{bmatrix}1\\-3\\2\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}$ 线性表示，则 $a=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 矩阵 $\begin{bmatrix}k&-1&-1\\-1&k&-1\\-1&-1&k\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}1&2&0\\0&-2&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}$ 等价，则 $k=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
4. 设 $A=[\boldsymbol{\gamma}_1\ \boldsymbol{\gamma}_2\ \boldsymbol{\gamma}_3]$ ， $B=[\boldsymbol{\gamma}_4\ 2\boldsymbol{\gamma}_2\ 3\boldsymbol{\gamma}_3]$ 为3阶方阵，且已知 $|A|=2$ ， $|B|=18$ ，则 $|B - A|=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
5. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征值互不相等，且 $|A|=0$ ，则 $A$ 的秩等于\_\_\_\_\_\_\_\_。
6. 已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 8x_1x_3 + 2x_2x_3$ 可经非退化线性变换 $\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}$ 化为标准形 $\lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2$ ，则 $a=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设 $A$ 为 $n(n\geq2)$ 阶方阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $|A^*\||A|$ 等于（ ）
A. $|A|^{n^2}$ B. $|A|^{n^2-n}$ C. $|A|^{n^2+n}$ D. $|A|^{n^2-n+1}$
2. 设 $A=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为4阶方阵，其伴随矩阵 $A^*$ 不是零矩阵，若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的一个解， $\boldsymbol{\eta}$ 是非齐次线性方程组 $A^*\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解， $k_1,k_2,k_3$ 为任意常数，则 $A^*\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解可为（ ）
A. $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_3$
B. $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2$
C. $k_1\boldsymbol{\alpha}_2 + k_2\boldsymbol{\alpha}_3 + k_3\boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\eta}$
D. $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\eta}$
3. 设 $\lambda=3$ 是可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $(\frac{1}{4}A^2)^{-1}+E$ 的一个特征值是（ ）
A. $\frac{4}{9}$ B. $\frac{13}{9}$ C. $\frac{13}{4}$ D. $\frac{7}{3}$
4. 设 $A$ 为3阶方阵， $P=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]$ 为3阶可逆矩阵， $Q=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]$ ，已知 $P^TAP=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ ，则 $Q^TAQ=$ （ ）
A. （选项缺失） B. （选项缺失） C. （选项缺失） D. （选项缺失）
5. 设 $A=\begin{bmatrix}2&2&0\\2&5&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ ，则（ ）
A. $A$ 与 $B$ 相似但不合同 B. $A$ 与 $B$ 既相似又合同 C. $A$ 与 $B$ 不相似但合同 D. $A$ 与 $B$ 既不相似又不合同
6. 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 是长度为2的 $n$ 维列向量， $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则（ ）
A. $E - \frac{1}{4}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆 B. $E - \frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆 C. $E - 4\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆 D. $E - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆
## 三、（10分）
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots&1&1\\1&0&x&\cdots&x&x\\1&x&0&\cdots&x&x\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\1&x&x&\cdots&0&x\\1&x&x&\cdots&x&0\end{vmatrix}$ （其中 $n>2$ ）。
## 四、（10分）
设4阶方阵 $A,B,C$ 满足关系式 $B^TC(E - B^{-1}A)^T=E$ ，又已知 $A=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\3&1&2&0\\4&3&1&2\end{bmatrix}$ ，求矩阵 $C$ 。
## 五、（10分）
设 $A$ 为3阶方阵， $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 是 $A$ 的3个不同特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 。令 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + 3\boldsymbol{\alpha}_3$ 。
1. 证明 $\boldsymbol{\beta}$ ， $A\boldsymbol{\beta}$ ， $A^2\boldsymbol{\beta}$ 线性无关；
2. 若 $A^3\boldsymbol{\beta}=3A\boldsymbol{\beta}-2A^2\boldsymbol{\beta}$ ，求 $A$ 的特征值。
## 六、（10分）
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足关系式 $A^2 - 3A - 10E=0$ ，试判断 $A$ 是否能相似对角化，并说明理由。
## 七、（12分）
设齐次线性方程组（Ⅰ）为 $\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 + x_4=0\\2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 7x_4=0\\x_1 + x_2 + 2x_3 + 4x_4=0\\2x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4=0\end{cases}$ （注：原文方程组表述不清晰，按常规齐次方程组格式整理），向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}2\\-1\\a + 2\\1\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}-1\\2\\4\\a + 8\end{bmatrix}$ ，且已知另一齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为（原文基础解系表述缺失，按原文呈现）。
1. 求线性方程组（Ⅰ）的一个基础解系；
2. 当 $a$ 为何值时，线性方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。
## 八、（12分）
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_1^2 + y_2^2$ ，且 $Q$ 的第三列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}$ 。
1. 求 $A$ ；
2. 证明 $A + E$ 是正定矩阵。

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183
试卷库/高数期末真题/2013高数期末考试卷.md
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@ -0,0 +1,183 @@
# 2013—2014学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷
（2014年1月24日）
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
e^{-x}, & x\geq 0,\\
x - 1, & x< 0
\end{array}
\right.
$$
的反函数的定义域为 __________。
2. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^p}\sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$绝对收敛，则常数$p$的取值范围是 __________。
3. 曲线$y = \ln (\sec x + \tan x)$在$(0,0)$处的切线方程为 __________。
4. 不定积分
$$
\int \dfrac{\ln(2x + 1)}{2x + 1}\mathrm{d}x
$$
的计算结果为 __________。
5. 记$S$为区间$[1, + \infty)$上介于曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$与$x$轴之间的无界图形，则$S$绕$x$轴旋转一周所得的旋转体的体积为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$y = f(x)$是区间$[-a,a]$上可导的偶函数，则下列函数中在区间$[-a,a]$上一定为偶函数的是（ ）。
（A）$f^{\prime}(x)$
（B）$x^{2}f^{\prime}(x)$
（C）$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
（D）$\int_{0}^{x}xf(t)\mathrm{d}t$
2. 曲线$y = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}$的拐点个数为（ ）。
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
3. 设$y = f(x)$是$(0, + \infty)$内正值、连续且严格单调减少的函数。下列表格分别给出了函数$g(x) = \int_{x}^{2}f(t)\mathrm{d}t$在点$x = 1,2,3$处的值，则可能出现的情形是（ ）。
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | -2 |
| 2 | 0 |
| 3 | 1 |
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | -2 |
| 2 | 0 |
| 3 | 3 |
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | 2 |
| 2 | 0 |
| 3 | -1 |
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | 2 |
| 2 | 0 |
| 3 | 1 |
（A）第一表
（B）第二表
（C）第三表
（D）第四表
4. 设函数$y = f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime}(x)< 0,f^{\prime \prime}(x)< 0$，$\Delta x$为自变量$x$在点$x_{0}$处的增量，$\Delta y$与$\mathrm{d}y$分别为$f(x)$在点$x_{0}$处的增量与微分，若$\Delta x > 0$，则（ ）。
（A）$0< \mathrm{d}y< \Delta y$
（B）$0< \Delta y< \mathrm{d}y$
（C）$\Delta y< \mathrm{d}y< 0$
（D）$\mathrm{d}y< \Delta y< 0$
5. 设函数$y = f(x)$二阶可导，其图形在$(0,1)$处的曲率圆的方程为$(x - 1)^{2} + y^{2} = 2$，则函数$f(x)$的二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（ ）。
（A）$f(x) = 1 - x + x^{2} + o(x^{2})$
（B）$f(x) = 1 + x - x^{2} + o(x^{2})$
（C）$f(x) = 1 + x - 2x^{2} + o(x^{2})$
（D）$f(x) = 1 - x - 2x^{2} + o(x^{2})$
---
## 三、（6分）求极限
$$
\lim_{n\to \infty}n\left(\frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \dots + \frac{1}{n^2 + n\pi}\right)。
$$
## 四、（6分）求曲线$y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}$的所有渐近线。
## 五、（6分）已知数列$\{a_n\}$有界，试用$\epsilon - N$语言证明
$$
\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{n} = 0。
$$
---
## 六、（6分）设
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \cos (t^2),\\
y = \int_{0}^{t^2} e^{-s^2} \sin u \mathrm{d}u,
\end{array}
\right.
$$
求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$。
## 七、（6分）已知$a$为正常数，试判断级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{a^n \cdot n!}{n^n}
$$
的敛散性。
---
## 八、（8分）已知$f^{\prime}(x) = \arctan (x^{2} - 1)$，$f(1) = 0$，求$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$。
*注：原试卷中此处含有一幅插图，内容为辅助图形或提示，具体内容未在文本中给出，保留说明。*
## 九、（8分）已知函数$\phi (x)$在$(- \infty , + \infty)$内具有二阶连续导数，且$\phi (0) = 0$。问：当常数$a,b$为何值时，函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\phi(x)}{x}, & x > 0,\\
ax + b, & x\leq 0
\end{array}
\right.
$$
在$(- \infty , + \infty)$内可导？并讨论$f^{\prime}(x)$的连续性。
---
## 十、（8分）从1997年4月1日到2007年4月18日，我国铁路经过了七次大提速，每次大提速前，科研人员都要对铁路轨道进行检测，尤其要对弯道进行改造，为确保火车在弯道上的行驶安全，火车所受到的离心力必须平稳变化，因此要求从直道进入弯道时曲率必须是连续变化的，为此需要设计一段曲线轨道将直线轨道与圆弧轨道连接起来，称此连接轨道曲线为缓和曲线，通常选用三次多项式曲线作为缓和曲线，如图所示，$CO$为直线轨道，$AB$为圆弧轨道，$OA$为缓和曲线，已知圆弧轨道半径为$R$（km），$A$点的横坐标为$l$（km）。
（1）设缓和曲线方程为$y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$，试给出系数$a,b,c,d$所满足的关系式；
（2）由于$l\ll R$，工程上通常近似地取缓和曲线的方程为$y = \dfrac{1}{6RI} x^{3}$。试验证该曲线在点$A$处的曲率半径近似为$R$。
*注：原试卷中此处含有一幅插图（第十题图），内容未在文本中给出，保留说明。*
---
## 十一、（8分）已知函数
$$
f_{n}(x) = \int_{0}^{x}t^{2}(1 - t)\sin^{2n}t\mathrm{d}t, \quad x\in (-\infty , + \infty),
$$
其中$n$为正整数。
（1）证明：对任意正整数$n$，函数$f_{n}(x)$在$x = 1$处取得最大值；
（2）记$a_{n} = f_{n}(1), \ n = 1,2,\dots$，试判断级数$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$的敛散性。
---
## 十二、（8分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。试证明：
（1）存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2\xi$；
（2）对任意正数$a,b$，在$(0,1)$内存在相异的两点$x_{1},x_{2}$，使得
$$
\frac{a}{f'(x_1)} + \frac{b}{f'(x_2)} = a + b。
$$
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。

187
试卷库/高数期末真题/2014高数期末考试卷.md
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@ -0,0 +1,187 @@
# 国防科技大学2014—2015学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷
（2015年1月27日）
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 数列极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{2n^2 + 1} + \frac{n}{2n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{2n^2 + n}\right)
$$
的值为 __________。
2. 若$\alpha (x),\beta (x),\gamma (x)$都是$x\to x_0$过程中的无穷小量，且$\beta (x)$是$\alpha (x)$的高阶无穷小，$\gamma (x)$是$\alpha (x)$的等价无穷小，则极限
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{2\alpha(x) - 3\beta(x)}{3\gamma(x) - 2\beta(x)}
$$
的值为 __________。
3. 若$y = f(x)$是$(-∞, +∞)$内以2为周期的可导函数，且
$$
\lim_{x\to 0}\frac{f(1 + x) + 4f(1 - x)}{x} = 3，
$$
则曲线$y = f(x)$在点$(3,f(3))$处的切线方程为 __________。
4. 定积分
$$
\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\arctan x + \arctan(1 - x)}\mathrm{d}x
$$
的值为 __________。
5. 曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} (-\infty < x< +\infty)$与$x$轴所围成的无界图形绕$x$轴旋转一周所成立体的体积为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$a,b$为正常数，则数列极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(a^{-n} + b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}
$$
的值为（ ）。
（A）$\max (a,b)$
（B）$\min (a,b)$
（C）$\max \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$
（D）$\min \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$
2. 设$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，且$\lim_{x\to \infty}f(x) = a$，
$$
g(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x f\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\
0, & x = 0,
\end{array}
\right.
$$
则（ ）。
（A）$x = 0$为$g(x)$的连续点
（B）$x = 0$为$g(x)$的第一类间断点
（C）$x = 0$为$g(x)$的第二类间断点
（D）$g(x)$在$x = 0$处的连续性与$a$的值有关
3. 设有曲线$y = \dfrac{x^{2}}{3x + 2}$，则该曲线（ ）。
（A）只有一条铅直渐近线
（B）只有一条水平渐近线
（C）有一条铅直渐近线和一条水平渐近线
（D）有一条铅直渐近线和一条斜渐近线
4. 设函数$y = f(x)$在区间$[0,2]$上连续且严格单调增加，$f(0) = 0, f(2) = 1$。若
$$
\int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{3}，
$$
则$\int_{0}^{1}f^{-1}(y)\mathrm{d}y$的值为（ ）。
（A）1
（B）$\dfrac{5}{3}$
（C）$\dfrac{2}{3}$
（D）$\dfrac{1}{3}$
5. 函数
$$
f(x) = \int_{0}^{x}e^{-t}(2 - t)(1 - t)^{2}\mathrm{d}t
$$
在$(- \infty , + \infty)$内极值点的个数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
---
## 三、（6分）设
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t}f(u^{2})\mathrm{d}u,\\
y = \int_{0}^{t}f(u)\mathrm{d}u,
\end{array}
\right.
$$
其中$f(u)$为定义在$(- \infty , + \infty)$内的正值连续函数，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$和$\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。
## 四、（6分）求极限
$$
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1 + x)}{x}\right]^{\cos x}。
$$
## 五、（6分）求曲线$x^{2} + y^{2} - xy = 1$在点$P(1,1)$处的曲率。
---
## 六、（6分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，且满足
$$
\int_{0}^{x} u f(x - u) \mathrm{d}u = e^{x} \sin x，
$$
求$f(x)$的表达式。
## 七、（6分）设函数$y = f(x)$在$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得
$$
f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{2 - \xi}。
$$
---
## 八、（8分）已知函数$y = f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，记$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$。若$f(0) = 0$，且当$\Delta x \to 0$时，恒有
$$
\Delta y = \frac{x}{1 + x^2}\Delta x + o(\Delta x)。
$$
试求曲线$y = f(x)$的凹凸区间和拐点。
## 九、（8分）已知$\lambda$为常数，试讨论级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n(n + 2)}
$$
的敛散性，并求级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 2)}
$$
的和。
---
## 十、（8分）嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。在距月面$100(\mathrm{m})$处时，嫦娥三号要做短暂悬停，随后经历自由落体和减速下降两个过程，直到离月面$4(\mathrm{m})$高时再度悬停。假设自由落体时间是其减速下降时间的4倍，减速下降过程的加速度$a(t)(\mathrm{m / s}^2)$的大小是减速下降时间$t(\mathrm{s})$的线性函数，即$a(t) = b - kt$（其中$b,k$为待定的正常数），月球重力加速度为$g(\mathrm{m / s}^2)$。
（1）求嫦娥三号减速下降过程的加速度$a(t)$的表达式；
（2）若不计悬停时间，问：嫦娥三号从距月面$100(\mathrm{m})$下降到距月面$4(\mathrm{m})$过程中耗费多少时间？
---
## 十一、（8分）设
$$
a_{n} = \int_{0}^{1}x\left|\ln x\right|^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）试建立$a_{n}$的递推公式；
（2）求极限
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{n!}}。
$$
---
## 十二、（8分）设
$$
P_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}, \quad x\in (-\infty , + \infty)，
$$
其中$n$为正整数。
（1）证明：当$x > 0$时，有
$$
\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} < P_{n}(x) < e^{x}。
$$
（2）证明：当$n$为偶数时，方程$P_{n}(x) = 0$无实根；当$n$为奇数时，方程$P_{n}(x) = 0$恰好有一个实根。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。

154
试卷库/高数期末真题/2015高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,154 @@
# 2015—2016学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷
（2016年1月19日）
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$f(x) = \ln (2 - x) + \int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t$，则$f^{\prime}(0)$的值为 __________。
2. 曲线$y = (x + 2)e^{-x}$的拐点为 __________。
3. 定积分$\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x$的值为 __________。
4. 若$\sin 2x$为函数$f(x)$的一个原函数，则$\int x f(x)\mathrm{d}x$等于 __________。
5. 设常数$a > 0$，则使得级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a^n}{n + 1}$收敛的$a$的最大取值范围为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n}\right)
$$
的值为（ ）。
（A）0
（B）$\dfrac{1}{2}$
（C）$\dfrac{\pi}{4}$
（D）1
2. 已知函数$f(x)$在$x = 0$处可导，则极限
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)e^x - f(0)}{x}
$$
的值为（ ）。
（A）$f(0)$
（B）$f'(0)$
（C）$f'(0) - f(0)$
（D）$f'(0) + f(0)$
3. 设函数$f(x)$是定义在$(-∞, +∞)$内可导的偶函数，下列表格中给出了它的导函数$f'(x)$在$(0, +∞)$内的符号信息，则函数$f(x)$在$(-∞, +∞)$内（ ）。
|$x$|$(0,1)$|$1$|$(1,+∞)$|
|------|-----------|------|------------|
|$f'(x)$|$+$| 0 |$-$|
（A）有2个极大值点，1个极小值点
（B）有1个极大值点，2个极小值点
（C）有2个极大值点
（D）有2个极小值点
4. 设函数$y = y(x)$由参数方程
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t}e^{-x^{2}}\mathrm{d}u,\\
y = \int_{0}^{t}(t - u)e^{-x^{2}}\mathrm{d}u
\end{array}
\right.
$$
所确定，则$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = ($）。
（A）$e^{-t^2}$
（B）$\int_{0}^{t}e^{-t^2}\mathrm{d}u$
（C）$\int_{0}^{t}e^{-t^2 - t^2}\mathrm{d}u$
（D）$\int_{0}^{t}e^{t^2 - t^2}\mathrm{d}u$
5. 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导，则下面结论不正确的是（ ）。
（A）存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$
（B）存在$\xi \in [a,b]$，使得$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = f(\xi)(b - a)$
（C）存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{f(b) - f(a)}{b^2 - a^2} = \dfrac{f'(\xi)}{2\xi}$
（D）存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{bf(b) - af(a)}{b - a} = \xi f'(\xi) + f(\xi)$
---
## 三、（6分）求极限
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \sin x}{\sqrt{1 + x^2}\tan x - 1}。
$$
## 四、（6分）求曲线$y = x + \dfrac{\sin x}{x^2 + x}$的渐近线方程。
## 五、（6分）设函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\ln(1 + x)}{x}, & x > 0,\\
a + b\cos x, & x\leq 0.
\end{array}
\right.
$$
问：是否存在常数$a,b$使得$f(x)$在$x = 0$处可导？
---
## 六、（6分）证明：当$x > 0$时成立不等式
$$
x(2 + \cos x) > 3\sin x。
$$
## 七、（6分）求由曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{e^x + 1}} (0 \leq x < +\infty)$与两坐标轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得立体的体积。
---
## 八、（8分）设$f(x)$是周期为4的可导的奇函数，且
$$
f^{\prime}(x) = 2(x - 1), \quad x\in [0,2]。
$$
（1）求$f(x)$在闭区间$[-2,2]$上的表达式；
（2）求$\int_{0}^{2016}|f(x)|\mathrm{d}x$。
## 九、（8分）设函数$f(x)$在$x = 0$处二次可导，且
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x - xf(x)}{x^3} = 1。
$$
（1）求$f(0), f^{\prime}(0)$及$f^{\prime \prime}(0)$；
（2）求曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处的曲率。
---
## 十、（8分）设$P$为抛物线$C: y = x(n - x) \ (n\in \mathbb{Z}^{+})$上的点。
（1）求$C$在点$P$处的切线与两坐标轴所围成的第一象限三角形的面积的最小值；
（2）记（1）中三角形面积的最小值为$A_{n} \ (n = 1,2,\dots)$，问：级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\ln A_n}
$$
是否收敛？若收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？
---
## 十一、（8分）现有一顶角为$\dfrac{\pi}{3}$、底圆半径为$a$的正圆锥形漏斗内盛满水（顶角朝下），该漏斗向底圆半径为$b \ (b< a)$的空圆柱形水桶注水（假设水桶的体积大于漏斗的体积）。问：当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少？
---
## 十二、（8分）设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。记
$$
\phi (x) = \left|x - \dfrac{a + b}{2}\right| - \left|f(x) - \dfrac{a + b}{2}\right|。
$$
（1）证明：若$\phi (a)\geq 0$且$\phi (b)\geq 0$，则存在$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi) = \xi$；
（2）证明：若对任意$x\in [a,b]$，均有$\phi (x)\geq 0$，则有
$$
\left|\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x - \dfrac{b^{2} - a^{2}}{2}\right|\leq \dfrac{(b - a)^{2}}{4}。
$$
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。

105
试卷库/高数期末真题/2016高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,105 @@
# 2016—2017学年秋《高等数学》考试试卷（A）卷
## 参考解答
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$y = \tan 2x$，则$\mathrm{d}y =$__________。
2. 极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \ln(1 + x)}{x\arctan x}$的值为 __________。
3. 函数$f(x) = x\ln (1 - x^2)$的带佩亚诺余项的5阶麦克劳林公式为 __________。
4. 已知$y = \arcsin x$为函数$f(x)$的原函数，则$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$的值为 __________。
5. 定积分$\int_{-1}^{1}\left(\sin x + |x|\right)e^{x^2}\mathrm{d}x$的值为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x^3\mathrm{e}^{-x}, & x > 0,\\
x, & x\leq 0,
\end{array}
\right.
$$
则$f(x)$在$x = 0$处（ ）。
（A）可导
（B）连续但不可导
（C）左导数存在，但右导数不存在
（D）右导数存在，但左导数不存在
2. 若当$x\rightarrow x_0$时，$\alpha (x),\beta (x)$都是无穷小，则当$x\rightarrow x_0$时，下列表示式中不一定是无穷小的是（ ）。
（A）$\left|\alpha (x)\right| + \left|\beta (x)\right|$
（B）$\alpha^2 (x) + \beta^2 (x)$
（C）$\ln \left[1 + \alpha (x)\cdot \beta (x)\right]$
（D）$\dfrac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
3. 函数$f(x) = \sqrt[3]{x^2} +2$在$(-∞, +∞)$内的极值点个数以及函数图形的拐点个数分别为（ ）。
（A）0,1
（B）1,1
（C）1,0
（D）0,0
4. 设函数$f(x)$连续，且
$$
f(x) = \ln x - x\int_{1}^{x}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{d}x，
$$
则$f(x)$的表达式为（ ）。
（A）$f(x) = \ln x - \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$
（B）$f(x) = \ln x + \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$
5. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$条件收敛，则下列三个级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n} + b_{n}),\quad \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}b_{n},\quad \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2})
$$
中，绝对收敛级数的个数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
---
## 三、（6分）用$\epsilon - N$语言证明：若$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，则有$\lim_{n\to \infty}\left|a_{n}\right| = \left|a\right|$。并举例说明其反之不真。
## 四、（6分）求曲线$x^{3} + xy + y^{2} = 1$在点$(1, - 1)$处的曲率。
## 五、（6分）一个等边三角形，其高以$2\mathrm{cm / s}$的速率增加。问：当高为$8\mathrm{cm}$时，该三角形面积的增长率为多少？
## 六、（6分）求曲线
$$
C: x(t) = \dfrac{\sin t}{1 + \cos t}, \quad y(t) = \dfrac{\cos t}{1 + \cos t}
$$
在$t = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线方程。
## 七、（6分）计算不定积分
$$
\int \dfrac{x\cos x}{\sin^{3}x}\mathrm{d}x。
$$
## 八、（8分）求曲线$C: y = \ln \left|1 - e^{2x}\right|$的所有渐近线。
## 九、（8分）设$A(- 1,3)$、$B(3, - 5)$为抛物线$y = 4 - x^{2}$上两点。试在弧$AB$上求一点$P(x,y)$使$\Delta APB$的面积最大。
## 十、（8分）设
$$
a_{n} = \int_{0}^{1}x(1 - x)^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）求级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$的和；
（2）设常数$\lambda >0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\lambda^{n}a_{n}$的敛散性。
## 十一、（8分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x} = a$。记
$$
g(x) = \int_{0}^{1}f(x t)\mathrm{d}t。
$$
（1）求$g^{\prime}(0)$；
（2）试讨论$g^{\prime}(x)$在$x = 0$处的连续性。
## 十二、（8分）设函数$f(x)$在$[0, + \infty)$上存在二阶导数，$f(0) = 0$，$f^{\prime}(0) > 0$，$f^{\prime \prime}(x)\leq a< 0$，其中$a$为常数。

129
试卷库/高数期末真题/2021高数期末考试卷.md
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@ -0,0 +1,129 @@
# 2021—2022学年秋季学期《高等数学》(I)考试试卷(A)卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1. 设函数$f(x) = \dfrac{2 - \mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}\arctan \dfrac{1}{x}$，则$x = 0$是$f(x)$的（ ）。
（A）可去间断点
（B）跳跃间断点
（C）无穷间断点
（D）振荡间断点
2. 曲线$y = \dfrac{\ln(1 + x)}{x^{2} + 2x}$的渐近线条数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
3. 下列级数中条件收敛的是（ ）。
（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\sin \left(n\pi +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
（B）$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(1 - \cos \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}\ln \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1}$
4. 设函数$f(x)$在$x = 0$处可导且$f^{\prime}(0) = 4$，又设$f(x)$满足方程$f(x + 1) = 4f(x)$，则当$n$为正整数时，$f^{\prime}(n) = ($）。
（A）$3^{n}$
（B）$3^{n + 1}$
（C）$4^{n}$
（D）$4^{n + 1}$
5. 设
$I_{1} = \int_{-1}^{1}\arctan x^{2}\mathrm{d}x$，
$I_{2} = \int_{-1}^{1}\arctan x^{4}\mathrm{d}x$，
$I_{3} = \int_{-1}^{1}x\arctan x^{4}\mathrm{d}x$，
则（ ）。
（A）$I_{1}< I_{2}< I_{3}$
（B）$I_{2}< I_{3}< I_{1}$
（C）$I_{3}< I_{2}< I_{1}$
（D）$I_{2}< I_{1}< I_{3}$
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 曲线$y = \tan \dfrac{x}{2}$在点$P\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$处的切线方程为 __________。
7. 已知函数$g(x)$是$f(x) = \int_{-1}^{2x}\dfrac{\mathrm{d}t}{3 + t^4}$的反函数，则$g'(0)$的值为 __________。
8. 已知$\int f\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{d}x = \left(x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + C$，则函数$f(x)$在$x = 1$处的微分为 __________。
9. 曲线$y = \int_{0}^{x}(3x - t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t(x > 0)$的拐点横坐标是 __________。
10. 不定积分$\int \dfrac{\sin\sqrt{x} + \cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）计算极限$\lim\limits_{x\to 0}(1 + x - \sin x)^{\frac{1}{x\sin x^2}}$。
12. （6分）设$\alpha$为正常数，试判定级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(2n - 1)!!}{(n!)^n}$的敛散性。
13. （6分）已知函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\ln(1 + ax)}{x}, & x > 0,\\
\cos x + bx, & x\leq 0
\end{array}
\right.
$$
在$x = 0$处可导，求常数$a, b$的值。
14. （6分）计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\mathrm{d}x}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}$。
15. （6分）设$y = y(x)$是由方程$y^{3} + x^{3} - 3x + 3y - 2 = 0$所确定的函数，求函数$y = y(x)$的单调区间与极值。
16. （6分）设数列$\{a_{n}\}$满足
$$
a_{1} = 2, \quad a_{n + 1} = \frac{3}{2 + a_{n}} \quad (n \in \mathbb{Z}^{+}),
$$
证明数列$\{a_{n}\}$存在极限，并求其值。
17. （8分）求曲线
$$
C: x = \dfrac{1 - t}{1 + t}, \quad y = \int_{0}^{t}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(1 + u)^{2}}\mathrm{d}u
$$
在点$P(1,0)$处的曲率与曲率半径。
18. （8分）求极限
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(1 + \frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1 + \frac{2^{2}}{n^{2}}\right)\cdots\left(1 + \frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}.
$$
19. （8分）证明：当$0< x< \pi$时，
$$
x^{2} - x\sin x - \cos x - 1< \pi^{2}< \left(\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\alpha + \cos^{4}\theta}\mathrm{d}\theta\right)^{2},
$$
其中常数$\alpha \in (0,1)$。
20. （10分）在输电线路中，悬挂于相邻两立塔高度相同的$A, B$两点之间的电缆呈悬链线状。如图所示，已知两立塔相距$2l$(m)，电缆最低点距离地面高度为$a$(m)，弧垂$f$(m)表示电缆下垂的最大高度。设电缆弧$\widehat{AB}$的方程为$y = a \cosh \dfrac{x}{a} (-l \leq x \leq l)$。
(1) 利用弧长公式$s = \int_{-l}^{l} \sqrt{1 + y'^{2}} \mathrm{~d}x$计算弧$\widehat{AB}$的长度；（5分）
(2) 证明：当$\dfrac{l}{a}$充分小时，成立下列近似等式：
$$
f \approx \frac{l^{2}}{2a}, \quad s \approx 2l + \frac{4f^{2}}{3l}. \quad (5分)
$$
注：$\cosh t = \dfrac{\mathrm{e}^{t} + \mathrm{e}^{-t}}{2}$为双曲余弦函数。
21. （10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，且$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x = 1$。
(1) 证明：至少存在一点$c\in (0,1)$，使得$\int_{0}^{c}f(t)\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}$；（3分）
(2) 证明：在$(0,1)$内存在不同两点$x_{1},x_{2}$，使得$\dfrac{1}{f(x_{1})} + \dfrac{1}{f(x_{2})} = 2$；（4分）
(3) 证明：至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime}(\xi) = 2 - 2f(0)$。（3分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。

107
试卷库/高数期末真题/2022高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,107 @@
# 2022—2023学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1. 函数$f(x) = \dfrac{\frac{1}{2} - 2}{1 - x^2}$的第一类间断点个数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
2. 设函数$f(x) = \lim_{n\to \infty}\dfrac{\ln(1 + x^n)}{n}$$(x > 0)$，则$f(x)$在$x = 1$处（ ）。
（A）左导数和右导数都存在
（B）左导数和右导数都不存在
（C）左导数存在，右导数不存在
（D）左导数不存在，右导数存在
3. 极限$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{n^4}$的值为（ ）。
（A）1
（B）$\dfrac{1}{2}$
（C）$\dfrac{1}{3}$
（D）$\dfrac{1}{4}$
4. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛，且$\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = a$，则（ ）。
（A）$a < -1$
（B）$a = -1$
（C）$-1 < a < 0$
（D）$a > 0$
5. 设
$I_1 = \int_0^1 \sin x^2 \, dx$，
$I_2 = \int_0^1 \sin x^4 \, dx$，
$I_3 = \int_0^1 \cos x^2 \, dx$，
则（ ）。
（A）$I_1 < I_2 < I_3$
（B）$I_3 < I_2 < I_1$
（C）$I_2 < I_1 < I_3$
（D）$I_3 < I_1 < I_2$
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 曲线$y = (2x - 1)(2x + 1)^3$的拐点个数为 __________。
7. 函数$y = y(x)$是由方程$\sin x + \sin y = (x + 3)y$所确定的隐函数，则$\left.\mathrm{d}y\right|_{x = 0} =$__________。
8. 已知$f(x)$的原函数为$\mathrm{e}^{-x}$，则不定积分$\int \dfrac{f'(\ln x)}{x}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。
9. 已知当$x\rightarrow 0$时，函数$\phi (x)$与$1 - \cos x$是等价的无穷小量。若函数$f(x) = \int_{0}^{x}\phi (t)\mathrm{d}t$与$x^{a}\ln (1 + x)$是同阶无穷小，则常数$a$的值为 __________。
10. 函数$f(x) = (1 - x)\ln (1 + x^2)$的7阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式是 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）求曲线$y = \ln (1 + \mathrm{e}^{-x}) + \dfrac{2 - x}{2 + x}\arctan \dfrac{x}{2}$的渐近线方程。
12. （6分）已知数列$\{a_{n}\}$单调且$\{a_{2n}\}$有界，问：$\{a_{n}\}$是否收敛？请说明理由。
13. （6分）已知函数$f(x) = \int_{-1}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{d}t$，设$x = g(y)$是$y = f(x)$的反函数，求$g'(0)$与$g''(0)$。
14. （6分）计算极限$\lim_{x \to 0^{+}} \left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{\ln(1 + x) - x}}$。
15. （6分）设常数$a > 0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a^n}{(2^n + 1)(n^2 + 1)}$的敛散性。
16. （6分）已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0) = 0$，$\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi) = 2022f(\xi)$。
17. （8分）求极坐标曲线$C:\rho = \mathrm{e}^{\theta}$在$\theta = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线的直角坐标方程及曲率与曲率半径。
18. （8分）已知函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x\mathrm{e}^{x^2} & ,x > 0,\\
x\ln (1 + x^2) & ,x\leq 0,
\end{array}
\right.
$$
计算定积分$I = \int_{0}^{2}f(x - 1)\mathrm{d}x$。
19. （8分）某单位在半径为 100 米的圆形跑道上组织 3000 米体能考核，考核组李某在距离跑道圆心 120 米某处观察，当参加考核的钱某与李某相距 100 米时，测得钱某的速度为 4 米每秒，求此时两人间距离的变化率。
20. （10分）
（1）证明：当$x > 1$时，$\ln^2 x < x - 1$；（4分）
（2）讨论曲线$y = 3\ln x + k$与曲线$y = 3x - \ln^3 x$的交点个数。（6分）
21. （10分）已知函数$y(x) = (\arcsin x)^2$。
（1）验证：$(1 - x^{2})y^{\prime\prime}(x) - xy^{\prime}(x) = 2$；（4分）
（2）求$y^{(n)}(0)$，并计算$\lim_{n\to \infty}\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}$。（6分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。

134
试卷库/高数期末真题/2023高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,134 @@
# 国防科技大学2023—2024学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1.$x = -1$是函数$f(x) = \arctan \dfrac{1 - x}{1 + x}$的（ ）。
（A）可去间断点
（B）跳跃间断点
（C）无穷间断点
（D）振荡间断点
2. 已知函数$f(x)$二阶可导，$y = \int_{0}^{x}f\left(\dfrac{1}{t}\right)\mathrm{d}t$，则$y^{\prime \prime} = ($）。
（A）$-\dfrac{1}{x^{2}} f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
（B）$-\dfrac{1}{x^{2}} f^{\prime \prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
（C）$f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
（D）未给出
3. 极限$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}k$（ ）。
（A）等于1
（B）等于-1
（C）等于0
（D）不存在
4. 下列级数条件收敛的是（ ）。
（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$
（B）$\sum_{n = 2}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\ln n}$
（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}2^{n}}{n!}$
（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}2^{2n}}{n^{2}}$
5. 设
$I_{1} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$，
$I_{2} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$，
$I_{3} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{4}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$，
则（ ）。
（A）$I_{1} < I_{2} < I_{3}$
（B）$I_{3} < I_{2} < I_{1}$
（C）$I_{2} < I_{3} < I_{1}$
（D）$I_{2} < I_{1} < I_{3}$
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 曲线$y = x^{3} - 3x^{2} + 4$的拐点为 __________。
7. 设级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\ln \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$收敛，则常数$p$的最大取值范围为 __________。
8. 极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\cos \frac{\pi}{2n} +\cos \frac{2\pi}{2n} +\dots +\cos \frac{n\pi}{2n}\right)\sin \frac{\pi}{n}
$$
的值为 __________。
9. 已知函数$f(x) = \int_{-1}^{x}\dfrac{t^{2}}{\sqrt{1 + \mathrm{e}^{t}}}\mathrm{d}t (-\infty < x< +\infty)$，$x = g(y)$是$y = f(x)$的反函数，则$g^{\prime}(0)$的值为 __________。
10. 不定积分$\int \dfrac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）求曲线$y = \dfrac{\ln(1 + \mathrm{e}^{x})}{1 + x}$的渐近线方程。
12. （6分）计算极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{(1 + \tan x)^x - \mathrm{e}}{\arcsin x}$。
13. （6分）将函数$f(x) = \mathrm{e}^{x - x^2}$展开成4阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求$f^{(4)}(0)$。
14. （6分）已知函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}, & x \geq 0,\\
\dfrac{\arctan x}{1 + x^2}, & x < 0,
\end{array}
\right.
$$
计算定积分$I = \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x$。
15. （6分）证明不等式：
$$
(1 + x)\ln (1 + x) - x\ln x > \dfrac{x}{1 + x}, \quad x > 0。
$$
16. （6分）近年来，为降低噪声污染，部分城市出台了主城区内禁止鸣笛的交通规则。交通管理部门在监控地段加装声源定位仪器，通过安装在不同位置的仪器接受声波信号的时间差来定位鸣笛车辆。图中地面 D 处立杆上安装了仪器 A 和 B，仪器 B 离地面距离为$h = 5\mathrm{m}$，两仪器间的距离为$dh = 0.17\mathrm{m}$，鸣笛车辆位于距离 D 点$L\mathrm{m}$处。已知声音的传播速度为$340\mathrm{m/s}$。试解答如下问题：
（1）写出仪器 B 接收到鸣笛声所需时间$T$的计算公式；（2分）
（2）若仪器 A 和 B 接收鸣笛声的时间差为$dT = 1 \times 10^{-4}\mathrm{s}$，利用微分估算距离$L$的值。（4分）
*注：原题图中未给出，此处保留题图说明。*
17. （8分）已知曲线$C_1: \mathrm{e}^{xy} + y^2 = 2\cos x$与$C_2: y = f(x)$在点$P(0,1)$处有公切线。
（1）求该公切线方程；（4分）
（2）求极限$\lim_{n\to \infty}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n$。（4分）
18. （8分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，$f(a) = f(b) = 0$。
（1）求$g(x) = \mathrm{e}^{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$的导数；（3分）
（2）证明：至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime}(\xi) = f^{2}(\xi)$。（5分）
19. （8分）求曲线
$$
C:\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t^{2}}\mathrm{e}^{-u^{2}}\mathrm{d}u,\\
y = 1 + \mathrm{e}^{-t^{2}}
\end{array}
\right.
$$
在$t = 0$对应点处的曲率和曲率半径。
20. （10分）设曲线$y = x\mathrm{e}^{-x}$与直线$x = t$，$x = 2t$$(t > 0)$及$x$轴所围曲边梯形的面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。
21. （10分）设函数$f(x)$在$(-\infty , +\infty)$内可导，且$|f'(x)| \leq r$（$0 < r < 1$）。取实数$x_1$，记$x_{n+1} = f(x_n)$，$n = 1, 2, \dots$。证明：
（1）$\sum_{n = 1}^{\infty}(x_{n + 1} - x_n)$收敛；（5分）
（2）数列$\{x_n\}$收敛（记$\lim_{n \to \infty} x_n = a$）；（3分）
（3）方程$f(x) = x$有唯一实根$x = a$。（2分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。

130
试卷库/高数期末真题/2024高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,130 @@
# 国防科技大学2024—2025学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1. 已知函数$f(x) = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1 + x^n + x^{2n}} \ (x > 0)$，则$f(x)$在$x = 1$处的（ ）。
（A）左导数不存在，右导数存在
（B）左导数存在，右导数不存在
（C）左导数、右导数均存在
（D）左导数、右导数均不存在
2. 已知函数$f(x)$在$(-∞, +∞)$上连续，则函数$y = \int_{0}^{x}f(t^{2})\mathrm{d}t$的微分为（ ）。
（A）$f(x^{2})\mathrm{d}x$
（B）$2x f(x^{2})\mathrm{d}x$
（C）$f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x$
（D）$2x f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x$
3. 已知函数$f(x) = x\mathrm{e}^{x} - ax - bx^{2}$与$g(x) = \int_{1}^{x}\ln (1 + t^{2})\mathrm{d}t$是$x\rightarrow 0$过程的同阶无穷小量，则（ ）。
（A）$a = -1, b = -1$
（B）$a = 1, b = 1$
（C）$a = -1, b = 1$
（D）$a = 1, b = -1$
4. 已知$a_{n} = \int_{0}^{\pi n}|\cos x|\mathrm{d}x, n = 1,2,\dots$，则下列级数收敛的是（ ）。
（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n}$
（B）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{2}}$
（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{a_{n}}{n}$
（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{a_{n}^{2}}{n^{2}}$
5. 有一圆柱体底面半径与高均随时间变化，底面半径每秒增加$2\mathrm{cm}$，高每秒减少$3\mathrm{cm}$。则当底面半径为$10\mathrm{cm}$、高为$5\mathrm{cm}$时，该圆柱体（ ）。
（A）体积在增大，表面积在减小
（B）体积在减小，表面积在增大
（C）体积和表面积都在增大
（D）体积和表面积都在减小
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 已知函数$f(x) = x\ln x$，则$f^{(2025)}(x)$的计算结果为 __________。
7. 曲线$C: x^{3} + y^{3} - xy = 1$在点$(1,1)$处的切线方程为 __________。
8. 函数$f(x) = (x^{2} + x + 1)\mathrm{e}^{-x}$的严格单调增加区间为 __________。
9. 定积分$\int_{-2024}^{2024}[x]\mathrm{d}x$（其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数）的值为 __________。
10. 已知函数$f(x), g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x) > 0$，则极限
$$
\lim_{n\to \infty}\int_{a}^{b}g(x)\sqrt[n]{f(x)}\mathrm{d}x
$$
的值为 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）计算极限
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x - \int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t}{x^{3}\ln(1 + \tan^{2}x)}。
$$
12. （6分）已知$F(x) = x + \arctan \sqrt{x}$为$f(x)$的原函数，计算不定积分$\int x f(x) \mathrm{d}x$。
13. （6分）已知
$$
f(x) = \frac{1}{1 + x^2} + 2x \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x + \int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d}x，
$$
求函数$f(x)$的表达式。
14. （6分）求极限
$$
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1 + \frac{n}{n+1}\right)\left(1 + \frac{n}{n+2}\right)\cdots\left(1 + \frac{n}{n+n}\right)}。
$$
15. （6分）设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得
$$
f'(\xi) = \frac{2}{2 - \xi} f(\xi)。
$$
16. （6分）设有一高为$h$米的塑像竖立在高为$1.5 + a$米的底座上，问观察者（眼睛距地面 1.5 米）离塑像底座多远，才能使看到的塑像最清楚（即视角最大）？
*注：原题图中未给出，此处保留题图说明。*
17. （8分）求曲线$C: y = \frac{2 - x}{2 + x} e^x$的渐近线与拐点。
18. （8分）求曲线
$$
C:\left\{
\begin{array}{ll}
x = \int_{1}^{t^{2}}\frac{\cos u}{u}\mathrm{d}u,\\
y = \int_{1}^{t^{2}}\frac{\sin u}{u}\mathrm{d}u
\end{array}
\right.
$$
在$t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$所对应点$P$处的曲率和曲率半径。
19. （8分）已知$a$为常数，试判断级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a^n}{\sqrt{n}} + \frac{\sin n}{n^2}\right)
$$
的敛散性，若收敛，请指明是条件收敛还是绝对收敛。
20. （10分）已知数列$\{a_{n}\}$满足
$$
a_{1} = 1, \quad a_{n + 1} = \frac{1}{\ln(3 + a_{n})}, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）证明数列$\{a_{n}\}$收敛；（6分）
（2）设$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，证明：$\frac{1}{2} < a < 1$。（4分）
21. （10分）已知函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上二阶连续可导，$f'(0) = f'(1)$，记$M = \max_{0 \leqslant x \leqslant 1} |f''(x)|$，证明：
（1）$\left|f(x) - (1 - x)f(0) - xf(1)\right| \leq \dfrac{x(1 - x)}{2} M$；（6分）
（2）$\left| \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x - \dfrac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \dfrac{M}{12}$。（4分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。
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