增加了洛必达法则的证明和注意事项，即流程图

笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md

@@ -21,4 +21,4 @@ $\int_1^5 x\mathrm{d}x$
 
 积分符号的上下记号，用limits套：
 
-$\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$
+$\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$

素材/洛必达法则-注意事项.md

@@ -12,4 +12,17 @@ tags:
 	下面的例子就会导致反复变为倒数$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$$
 
 4. 必须要求分子分母的导数极限都存在
-	例如$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+\sin x}{x}$$正确的办法是先分子分母同时除以 $x$
+	例如$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+\sin x}{x}$$正确的办法是先分子分母同时除以 $x$
+
+## **洛必达法则证明：**
+1.$对于在(a,a+\delta)上连续可导函数f(x),g(x)，且g'(x)\neq0.如果\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=0,\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0,$$且\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}存在(或为无穷)，则$$$\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}(或无穷)$$
+证明：令$$F(x)=\begin{cases}f(x),x\in(a,a+\delta) \\ 0,x=a\end{cases},G(x)=\begin{cases}g(x),x\in(a,a+\delta) \\ 0,x=a\end{cases},$$显然有$F(x),G(x)$在$[a,a+\delta)$上连续可导.$\forall x\in (a,a+\delta)$,由柯西中值定理，$\exists\xi\in(a,x)$，使得$$\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} \Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},$$令$\xi=a+\theta(x-a),\theta\in(0,1)$,有$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a+\theta(x-a))}{g'(a+\theta(x-a))},$$左右同时取极限$x\to a^+$得$$\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$得证.
+2.类似地可以证明$x\to a^-,x\to a$的情况.若是$x\to +\infty$,则令$t=\frac{1}{x}$则$t\to0^+$，然后用上述结论；$x\to-\infty和x\to-\infty$类似.
+
+>[!warning] 不能使用洛必达的的情况：
+>1、必须要是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$形式的，其他形式必须转化成前两种形式才能使用洛必达法则；
+>2、必须要$\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在才能使用；
+>3、一些特殊的函数可能会无法使用洛必达，比如$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
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+运用洛必达法则解决其他不定式问题的流程：
+$$\boxed{\infty-\infty}\overset{通分}{\Longrightarrow}\boxed{\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}}\overset{取倒数}{\Longleftarrow}\boxed{0\cdot\infty}\overset{取对数}{\Longleftarrow}\boxed{0^0或1^{\infty}或\infty^0}$$