vault backup: 2026-01-17 11:18:47

素材/正交矩阵和施密特正交化法.md

@@ -0,0 +1,146 @@
+## **正交矩阵**
+**定理**
+设$\boldsymbol{A}$为n阶实方阵，则$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$的充要条件是$\boldsymbol{A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
+定义
+若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵，满足$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$，则称$\boldsymbol{A}$为正交矩阵.
+**性质 1**
+设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n为\mathbb{R}^n的标准正交基，若记A_{n\times n}=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\ \boldsymbol{\varepsilon}_2\ \dots\ \boldsymbol{\varepsilon}_n]$，则$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$.
+**性质 2**
+若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|=-1。
+**性质 3** 
+若 A 为正交矩阵，则 $A^\top,\;A^{-1},\;A^*$ 也是正交矩阵。
+**性质 4**
+若 A,B 为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
+**性质 5**
+若 A 为 n 阶正交矩阵，则对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $\|Ax\|=\|x\|$。 可利用向量长度的定义进行分析：$\|Ax\|^2=\langle Ax,Ax\rangle=x^\top A^\top A x=x^\top x=\|x\|^2$.
+
+这一性质提供了一个重要的线索：利用正交矩阵通过矩阵乘法对向量施行变换，所得向量与原向量的长度相同，同理可得向量的夹角也不变。因此在几何空间中进行几何变换，当变换矩阵为正交矩阵时可以保持图形的形状不变。
+
+### **例子**
+>[!example] **例1**
+>设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 n 维实列向量，且 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = k$，令 $H = E - l\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。试讨论 $k,l$ 满足什么条件时 H 为正交矩阵。
+
+
+**解析**
+$$H^TH
+
+\begin{align*}
+H^T &= (E - l\alpha\alpha^T)^T = E - l\alpha\alpha^T \\
+H^TH &= (E - l\alpha\alpha^T)(E - l\alpha\alpha^T) \\
+&= E \cdot E - E \cdot l\alpha\alpha^T - l\alpha\alpha^T \cdot E + l^2\alpha\alpha^T \cdot \alpha\alpha^T \\
+&= E - 2l\alpha\alpha^T + l^2\alpha(\alpha^T\alpha)\alpha^T \\
+&= E - 2l\alpha\alpha^T + l^2k^2\alpha\alpha^T \\
+&= E + \left(-2l + l^2k^2\right)\alpha\alpha^T
+\end{align*}$$
+ 令 $H^TH = E$
+要使 $H^TH = E$，必须满足：
+$$\left(-2l + l^2k^2\right)\alpha\alpha^T = O$$
+若 $\alpha \neq \boldsymbol{0}$（即 $k \neq 0$），则 $\alpha\alpha^T \neq O$，故
+$$-2l + l^2k^2 = 0 \implies l(lk^2 - 2) = 0$$
+解得 $l = 0$或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
+故
+若 $\alpha = \boldsymbol{0}$（即 k = 0），则 $H = E$，显然 H 是正交矩阵，此时 $l$ 可取任意实数。
+当 k = 0（即$\alpha = \boldsymbol{0}$）时，H = E 恒为正交矩阵，$l$ 为任意实数。
+当 $k \neq 0$（即 $\alpha \neq \boldsymbol{0}$）时，H 为正交矩阵当且仅当 $l = 0 或 l = \dfrac{2}{k^2}$。
+
+
+
+>[!example] **例2**
+>已知 A = $[a_{ij}]_{n \times n} 为 n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$  中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
+
+
+**解析**
+证明​
+设 A为 n阶正交矩阵（n≥2），则
+$$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$$
+又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：
+$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$$ 
+联立得
+$$\boldsymbol{A}\top\boldsymbol= \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$$
+正交矩阵的行列式满足 $\frac{1}{|A|} =±1$，故
+$adj(A)=(detA)AT=±AT$
+由伴随矩阵的定义，其第 (j,i)元为 aij​的代数余子式 Aij​，而 ±AT的第 (j,i)元为 ±aij​。比较对应元素得
+$$Aij​=±aij​,i,j=1,2,…,n.$$
+证毕
+
+
+
+
+## 施密特正交化法
+### **定理**
+设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 V 中的线性无关向量组，则
+如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$
+施密特正交化与单位化公式
+正交化过程
+$$\begin{align*}
+\boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\
+\boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
+\end{align*}$$
+单位化过程
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_1}{\|\boldsymbol{\alpha}_1\|}$$
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
+k=2,3,\dots,p$$
+
+### **例子**
+>[!example] **例1**
+已知 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ $$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
+\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
+\boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
+$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 U 的一个标准正交基。
+
+**解析**。
+ 施密特正交化
+步骤1：正交化
+取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3
+\boldsymbol{\gamma}_2=\boldsymbol{\beta}_2-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1$$$$\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=1,\quad
+\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=2$$
+$$\boldsymbol{\gamma}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$$
+$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$
+$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad
+\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$
+$$\boldsymbol{\gamma}_3=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3$$
+步骤2：单位化
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$
+
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$
+
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+U 的标准正交基为
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
+\boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
+\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+
+>[!example] **例2**
+>已知 A = $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
+>$$\boldsymbol{\alpha}_3 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\2\end{bmatrix},\quad
+\boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
+试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
+
+
+**解析**
+$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为1。
+设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组：
+$$\begin{cases}
+\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
+\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_4\rangle = 2\sqrt{6}x_1 - \sqrt{6}x_3 - \sqrt{6}x_4 = 0 \implies 2x_1 - x_3 - x_4 = 0
+\end{cases}$$
+解上述齐次方程组，基础解系，得到两个线性无关的解：
+$$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
+\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
+正交化
+$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\xi}_1 = (2,1,4,0)^T$$
+$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\xi}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1
+= (0,1,0,1)^T - \frac{1}{21}(2,1,4,0)^T
+= \left(-\frac{2}{21},\frac{20}{21},-\frac{4}{21},1\right)^T$$
+单位化
+$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}
+= \frac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^T
+$$
+$$\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{\boldsymbol{\beta}_2}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|}
+= \frac{1}{3\sqrt{105}}(-2,20,-4,21)^T$$
+满足条件的一组标准正交向量为：
+$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad
+\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$
+