From 7785fb18c356b699d6f8052e83946330dcff9eca Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown <18951088369@163.com> Date: Fri, 26 Dec 2025 00:28:43 +0800 Subject: [PATCH 1/6] vault backup: 2025-12-26 00:28:43 --- 编写小组/课后测/课后测解析版4.md | 74 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 73 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/课后测/课后测解析版4.md b/编写小组/课后测/课后测解析版4.md index 90424ab..1570213 100644 --- a/编写小组/课后测/课后测解析版4.md +++ b/编写小组/课后测/课后测解析版4.md @@ -22,4 +22,76 @@ $\{a_n\}$ **一定收敛**，理由如下： - $\{a_{3n+1}\}$ 中的奇数项子列（属于 $\{a_{2n+1}\}$）的极限 = $\{a_{3n+1}\}$ 的极限。 - 故 $\{a_{2n}\}$ 与 $\{a_{2n+1}\}$ 的极限相等。 -综上，数列 $\{a_n\}$ 的偶数项子列和奇数项子列极限相同，因此 $\{a_n\}$ 收敛。 \ No newline at end of file +综上，数列 $\{a_n\}$ 的偶数项子列和奇数项子列极限相同，因此 $\{a_n\}$ 收敛。 + + + + +3.设函数由参数方程 $\begin{cases} x = t + \arctan t \\ y = t - \ln(1+t^2) \end{cases}$ 确定，求 $dy$。 + +--- + +计算得 + +$$ \frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{1+t^2} $$ + +$$ \frac{dy}{dt} = 1 - \frac{2t}{1+t^2} $$ + +因此， + +$$ dy = \frac{1 - \frac{2t}{1+t^2}}{1 + \frac{1}{1+t^2}} dx = \frac{t^2 - 2t + 1}{t^2 + 2} dx $$ + +或等价地， + +$$ dy = \left( 1 - \frac{2t}{1+t^2} \right) dt $$ + +--- + + +4.求曲线 $f(x) = \frac{e^x}{x-1} + x$ 的渐近线。 + +**提示**： +1. 首先，函数在 $x = 1$ 处无定义，需考察 $\lim_{x \to 1} f(x)$。 +2. 其次，当 $x \to \infty$ 时，函数行为由 $x$ 主导，应考虑是否存在斜渐近线 $y = kx + b$，其中 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$。 + +**答案**： +铅直渐近线：$x = 1$（因 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$， $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$）。 +斜渐近线： + +$$ k = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 $$ + +$$ b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = 1 $$ + +故有 $y = x + 1$。 + +该函数无水平渐近线 + + + +--- + +#### 三、滥用正项级数判别法于任意项级数 + + +5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。 + + +**答案**： +因为 + +$$ \sin(n\pi + \frac{\pi}{4}) = (-1)^n \sin\frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\sqrt{2}}{2} $$ + +所以原级数为 + +$$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}} $$ + +考虑其绝对值级数 + +$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^3+1}} $$ + +由于 + +$$ \frac{1}{\sqrt{n^3+1}} < \frac{1}{n^{3/2}} $$ + +且 $p=\frac{3}{2}>1$ 的 $p$-级数收敛，由比较判别法知该绝对值级数收敛。 +因此，原级数 **绝对收敛**。 \ No newline at end of file From 6b99933b4e8ec89d88db68efa064a4967fc7196e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown <2974730459@qq.com> Date: Fri, 26 Dec 2025 00:30:31 +0800 Subject: [PATCH 2/6] vault backup: 2025-12-26 00:30:31 --- ...问题&考试易错点汇总（解析版）.md | 13 ++++++++----- 1 file changed, 8 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md index e3df9bf..847bee3 100644 --- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md @@ -235,7 +235,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数 ## Vol. 5:误用p级数 **机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。** ->例题1： +> [!example] 例题1： >$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$ #### ❌ 经典错误思路 1. 形式像 `1/n^p` @@ -249,7 +249,7 @@ $$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \l --- -> 例题2： +> [!example] 例题2： >$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$ @@ -350,13 +350,16 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f 为什么？$f^{-1'}$最后应该是一个关于$x$的函数，$\frac{dy}{dx}$应当用$x$来表示。 所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即： $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ -> [!example] 示例1 + +> [!example] 例1 > 求$d(\arcsin x)$ 解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$ 作辅助三角形 ![[易错点9-1.png]] + 得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ + ## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析 很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上： 无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量 @@ -364,7 +367,8 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量 **核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$ **联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。 -> [!example] 示例1 + +> [!example] 例1 > 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$ ![[易错点10-1.png]] @@ -423,7 +427,6 @@ $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{ **结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。 - >[!example] 例3 >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。 From 43de77c3658983dcc2a0c7ece796af2b5784428a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown <2974730459@qq.com> Date: Fri, 26 Dec 2025 00:31:59 +0800 Subject: [PATCH 3/6] vault backup: 2025-12-26 00:31:59 --- .../子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md index 847bee3..146afde 100644 --- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md @@ -375,7 +375,7 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f 这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。 那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。 -> [!example] 示例2 +> [!example] 例2 > 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos n\pi}$ 总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的” From 07e8895f1737124596243bfabe905b0994b16358 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown <2974730459@qq.com> Date: Fri, 26 Dec 2025 00:36:20 +0800 Subject: [PATCH 4/6] vault backup: 2025-12-26 00:36:20 --- 编写小组/课后测/课后测4.md | 47 ++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 47 insertions(+) diff --git a/编写小组/课后测/课后测4.md b/编写小组/课后测/课后测4.md index 7e0fd9f..ffaafd9 100644 --- a/编写小组/课后测/课后测4.md +++ b/编写小组/课后测/课后测4.md @@ -1,21 +1,68 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- + 1.判断数列 $a_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$ 的收敛性。 +``` + + + +``` + 2.设数列 $\{a_n\}$ 的三个子列 $\{a_{2n}\}$、$\{a_{2n+1}\}$、$\{a_{3n+1}\}$ 均收敛，那么 $\{a_n\}$ 是否一定收敛？说明理由。 +``` + + + +``` + 3.设函数由参数方程 $\begin{cases} x = t + \arctan t \\ y = t - \ln(1+t^2) \end{cases}$ 确定，求 $dy$。 +``` + + + + +``` + 4.求曲线 $f(x) = \frac{e^x}{x-1} + x$ 的渐近线。 +``` + + + +``` + 5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。 +``` + + + + + + +``` 6.设函数$f(x)=\begin{cases}ax+b,x\ge1,\\ e^{\frac{1}{x}},0 Date: Fri, 26 Dec 2025 00:37:55 +0800 Subject: [PATCH 5/6] vault backup: 2025-12-26 00:37:55 --- 编写小组/课前测/课前测4.md | 24 ++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 22 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/编写小组/课前测/课前测4.md b/编写小组/课前测/课前测4.md index 5955394..d9fd563 100644 --- a/编写小组/课前测/课前测4.md +++ b/编写小组/课前测/课前测4.md @@ -1,14 +1,34 @@ -1. 设 $x_n = \frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n} + 1$，证明 $x_n \to 1$。 +--- +tags: + - 编写小组 +--- +1.设 $x_n = \frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n} + 1$，证明 $x_n \to 1$。 +``` -2. 函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{若 } x \text{ 为有理数} \\ -x^2, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases}$ + + + +``` + + +2.函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{若 } x \text{ 为有理数} \\ -x^2, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases}$ 求 $$ \lim_{x \to 0} f(x) $$ +``` + + + + + + + +``` 3.设$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{|x|^{\alpha}}sin\frac{1}{x} \ \ ,x\neq0 \\ 0,\ \ \ x=0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$\alpha$的取值范围是[ ]. From ec13544e605a69469993727f9cb207d419defeb3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown <2974730459@qq.com> Date: Fri, 26 Dec 2025 00:38:42 +0800 Subject: [PATCH 6/6] vault backup: 2025-12-26 00:38:42 --- .../子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md | 3 +++ 1 file changed, 3 insertions(+) diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md index 146afde..2e19264 100644 --- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md @@ -2,6 +2,9 @@ tags: - 编写小组 --- +**内部资料，禁止传播** +**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王轲楠 支宝宁 郑哲航 + # 子数列及其相关定理 ## 一、子数列的概念与性质