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素材/谏学高数者十思疏.md

@@ -28,7 +28,7 @@ flowchart TD
 	E --> |"否"| G["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 为交错级数？"]
 	E --> |"是"| H["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ <b>绝对收敛</b>"]
 	G --> |"否"| I["利用级数的运算性质，<br>如部分和，或其他判别法"]
-	G --> |"是"| J["级数每一项的绝对值单调递减？"]
+	G --> |"是"| J["级数每一项的<br>绝对值单调递减？"]
 	J --> |"否"| I
 	J --> |"是"| K["莱布尼兹判别法：$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ <b>条件收敛</b>"]
 ```

编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md

@@ -73,10 +73,19 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 >1. 若有 $\alpha$ 个重根，即某一因式为 $\alpha$ 次方，那么这个项就拆成分母从1次方加到 $\alpha$ 次方。
 >2. 对于分母为二次函数，那么其分子就是一次函数，并且依旧要符合规则1。
 
-接下来就能用待定系数法求出那些待定的系数 $A,B,M,N$ 等等。一般来说，这个过程不会太复杂，大可不必拿出考完的线代。
+接下来就能用待定系数法求出那些待定的系数 $A,B,M,N$ 等等。一般来说，这个过程不会太复杂，大可不必拿出考完的线代。下面这个都还算是难的。
 
 >[!summary] 任务
->尝试用待定系数法推出 $\displaystyle\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)} = \frac{1}{5}\left[\frac{4}{1+2x} - \frac{2x}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2}\right]$
+>尝试用待定系数法推出 $\displaystyle\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)} = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{1+2x}+\frac{-2x+1}{1+x^2}\right)$
+
+>[!solution] 解析
+>$\displaystyle\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)}$ 本身就是真分式。
+>我们可以将其拆分为 $$\frac A{1+2x} - \frac{Bx+C}{1+x^2}$$
+>合并得 $$\dfrac{(A+2B)x^2+(B+2C)x+(A+C)}{(1+2x)(1+x^2)}$$
+>然后列方程组 $$\begin{cases}A+2B=0\\B+2C=0\\A+C=1\end{cases}$$
+>解得 $$\begin{cases}A=\frac45\\B=\frac{-2}5\\C=\frac15\end{cases}$$
+>代入得 $\displaystyle\frac {\frac45}{1+2x}+\frac{\frac{-2}5x+\frac15}{1+x^2}$
+>化简，即得 $\displaystyle\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)} = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{1+2x}+\frac{-2x+1}{1+x^2}\right)$
 
 当然，并不是所有时候都要用待定系数法，如果你的注意力惊人。
 比如说对于 $\displaystyle\int\frac{2\mathrm dx}{x^2-1}$，$\displaystyle\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$
@@ -100,9 +109,6 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 >于是
 >$$\begin{align}\int \frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)\sqrt{a^2-x^2}} &= \int \frac{\frac{4at}{(t^2+1)^2}\mathrm dt}{\frac{2a^2(t^4+1)}{(t^2+1)^2}\cdot\frac{2at}{t^2+1}} \\&= \frac{1}{2a^2}\int \frac{2t^2+2}{t^4+1}\mathrm dt\end{align}$$
 >之后可以按照有理式的方法继续积分下去。
-
->[!Bug] 待补充
->而且，我们还得穿插定积分内容
 ### 对奇数次三角函数：万能代换
 >[!danger] 警告
 >万能代换法同样是你最后的防线，计算量很大，只有在万不得已的时候才会考虑。
@@ -129,7 +135,7 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 >求不定积分 $\int \sin^2 x \cos^5 x\mathrm dx$.
 
 >[!tip] 提示
->利用 $\cos x$ 来凑微分而不是 $\sin x$，这样你就能得到偶数次方的三角函数——如果最后剩下奇数次方的 $\sin x,\cos x$，那么可能还要多花一点心思去做换元或用别的技巧，但是偶数次方的可操作性强很多，你可以用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 来升降次，用诸如 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos^2x}{2}$ 来换角，比奇数次更加便捷。
+>利用 $\cos x$ 来凑微分而不是 $\sin x$，这样你就能得到偶数次方的三角函数——如果最后剩下奇数次方的 $\sin x,\cos x$，那么可能还要多花一点心思去做换元或用别的技巧，但是偶数次方的可操作性强很多，你可以用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 来升降次，用诸如 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ 来换角，比奇数次更加便捷。
 >“化偶数次”也是万能代换 $x=\tan\frac{t}{2}$ 背后的逻辑。
 
 >[!solution] 解析
@@ -152,6 +158,13 @@ ${\sqrt{x^2 - a^2}}$ 可令 $x = a\sec t$
 >令 $x = a\tan t$ ，则$\mathrm dx = a\sec^2 t\mathrm dt$，$t \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则
 $\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$
 >$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} &= \int \frac{a\sec^2 t dt}{a\sec t} \\&= \int \sec t dt \\&= \ln|\sec t + \tan t| + C_1 \\&= \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a} + \frac{x}{a}\right| + C_1 \\&= \ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C\end{align}$
+
+>[!hint] 对于反三角函数，我们可以用第一类换元法，尝试构造 $u$ 等于该反三角函数：
+>$$\begin{align*}
+\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm dx
+&= \int \sqrt{\arctan x}\mathrm d(\arctan x) \\
+&= \frac{2}{3}(\arctan x)^{\frac{3}{2}} + C
+\end{align*}$$
 #### 3. 有理式
 >[!example] 例2.3
 >求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x\mathrm dx}{(x-1)^{100}}$.
@@ -204,14 +217,6 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >[!solution] 解析
 >令 $t=\sqrt[6]{x+1}$，则 $x=t^6-1$，$\mathrm dx=6t^5\mathrm dt$，则 
 >$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt[6]{x+1} - \sqrt[3]{x+1}} &= \int \frac{6t^5 dt}{t - t^2} \\&= 6\int \frac{t^4}{1-t} dt \\&= 6\int \left(-t^3 - t^2 - t - 1 + \frac{1}{1-t}\right) dt \\&= 6\left(-\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - t - \ln|1-t|\right) + C \\&= -\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} - 2\sqrt{x+1} - 3\sqrt[3]{x+1} - 6\sqrt[6]{x+1} -\\ 6\ln|\sqrt[6]{x+1} -1| + C\end{align}$
-
->[!bug] 待决策
->##### 高次幂多项式与三角函数的转化
->$$\begin{align*}
->\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm dx
-&= \int \sqrt{\arctan x}\mathrm d(\arctan x) \\
-&= \frac{2}{3}(\arctan x)^{\frac{3}{2}} + C
-\end{align*}$$
 #### 4. 倒代换
 在拆解有理式之后，对于 $\dfrac{1}{ax+b},\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ 等一次、二次分式，我们可以从容应对；但是如果次数再高一点，就很难办了。
 然而，对于一些较为简单的高次幂函数，我们可以使用**倒代换**：把 $x$ 倒过来！
@@ -261,7 +266,7 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >[!solution] 解析
 >我们可以提前代换变量，将根式消去。
 >令 $t=\sqrt{x}$，则 $t^2=x,\ 2t\mathrm dt=\mathrm dx$，这样就能将根式化为整式。
->$$\begin{align}\text{原式}&=2\int t\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2\int t\mathrm d\mathrm e^t\\&=2t\mathrm e^t-2\int\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2t\mathrm e^t-2\mathrm e^t+C\\&=2\mathrm e^\sqrt x(\sqrt x-1)+C\end{align}$$
+>$\begin{align}\text{原式}&=2\int t\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2\int t\mathrm d\mathrm e^t\\&=2t\mathrm e^t-2\int\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2t\mathrm e^t-2\mathrm e^t+C\\&=2\mathrm e^\sqrt x(\sqrt x-1)+C\end{align}$
 
 >[!example] 例题
 >求不定积分 $\displaystyle \int x \tan^2 x\mathrm dx = \underline{\qquad}.$
@@ -313,9 +318,9 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >如何通过 $u$ 算出 $\sin x$ 和 $\cos x$？只要画一个三角形就看可以很直观地看出来了。
 ><img src="三角形.png" width="200" height="200"/>
 
+%%上述在同济中亦有记载%%
 %%参考：[Math is Fun - Integration by Parts](https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-by-parts.html)
 仅供娱乐，切勿当真%%
-
 #### 3. 依靠递推式求解的积分
 与循环式类似，递推式会在使用分部积分时出现和原式类似，但是比原式“**低一级**”的积分式，这会给人一种“我好像在求数列的递推式”。这个时候就可以把待求积分看作是数列。这种结构一般在积分式含有正整数 $n$ 的时候出现（e.g. $(x^2+a^2)^n$ ）例如：
 >[!todo] 示例
@@ -370,6 +375,8 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
 如果被积函数的因式之一是多项式，且次数较高的时候，这个公式特别方便。通常来说，取 $u$ 为该多项式，然后逐步求 $v^{(n)},v^{(n-1)},\cdots,v$，再依次乘到一起（注意正负号！）
 >[!todo] 示例
 >$\int (2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)\mathrm e^x\mathrm dx$
+
+>[!solution] 解析
 >我们可以令 $u=2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$，$v=\mathrm e^x$
 >$u' = 6x^2 + 6x + 4,\quad u'' = 12x + 6,\quad u''' = 12$
 >于是$\begin{align*}\int (2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) e^x dx &= (2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)e^x - (6x^2 + 6x + 4)e^x + (12x + 6)e^x - 12e^x + C \\&= (2x^3 - 3x^2 + 10x - 5)e^x + C\end{align*}$