diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总(解析版).md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总(解析版).md index e3df9bf..847bee3 100644 --- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总(解析版).md +++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总(解析版).md @@ -235,7 +235,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数 ## Vol. 5:误用p级数 **机械地套用p级数结论,而忽视了其应用前提:指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。** ->例题1: +> [!example] 例题1: >$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$ #### ❌ 经典错误思路 1. 形式像 `1/n^p` @@ -249,7 +249,7 @@ $$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \l --- -> 例题2: +> [!example] 例题2: >$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$ @@ -350,13 +350,16 @@ $y=f^{-1}(x)$,即$x = f(y)$,求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$,而$\f 为什么?$f^{-1'}$最后应该是一个关于$x$的函数,$\frac{dy}{dx}$应当用$x$来表示。 所以,我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入,即: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ -> [!example] 示例1 + +> [!example] 例1 > 求$d(\arcsin x)$ 解:设$y=\arcsin x$,即$x=\sin y$,$dx=\cos y\ dy$,即$dy=\frac{dx}{\cos y}$ 作辅助三角形 ![[易错点9-1.png]] + 得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$,综上,$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$,即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ + ## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析 很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念,因为它们的实在是太像了:画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛!但是,“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们,需要回到它们的**定义**上: 无穷大的定义:$\forall M > 0, \exists \delta>0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$,称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量 @@ -364,7 +367,8 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$,称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量 **核心区别**:无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$,无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$ **联系**:无穷大一定是无界量,但是无界量不一定是无穷大。 -> [!example] 示例1 + +> [!example] 例1 > 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$ ![[易错点10-1.png]] @@ -423,7 +427,6 @@ $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{ **结论**:曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。 - >[!example] 例3 >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性(绝对收敛、条件收敛或发散)。