比值判别法

Chapter 2 极限/比值判别法.md

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+# 比值判别法
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+## 原理
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+对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n\ (u_n>0)$，计算极限$\rho=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$，根据$\rho$与 1 的大小关系判断级数敛散性。
+1. 若 $\boldsymbol{\rho<1}$，则级数收敛；
+2. 若 $\boldsymbol{\rho>1}$（或 $\rho=+\infty$），则级数发散；
+3. 若 $\boldsymbol{\rho=1}$，则判别法失效，需用其他方法（如比较判别法、积分判别法等）判断。
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+## **适用情况**
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+主要适用于通项含阶乘、指数幂（如 $a^n$）、$n^n$ 等形式的正项级数，这类通项的 $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ，作商后阶乘、指数部分可大幅化简，极限易求。
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+## **优势**
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+1. 化简效率高：通项含 n!、$a^n$ 时，作商 $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ 能直接约去大量重复因子
+2. 判定直接：只需计算一个极限值与 1 比较，无需像比较判别法那样构造合适的参考级数，对初学者更友好。
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+## **劣势**
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+1. 对通项形式依赖强：仅适合含阶乘、指数幂的正项级数，对于通项为多项式、分式（如 $u_n=\frac{1}{n^p}$）的级数，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$，判别法直接失效。
+2. 失效情形无判定能力：当极限 $\rho=1$ 时，无法判断级数敛散性，必须换用比较判别法、积分判别法等其他方法，增加了解题步骤。
+3. 仅针对正项级数：不能直接应用于任意项级数（如交错级数），若要使用，需先对通项取绝对值判断绝对收敛，再进一步分析条件收敛。
+4. 极限可能不存在：部分正项级数的 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$ 不存在，此时比值判别法无法使用。
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+## **例子**
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+> [!example] 例1
+判定级数敛散性：
+$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$$
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+**解析**
+用比值判别法：
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \to 0$$
+因此收敛。
+
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+>[!example] 例2
+设 $\alpha$ 为正常数，判定级数的敛散性：
+$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(n!)^\alpha}$$
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+**解析**
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+1. 记通项
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+$$a_n = \frac{(2n-1)!!}{(n!)^\alpha}$$
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+这里 $(2n-1)!! = 1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n \, n!}$。
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+所以：$$a_n = \frac{\frac{(2n)!}{2^n \, n!}}{(n!)^\alpha}= \frac{(2n)!}{2^n \, (n!)^{\alpha+1}}$$
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+2. 用比值判别法
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{2^{n+1}((n+1)!)^{\alpha+1}} \cdot \frac{2^n (n!)^{\alpha+1}}{(2n)!}$$
+化简：$$\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+1)(2n+2) = 2(2n+1)(n+1)$$$$\frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac12$$$$\frac{(n!)^{\alpha+1}}{((n+1)!)^{\alpha+1}} = \frac{1}{(n+1)^{\alpha+1}}$$
+所以：$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
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+= \frac{2(2n+1)(n+1) \cdot \frac12}{(n+1)^{\alpha+1}}
+
+= \frac{2n+1}{(n+1)^{\alpha}}$$
+3. 计算极限
+$$\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{(n+1)^{\alpha}}$$
+· 若 $\alpha$> 1，极限为 0，比值判别法得出 $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$ = 0 < 1，级数收敛。
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+· 若 $\alpha$ = 1，极限为 $\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n+1}$ = 2 > 1，级数发散。
+
+· 若 0 < $\alpha$ < 1，极限为 $\infty$ > 1，级数发散。
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+4. 答案
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+  当$\alpha$>1时收敛，当 0 < $\alpha$ < 1 时发散
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+>[!example] **习题1**
+级数 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{5^n}$$ 的敛散性是
+
+A. 收敛
+
+B. 发散
+
+C. 无法判断
+
+
+**解析**
+$$a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 \cdot 5^n}$$
+
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
+
+= \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 \cdot 5^n}{(2n)!}$$
+化简：
+$$\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$$
+$$\frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}$$
+
+$$\frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac15$$
+所以
+
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \cdot \frac15
+= \frac{2(2n+1)}{n+1} \cdot \frac15$$
+$$\lim_{n\to\infty} \frac{4n+2}{5(n+1)} = \frac{4}{5} < 1$$
+所以收敛。
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+答案：A
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+>[!example] **习题2**
+级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^2}$ 的敛散性是
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+A. 收敛
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+B. 发散
+
+C. 无法判断
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+解
+$$a_n = \frac{3^n}{n^2}$$
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{3^n}
+
+= 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}$$
+$$\lim_{n\to\infty} 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} = 3 > 1$$
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+所以发散。
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+答案：B