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@ -0,0 +1,493 @@
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**内部资料，禁止传播**
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**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁**
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# Section 1 正交矩阵
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## **正交矩阵**
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**定理**
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设${A}$为$n$阶实方阵，则 ${A}^\mathrm{T}{A}={E}$ 的充要条件是${A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
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定义
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若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵，满足 ${A}^\mathrm{T}{A}={E}$，则称${A}$为正交矩阵.
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**性质 1**
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设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基，若记 $A_{n\times n}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\varepsilon}_1&\boldsymbol{\varepsilon}_2&\dots&\boldsymbol{\varepsilon}_n\end{bmatrix}$，则 ${A}^\mathrm{T}{A}={E}$.
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**性质 2**
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若 $A$ 为正交矩阵，则 $|A|=1$ 或 $|A|=-1$。
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**性质 3**
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若 $A$ 为正交矩阵，则 $A^\mathrm{T},\;A^{-1},\;A^*$ 也是正交矩阵。
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**性质 4**
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若 $A,B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则 $AB$ 也是正交矩阵。
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**性质 5**
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若 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则对任意的 $\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n$，有 $\|A\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol x\|$。 可利用向量长度的定义进行分析：$\|A\boldsymbol x\|^2=\langle A\boldsymbol x,A\boldsymbol x\rangle=\boldsymbol x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A \boldsymbol x=x^\mathrm{T} \boldsymbol x=\|\boldsymbol x\|^2$.
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这一性质提供了一个重要的线索：利用正交矩阵通过矩阵乘法对向量施行变换，所得向量与原向量的长度相同，同理可得向量的夹角也不变。因此在几何空间中进行几何变换，当变换矩阵为正交矩阵时可以保持图形的形状不变。
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### **例子**
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>[!example] 例题1
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>设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维实列向量，且 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = k$，令 $H = E - l\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。试讨论 $k,l$ 满足什么条件时 $H$ 为正交矩阵。
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>[!example] 例题2
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>已知 $A$ = $[a_{ij}]_{n \times n}$为 $n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$ 中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
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## 施密特正交化法
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设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 的一组基，则用如下方法所得向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$ 为 $V$ 的一组标准正交基
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$$\begin{align*}
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\boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\
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\boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
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\end{align*}$$
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单位化得
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$$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad
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k=1,2,3,\dots,p$$
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还有另一个更加常用的正交化法：$$\begin{aligned}
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\boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\
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\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_k\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,p).
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\end{aligned}$$
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### **例子**
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>[!example] **例3**
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已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
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\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
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\boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
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$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 $U$ 的一个标准正交基。
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>[!example] **例4**
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>已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
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>$$\boldsymbol{\alpha}_3 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\2\end{bmatrix},\quad
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\boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
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试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
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# Section 2 实对称矩阵的正交变换与二次型
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## 正交变换及合同
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合同：对于方阵 $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$，若 $\exists P\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 使得 $A=P^\mathrm TBP$，则 $A$ 和 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$. 目前暂不清楚合同变换对非对称矩阵的意义，但是对于实对称矩阵而言有意义，因为两个矩阵合同意味着它们有相同的**惯性**。换句话说，合同变换不会改变形状种类，球可能变成椭球，但一定不会变成马鞍面。
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正交变换是一种特殊的合同变换，它既是合同变换，也是相似变换；用于正交变换的矩阵是正交矩阵，满足 $P^\mathrm TP=E$；正交变换能够保持二次型的几何度量（见下文“二次型”）
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>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等
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>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$ 数都相同）且本身也是**实对称矩阵**.
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>即：如果 $A$ 与 $B$ 合同，且 $A$ 是实对称矩阵，则 $B$ 也是实对称矩阵。
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>证明：$B=P^\mathrm TAP \Rightarrow B^\mathrm T=(P^\mathrm TAP)^\mathrm T=P^\mathrm TA^\mathrm TP=P^\mathrm TAP$，即 $B^\mathrm T=B$
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>[!example] 例题
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>已知三阶实对称矩阵 $A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $A$ 相似但不合同的是
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>A. $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\qquad$ B. $\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\qquad$ C. $\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}\qquad$ D. $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$
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## 二次型
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二次型，顾名思义，就是二次函数，只不过是 $n$ 元函数，当元数比较小时，我们可以清楚地画出它的图像，判断其几何形状，推得相应对的性质，然而一旦维度升高，我们是无法想象其空间几何构型的，只能从代数的角度了解其性质。因此引入二次型矩阵的概念，通过描述矩阵性质，进而得出函数的性质。
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首先，需要注意的是，二次型矩阵是人为定义的矩阵（只要满足一一对应就可以），为了更好的性质，我们选择了**实对称矩阵**作为描述对象。
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二次型中有许多 $x_ix_j$ 的交叉项，它会影响我们对函数正负的判断，而在矩阵上也就对应非对角线元素，我们想通过换元将交叉项消掉，只留下平方项。对应换元用线性代换思想描述就是 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$ ，其中 $C$ 可逆，然后也就是说 $f=\boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x=(C\boldsymbol y)^\mathrm TA(C\boldsymbol y)=\boldsymbol y^\mathrm T(C^\mathrm TAC)\boldsymbol y$ ,视 $\boldsymbol y$ 为新的变元，其对应的矩阵为 $C^\mathrm TAC$，由于 $C$ 是可逆变换，我们研究 $\boldsymbol y$，倒推回去就是研究 $\boldsymbol x$，（注意：可逆是非常重要的，并且经常被忽略），记 $B=C^\mathrm TAC$，回到最初想法“想通过换元将交叉项消掉，只留下平方项’’,换言之，通过找 $C$ ，使得 $B$ 变成对角阵。这也是贯穿二次型章节的一个重要问题。
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我们称换元后得到只含平方项的函数为标准型，平方项前面的系数，只要不变号，就能随便取，显然，标准型是无穷多的，因为换元是千奇百怪的。
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继续抽丝剥茧，称只含平方项的二次函数，且平方项系数只为 $1$ ，$-1$ 或 $0$ 的为规范形，一个二次型的规范形是唯一的。
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规范型的唯一性，恰是二次型最核心的代数本质体现——二次型的惯性。无论我们选取何种可逆线性代换，无论中间的标准型如何千变万化，二次型中平方项系数为 $1$、$-1$ 的项的个数始终固定不变，这两个固定的个数，便分别被称为二次型的**正惯性指数**与**负惯性指数**，而系数为 $0$ 的项的个数，自然就是变元个数与正、负惯性指数之和的差值。
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这一不变性并非偶然，而是由“惯性定理”严格保证的：任意一个实二次型，都可以通过可逆线性代换化为唯一的规范型，其正、负惯性指数是二次型本身固有的属性，与所选的线性代换无关。换句话说，惯性指数是二次型的“不变量”，它深刻反映了二次型在可逆变换下的本质特征，就像物体的质量一样，不随坐标系的转换而改变。而我们常用的化二次型为标准型的方法有正交变换法、配方法，本质上都依托可逆线性代换，与合同变换紧密关联，这些方法的步骤、特点及与惯性定理的关联，存在明确区别与内在联系，具体可梳理如下：
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#### （一）配方法（可逆线性代换，最通用便捷）
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配方法通过代数配方手段消去交叉项，直接构造可逆线性代换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$ ，将二次型化为标准型，无需依赖矩阵的特征值、特征向量，适用所有实二次型。
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>[!tip] 核心步骤：
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>1.若二次型含某变量的平方项（如 $x_1^2$ ），先将含 $x_1$ 的所有项归并，配成完全平方，消去含 $x_1$ 的交叉项；
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>2.对剩余变量重复上述步骤，直至所有交叉项消去，得到仅含平方项的标准型；
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>3.反向推导得到可逆线性代换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$ ，对应的矩阵变换为 $C^TAC=\Lambda$ （ $\Lambda$ 为对角阵，对角元为标准型系数）。
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**特点**：操作简单、计算量小，可灵活构造代换矩阵 $C$；但标准型系数不唯一（随配方方式变化），且 $C$ 不一定是正交矩阵，变换不保持几何度量（如长度、夹角）。
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#### **（二）合同变换法（直接作用于矩阵，直观体现合同关系）**
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合同变换法直接对实对称矩阵 $A$ 进行初等变换，通过“初等行变换+同步初等列变换”，将 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ，同步记录初等列变换得到可逆矩阵 $C$，本质是直接构造 $C^TAC=\Lambda$ 。
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>[!tip] 核心步骤：
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>1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}$ （$E$为单位矩阵）；
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>2. 对 $A$ 施行初等行变换的同时，对整个分块矩阵的列施行相同的初等列变换，使 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ；
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>3. 此时下方单位矩阵 $E$ 同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\lambda_{11}y_1^2+\lambda_{22}y_2^2+...+\lambda_{nn}y_n^2$ 。
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**特点**：直接关联矩阵合同关系，**直观体现二次型化标准型的本质**；标准型系数不唯一，C由初等变换直接得到；适用于需明确合同矩阵的场景，计算量介于配方法与正交变换法之间。
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#### （三）**正交变换法（特殊可逆代换，保几何度量）**
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正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵 $Q$（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为 $A$ 的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
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>[!tip] 核心步骤：
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>1. 求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
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>对每个特征值，求对应的特征向量，并将属于同一特征值的特征向量正交化；
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>2. 将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
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>3. 作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
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**特点**：标准型系数为 $A$ 的特征值，具有唯一性（不计顺序）；正交变换保持向量长度、夹角不变，几何意义明确（如旋转、反射变换）；但计算量较大，需求解特征值和特征向量。
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#### 方法间核心区别与关联
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**区别**：见下表
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| 方法 | 配方法 | 合同变换法 | 正交变换法 |
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| :---: | :----: | :----: | :----------------: |
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| 本质 | 一般合同变换 | 一般合同变换 | 正交合同变换，变换矩阵为正交矩阵 |
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| 标准型系数 | 仅保持惯性 | 仅保持惯性 | 特征值 |
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| 计算复杂度 | 低 | 中 | 高 |
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| 几何意义 | 无几何约束 | 无几何约束 | 保持几何度量（变换后图形形状不改变） |
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>[!faq] 思考
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>正交变换法的“保持几何度量”如何反映在代数方面？
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**关联**：所有方法均基于可逆线性代换，本质都是矩阵的合同对角化；无论哪种方法得到的标准型，其正、负惯性指数均由惯性定理保证恒定，最终都可通过进一步代换化为唯一的规范型。
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#### 考察方向
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>[!summary] 二次型的题目有以下几种基本考点：
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>1. 求标准型（规范型）；
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>2. 求把二次型变为标准型的正交变换矩阵；
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>3. 求一定条件下二次型函数的最值；
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>4. 正定性。
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>[!summary] 最基本的方法：
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>1. 求特征值和特征向量；
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>2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵；
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>3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。
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##### 求标准形
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1. 已知二次型（直接求）
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>[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题
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>设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$ 通过正交变换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 可化为标准形，求所用的正交变换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 及对应的标准形.
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2. 含参数的二次型
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通常而言，这种二次型需要根据提供的额外信息，并结合相关性质（e.g. 特征值和与积的相关性质）求出未知参数，然后按照已知二次型的求法来求解。
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>[!example] 例题
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>设二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2bx_1x_3,(b>0),$ 其中二次型的矩阵特征值之和为 $1$，之积为 $-12$. 求正交变换将二次型化为标准型.
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>[!example] 例题
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>已知二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_3$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 化为 $\displaystyle y_1^2+y_2^2$.
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>（1）求 $a$ 的值及可逆矩阵 $\boldsymbol P$；
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>（2）当 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T$ 且 $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ 时，求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的最大值，并求满足 $x_1=x_2>0$ 的最大值点.
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>[!attention] 注意！
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>经可逆线性变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 得到的标准形只能保持惯性不变，只能反映特征值的正负，其系数不等于特征值！在做题时一定要看清楚是**可逆线性变换**还是**正交变换**！
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>[!attention] 注意！
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>变换矩阵中列向量排列的顺序要和对角矩阵中元素的顺序保持一致！
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上面的那道题用到了正交变换几何形状不变的优良特性，当 $||\boldsymbol x||=1$ 时，正交变换得到的 $\boldsymbol z$ 也满足 $||\boldsymbol z||=1$，因为不改变向量长度。
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类似的题目还有：
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>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题
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>已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 2ax_{2}x_{3} \quad (a\geq 0)$ 通过正交变换$\pmb {x} = Q\pmb{y}$ 可化为标准形$y_{1}^{2} - 2y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2}$。
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>(1) 求 $a$ 的值及正交矩阵 ${Q}$。
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>(2) 当 $\| \boldsymbol {x}\| = 2$ 时，求解一个向量 $\pmb{x}$ 使得 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ 取最大值。
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>[!done] 思考题结论
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>“保持几何度量”体现在代数中最直观常用的就是变换后向量长度不变。
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>>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ $\|\boldsymbol x\|$
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配方法化标准形考察较少，此方法熟悉即可：
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>[!example] 例题
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>把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准形。
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但上文提到的均是针对已知二次型的，如果题目给的二次型是一个抽象的，就需要更加灵活地运用不同的方法。
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##### 抽象二次型
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>[!example] 例题
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>证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A,\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$ ，$\boldsymbol A$ 的秩等于 $1$,则 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy}$ 作用下可得到标准型 $6y_1^2$.
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>[!done] 总结
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> 这道题的关键就在于怎么理解 “$\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$” ，如果能正确地翻译这个条件，那这道题就迎刃而解了。至于怎么想到这一点，我可以提供一个思路：对矩阵 $\boldsymbol A$ 右乘一个向量，可以理解为是对 $\boldsymbol A$ 的列向量组进行线性组合；而题目中说各行元素之和为 $6$，这就是说把矩阵的三个列向量加在一起等于 $\begin{bmatrix}6\\6\\6\end{bmatrix}$，这样就能很顺利地解决这道题目了。
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有的时候，是题目给我们一个正交变换，求原矩阵：
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>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题
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>已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $3y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}$ ,且 $\boldsymbol{P}$ 的第3列为 $\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,求 $\boldsymbol{A}$
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##### 其他类型
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>[!example] 例题
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>已知实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol x^T \boldsymbol A \boldsymbol x$ 在可逆线性变换 $\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ y_3\end{bmatrix}$ 的作用下得到标准型 $\displaystyle 4y_1^2-\frac{1}{2}y_2^2$，则二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在可逆线性变换 $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}$ 的作用下可以得到标准型$\underline{\qquad}$.
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##### 正定性
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通常而言，我们目前能接触到的正定性相关题目需要从正定性的定义出发。
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正定/负定的定义及相关的反映
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对于实对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$：
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| 正定性 | 定义 | 二次型 | 特征值（惯性） |
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| :-: | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------: | :----: | :-----: |
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| 正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x>0$ | 恒大于零 | 全正 |
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| 半正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x\ge0$ | 恒大于等于零 | 全非负 |
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| 半负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x\le0$ | 恒小于等于零 | 全非正 |
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| 负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x<0$ | 恒小于零 | 全负 |
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| 不定 | 上述都不满足 | 不定 | 有正有负 |
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在正定性的判别中，还有顺序主子式判别法。所谓顺序主子式，可以认为就是矩阵左上角的若干元素按照原来顺序排成的行列式。比如 $A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$，它的各阶顺序主子式就是 $$\Delta_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix},\quad\Delta_2=\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix},\quad\Delta_3=\begin{vmatrix}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{vmatrix},\quad\Delta_4=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}.$$
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一个<span style='color:orange'>实对称矩阵</span>，如果它的<span style='color:orange'>所有</span>顺序主子式都大于零，那么它就是正定的。
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>[!example] 例题
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>证明：已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值全大于 $0$, $\boldsymbol B$ 为 $n$ 半正定矩阵，则对任意 $k>0,l\ge0$，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定.
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>[!example] 例题
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>已知 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 为正定矩阵， $n$ 阶实矩阵 $B$ 使得 $A-B^\text{T}AB$ 也为正定矩阵，证明 $B$ 的特征值 $\lambda$ 满足关系式 $|\lambda|<1$.
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也有不少题需要用到正定性的性质，需要多加注意：
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>[!example] 例题
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>证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A, |\boldsymbol A|<0,$ 则必存在非零向量 $\displaystyle\boldsymbol c=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$，使得 $\displaystyle f(c_1,c_2,c_3,c_4)=0$.
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>[!example] 例题
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>$t$ 为何值时，二次型 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+3tx_4^2+tx_1x_2+2tx_3x_4$ 是正定的？
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# Section 3 易错点（回顾你的易错点并写下来）
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