diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理(解析版).md b/编写小组/讲义/微分中值定理(解析版).md index dce810d..74fe52e 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理(解析版).md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理(解析版).md @@ -324,34 +324,6 @@ $$ --- ->[!example] 例2 -设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导,证明存在不同的 $\xi, \eta \in (a, b)$,使得: -$$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$ - -**解析**: -1. 对 $f(x)$ 与 $g(x) = \frac{x^2}{2}$ 应用柯西中值定理,存在 $\eta \in (a, b)$ 使得: - $$ - \frac{f(b)-f(a)}{(b^2 - a^2)/2} = \frac{f'(\eta)}{\eta} - $$ - 整理得: - $$ - f(b)-f(a) = \frac{b^2 - a^2}{2\eta} f'(\eta) - $$ - -2. 对 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理,存在 $\xi \in (a, b)$ 使得: - $$ - f(b)-f(a) = (b-a) f'(\xi) - $$ - -3. 联立两式,消去 $f(b)-f(a)$ 得: - $$ - (b-a) f'(\xi) = \frac{(b-a)(a+b)}{2\eta} f'(\eta) - $$ - 由于 $b-a \neq 0$,约去后即得: - $$ - f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta) - $$ - ## 多次运用中值定理 多次运用中值定理一般有如下特征: