diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md index 84987d5..9674991 100644 --- a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md @@ -3,4 +3,5 @@ 2. 自然常数或电荷量e、虚数单位i应当为**正体**，需要用mathrm记号包裹，例：$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$；然而，当e,i作为变量时，应当用正常的斜体。例：$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ 3. 微分算子d应当用正体，被微分的表达式用正常的斜体：$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$ 4. 极限和求和求积符号用\limits，如$\lim\limits_{x\to0}$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ -5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$ \ No newline at end of file +5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$ +6. 矩阵和向量要加粗，用\boldsymbol{}，比如$\boldsymbol{A},\boldsymbol{x}$。 \ No newline at end of file diff --git a/素材/微分中值定理.md b/素材/微分中值定理.md new file mode 100644 index 0000000..70e16dd --- /dev/null +++ b/素材/微分中值定理.md @@ -0,0 +1,202 @@ + +>[!example] 例1 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得 $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$ + +**解析**： +本题结论中含有两个不同的中值 $\xi$ 和 $\eta$，且涉及两个不同的函数形式。可考虑分别对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理： +由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使得 +$$ +\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta} +$$ +整理得 +$$ +\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta) +$$ +再对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 +$$ +\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi) +$$ +比较两式即得结论。 + +--- + +>[!example] 例2 +设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0) + f(1) + f(2) = 3$，$f(3) = 1$，试证必存在 $\xi \in (0, 3)$，使 $f'(\xi) = 0$。 + +**解析**： +由介值定理，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为 $\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3} = 1$，又 $f(3)=1$，由连续函数介值定理，存在 $c \in [0,2]$，使得 $f(c)=1$，则在 $[c,3]$ 上，$f(c)=f(3)=1$，由罗尔定理存在 $\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，使 $f'(\xi)=0$。 + +--- + +>[!example] 例3 +设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f(1/2) = 1$，试证： +(1)存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$； +(2)对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。 + +**解析**： +(1) 令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1/2)=1-1/2=1/2>0$，$g(1)=0-1=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta \in (1/2,1)$，使 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。 +(2) 令 $h(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$，则 $h(0)=0$，$h(\eta)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,\eta)$，使 $h'(\xi)=0$，即 +$$ +e^{-\lambda \xi}[f'(\xi)-1] - \lambda e^{-\lambda \xi}[f(\xi)-\xi] = 0 +$$ +整理得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。 + +--- + +## 5.2 微分中值定理及其应用 + +>[!example] 例1 +设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且 +$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。 + +**解析**： +对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得 +$$ +f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0) +$$ +即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。 + +--- + +>[!example] 例2 +设 $a_i \in \mathbb{R} (i = 0,1,2,\cdots,n)$，且满足 +$$a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0，$$证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。 + +**解析**： +构造辅助函数 +$$ +F(x) = a_0x + \frac{a_1}{2}x^2 + \frac{a_2}{3}x^3 + \cdots + \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} +$$ +则 $F(0)=0$，且由条件 $F(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $F'(\xi)=0$，即 +$$ +a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots + a_n\xi^n = 0 +$$ + +--- + +>[!example] 例3 +设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 +$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$ +试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。 + +**解析**： +由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。 + +--- + +>[!example] 例4 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。 + +**解析**： +弦 $AB$ 的方程为 +$$ +y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) +$$ +由条件，$f(c) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$。分别对 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$，$\xi_2 \in (c,b)$，使得 +$$ +f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} +$$ +$$ +f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} +$$ +故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$。再对 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$，使 $f''(\xi)=0$。 + +--- + +>[!example] 例5（柯西中值定理例） +试证至少存在一点 $\xi \in (1, e)$，使 $\sin 1 = \cos \ln \xi$。 + +**解析**： +考虑函数 $f(x)=\sin(\ln x)$，$g(x)=\ln x$，在 $[1,e]$ 上应用柯西中值定理： +存在 $\xi \in (1,e)$，使得 +$$ +\frac{f(e)-f(1)}{g(e)-g(1)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} +$$ +计算得 $f(e)=\sin 1$，$f(1)=0$，$g(e)=1$，$g(1)=0$，$f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$，$g'(x)=\frac{1}{x}$，代入得 +$$ +\frac{\sin 1 - 0}{1-0} = \frac{\cos(\ln \xi)/\xi}{1/\xi} = \cos(\ln \xi) +$$ +即 $\sin 1 = \cos(\ln \xi)$。 + +--- + +## 练习 + +>[!example] Ex1 +设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(x) \neq 1$。试证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个不动点，即方程 $f(x) = x$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个实根。 + +**解析**： +反证法。假设存在两个不动点 $x_1 < x_2$，即 $f(x_1)=x_1$，$f(x_2)=x_2$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$，使得 +$$ +f'(\xi) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{x_2-x_1}{x_2-x_1} = 1 +$$ +与 $f'(x) \neq 1$ 矛盾。故至多只有一个不动点。 + +--- + +>[!example] Ex2 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足 +$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明： +(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$； +(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。 + +**解析**： +(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。 +(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。 + +--- + +>[!example] Ex3 +若 $f(x)$ 可导，试证在其两个零点间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点。 + +**解析**： +设 $a[!example] Ex4 +设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。 + +**解析**： +设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$，即 +$$ +n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0 +$$ +两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。 + +--- + +>[!example] Ex5 +设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有 +$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$ + +**解析**： +不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理： +$$ +f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2) +$$ +$$ +f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1) +$$ +于是 +$$ +f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1 +$$ +对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使 +$$ +f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0 +$$ +故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。 + +--- + +## 解题方法总结 +1. **含一个中值的等式或根的存在**：多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数。 +2. **结论涉及含中值的两个不同函数**：可考虑用柯西中值定理。 +3. **结论中含两个或两个以上的中值**：必须多次应用中值定理。 +4. **已知条件中含高阶导数**：多考虑用泰勒公式，有时也可考虑对导数用中值定理。 +5. **结论为不等式**：要注意适当放大或缩小的技巧。 \ No newline at end of file diff --git a/素材/特征值.md b/素材/特征值.md new file mode 100644 index 0000000..a0d0906 --- /dev/null +++ b/素材/特征值.md @@ -0,0 +1,32 @@ + +>[!note] 定理 +>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；（2）它的另一个特征值为$\mathrm{tr}(A)$. + +**证明：** +根据迹的定义，只需要证明（1）。 +因为$r(A)=1[!example] 例1 +>设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^T$ 的全部 $3$ 个特征值为$\underline{\qquad}$。 + +**解：** +设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 + +• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 + +• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 + +$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 + +>[!example] 例2 +>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。 + +**解：** +设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： + +$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ + +• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 + +• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 \ No newline at end of file diff --git a/素材/特征值与相似.md b/素材/特征值与相似.md new file mode 100644 index 0000000..d08044a --- /dev/null +++ b/素材/特征值与相似.md @@ -0,0 +1,2 @@ + +$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ diff --git a/素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md b/素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md index 60acc1f..588d98e 100644 --- a/素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md +++ b/素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md @@ -6,4 +6,21 @@ >2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$ >3. 矩阵加边不会减小秩； > ->特别的，在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$ \ No newline at end of file +>特别的，在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$ + +9. （20分）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明： + (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ . + (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解. + 证明如下： +>(1)（10分） +> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）； +>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$， +>所以a的解空间包含b的解空间（5分）， +>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$ +>(2) （10分） +>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ +>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$； +>关键步骤！ 等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分） +>关键步骤！ 又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分） +>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$ +>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证. \ No newline at end of file diff --git a/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md b/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md index aaeb69a..cde46ac 100644 --- a/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md +++ b/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md @@ -1,42 +1,25 @@ 这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式 ->[!note] 解零度化定理： ->对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则 -> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$ +>[!note] 秩零化度定理： +>对于齐次方程组 ${A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}{A}=r$，则 +> $$\dim N({A})=n-r$$ -已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解. - $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ ->分析：在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数 ->解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ ->故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） ->$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） ->$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分） ->解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备 +>[!example] 例1 +>已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\beta$ 的通解. - 设 -$$ -A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 2 & 6 -\end{bmatrix}, \quad -B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a & a-1 \\ -2 & -3 & 2 & -2 -\end{bmatrix}, -\quad -\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad -\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} -$$ +**答案：** + $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$ +**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数 +**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ +故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） +$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） +$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分） +解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备 -(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解； -(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 -4. (10分) 设 -$$ -A = \begin{bmatrix} + >[!example] 例2 + >设 $$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6 @@ -45,70 +28,58 @@ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2 -\end{bmatrix}, -$$ -向量 -$$ +\end{bmatrix}, +\quad \alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad -\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}. -$$ - +\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解； - -(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 - ---- +$\quad$ +(2) 若方程组 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与方程组 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 **解：** - (1) 由于 $$ -\left( \begin{array}{c} +\begin{bmatrix} A \quad \alpha \\ B \quad \beta -\end{array} \right) = -\left( \begin{array}{ccccc} +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & a & a-1 & 0 \\ 2 & -3 & 2 & -2 & -1 -\end{array} \right) -$$ -$$ +\end{bmatrix} \rightarrow -\left( \begin{array}{ccccc} +\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -\end{array} \right), +\end{bmatrix}, $$ 故 $$ -R \left( \begin{array}{c} -A \quad \alpha \\ -B \quad \beta -\end{array} \right) = R(A, \alpha), +\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha], $$ 从而方程组 $$ \begin{cases} -Ax = \alpha, \\ -Bx = \beta +A\boldsymbol{x} = \alpha \\ +B\boldsymbol{x} = \beta \end{cases} $$ -与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。 +与 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 同解，故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。 -(2) 分析：不同解，却要可以求出a的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理 -由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 +(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理 +由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 $$ -4 - R(A) < 4 - R(B), +4 - r(A) < 4 - r(B), $$ -故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则 +故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则 $$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ diff --git a/编写小组/未命名 1.md b/编写小组/未命名 1.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/编写小组/未命名.md b/编写小组/未命名.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md new file mode 100644 index 0000000..b52eaf9 --- /dev/null +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -0,0 +1,7 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- +**内部资料，禁止传播** +**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁 + diff --git a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式.md b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式.md new file mode 100644 index 0000000..bfed081 --- /dev/null +++ b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式.md @@ -0,0 +1,629 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- +**内部资料，禁止传播** +**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁 + +# 单方程组解的问题 + +### 线性方程组解的判定 + +对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, +1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$； +2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$； +3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。 +注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。 + +怎么理解： +1. 从线性方程组的角度，如果加上一列 $b$ 后的秩变大了，那么化为最简行阶梯型后下面一定多出来一行 $0=$某个常数 ，则必然无解。 +2. 秩等于 $n$ 就是有 $n$ 个无关的方程，则经过消元法后可以解出唯一解。 +3. 秩小于 $n$ 就是方程不足 $n$ 个，消元消不完，也能解释为啥秩跟解空间维数的和为 $n$ + +把以上结论应用到齐次线性方程组，可得 +推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。 + +### 矩阵方程解的判定 + +本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。 +最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。 +1. 有解的充要条件： +矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即： +$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$ +这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。 + +理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题 + +2. 解的结构： +- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。 +- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。 + +可逆矩阵 +- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$ + +其他形式的矩阵方程 +- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$ +- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。 + +>[!example] **例1** +>设矩阵 +>$$A = \begin{bmatrix} +1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ +1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ +1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ +1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 +\end{bmatrix}, +\quad +x = \begin{bmatrix} +x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 +\end{bmatrix}, +\quad +b = \begin{bmatrix} +1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 +\end{bmatrix}$$ +其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。 + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] **例2** +> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$ + +# 多方程组的问题（线性方程组同解） + +## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**： + +充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$. +$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题： +充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$. + +解包含的关系：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix} \Leftrightarrow A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解 + +如何理解（非严格证明，目的是便于理解）： +首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$， +考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的， +可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$. +$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？ + +说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$. + +另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价. + +需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用. +非齐次的时候同理. + +注意：由此，我们还能得到一些别的结论 +例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解 + +>[!example] 例1 +>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$ 与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则 + (A) $a = 1, b = 0, c = 1$; + (B) $a = 1, b = 1, c = 2$; + (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; + (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. + +# 线性方程组的系数矩阵与解关系 + +在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系，下面是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式。 + +>[!note] 秩零化度定理： +>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则 +> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$ + +> [!example] 例1 +> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解. + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +> [!example] 例2 +> 设 $$ +A = \begin{bmatrix} +1 & -1 & 0 & -1 \\ +1 & 1 & 0 & 3 \\ +2 & 1 & 2 & 6 +\end{bmatrix}, \quad +B = \begin{bmatrix} +1 & 0 & 1 & 2 \\ +1 & -1 & a & a-1 \\ +2 & -3 & 2 & -2 +\end{bmatrix},$$ +向量 $$ +\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad +\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$ +(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解； +(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +# 通过秩反过来得方程是否有解 + +>[!example] 例1 +>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[ ] +(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解. +(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. +(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$ +(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$ + +**解：** +(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。 + +(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。 + +(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。 + +(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。 +1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。 +2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。 +3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。 + +# 矩阵秩与线性方程组解的关系图解说明 + +--- + +## 概念回顾 + +- **rank[A]** 代表矩阵$A$的秩。 +- 秩的定义：矩阵列向量组中**极大线性无关组所含列向量的个数**。 +- 可以用“圆”或“空间”来表示矩阵列向量组张成的向量空间。 + +--- + +## 图解说明 + +假设 +$$ +A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] +$$ +是$m \times 3$矩阵， +$$ +\beta_1, \beta_2 +$$ +是$m$维列向量。 + +### 1. 方程组有解的条件 + +方程组 +$$ +Ax = \beta_1 \quad \text{和} \quad Ax = \beta_2 +$$ +有解 +$\Leftrightarrow$$\beta_1, \beta_2$可由$A$的列向量线性表示。 + +在几何上，这表示： + +- 设$A$的列向量张成的空间为$S_A$。 +-$\beta_1, \beta_2 \in S_A$。 +- 即$S_A$“包含”$\beta_1, \beta_2$。 + +因此，$S_A$这个“圆”应当能够**覆盖**$\beta_1$和$\beta_2$。 + +--- + +### 2. 秩等价条件 + +已知： +$$ +\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] +$$ +表示： +- 矩阵$A$的秩与增广矩阵$[A \mid \beta_1 \mid \beta_2]$的秩相等。 +- 这意味着$\beta_1, \beta_2$并没有“扩大”$A$的列空间。 + +因此： +$$ +\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] +\quad\Leftrightarrow\quad +\beta_1, \beta_2 \in S_A +$$ +即$Ax = \beta_1$和$Ax = \beta_2$有解。 + +--- + +### 3. 等价写法 + +把$\beta_1, \beta_2$放在$A$的右侧构成一个更大的矩阵： +$$ +[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] +$$ +其秩与$A$相同，说明： +1. 空间$S_{[A \ \beta_1 \ \beta_2]}$与$S_A$相同。 +2. 从初等行变换角度看：在行阶梯形中，$\beta_1, \beta_2$对应的列会被$A$的列线性表示，从而可化为零列（在解方程时体现为消去）。 +3. 存在$x_1, x_2$使得： + $$ + A(-x_1) = \beta_1, \quad A(-x_2) = \beta_2 + $$ + 这样在增广矩阵中可以通过列操作消去$\beta_1, \beta_2$，使其变为零列。 + +--- + +## 总结 + +- 秩相等 ⇔ 列空间相同 ⇔ 方程组有解。 +- 图示法：把$A$的列空间画成一个圆，$\beta_1, \beta_2$若落在圆内，则方程有解。 +- 矩阵的秩是判断线性方程组解的存在性的核心工具。 + +--- + +**注**：这里的“圆”是比喻，实际为**线性子空间**。 + +# 秩的不等式 + +### 1. 和的秩不超过秩的和 + +设 $A, B$ 为同型矩阵，则 +$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$ + +### 2. 积的秩不超过任何因子的秩 + +设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则 +$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$ + +### 3. Sylvester(西尔维斯特)不等式 + +设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则 +$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ +特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 + +### 4. 分块式 + +设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则 + +$$(1)\ \mathrm{rank} + +\begin{bmatrix} +A \\ +B +\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } +\begin{bmatrix} +A \\ +B +\end{bmatrix} \geq \text{rank } B +$$ + +$$(2)\ \mathrm{rank} +\begin{bmatrix} +A & 0 \\ +0 & B +\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B +$$ + +$$(3)\ \mathrm{rank} +\begin{bmatrix} +A & E_n \\ +0 & B +\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B +$$ + +$$(4)\ \mathrm{rank} +\begin{bmatrix} +A & 0 \\ +0 & B +\end{bmatrix} = \text{rank } +\begin{bmatrix} +A & B \\ +0 & B +\end{bmatrix} = \text{rank } +\begin{bmatrix} +A + B & B \\ +B & B +\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B) +$$ + +注：（2）与（4）结合即第一个不等式的证明方法 + +> [!note] 证明1： +$$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$$ + +--- + +### 证明思路 +设 +$$ +A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \quad C = AB \in \mathbb{R}^{m \times p}. +$$ + +--- + +#### 1. 先证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$ + +- 考虑$C$的列向量： + 设$B = [b_1, b_2, \dots, b_p]$，则 + $$ + C = [A b_1, A b_2, \dots, A b_p]. + $$ + 因此$C$的每一列都是$A$的列向量的线性组合。 +- 所以$C$的列空间是$A$的列空间的子空间，故 + $$ + \operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A)。 + $$ + +--- + +#### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$ + +- 考虑$C$的行向量： + 设$A = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_m^T \end{bmatrix}$，则 + $$ + C = \begin{bmatrix} a_1^T B \\ a_2^T B \\ \vdots \\ a_m^T B \end{bmatrix}. + $$ + 因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。 +- 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故 + $$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(B)$$ + +--- + +#### 3. 综合 +由 1 和 2 得 +$$ +\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \quad \text{且} \quad \operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B), +$$ +即 +$$ +\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}. +$$ + +--- + +**证毕。** + +> [!note] 证明2 +> 证明 Sylvester 秩不等式： +$$\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$$ +其中 +$A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \; AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$。 + +--- + +### 证明思路 +设： +-$\operatorname{rank}(A) = r$ +-$\operatorname{rank}(B) = s$ +-$n$是矩阵乘法的中间维度，即$A$的列数、$B$的行数。 + +--- + +#### 1. 利用分块矩阵构造 +构造如下分块矩阵： +$$ +M = \begin{bmatrix} +A & O \\ +I_n & B +\end{bmatrix} +\in \mathbb{R}^{(m+n) \times (n+p)} +$$ +其中$I_n$是$n \times n$单位矩阵，$O$是零矩阵。 + +--- + +#### 2. 对$M$进行初等变换 +从$M$的第二块行减去第一块行左乘某个矩阵（这里相当于对$M$做列初等变换），实际上我们可以对$M$做以下变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A & O \\ +I_n & B +\end{bmatrix} +\xrightarrow{\text{右乘 } \begin{bmatrix} I_n & -B \\ O & I_p \end{bmatrix}} +\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} +$$ +初等变换不改变矩阵的秩，所以： +$$ +\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} +$$ + +--- + +#### 3. 估计$\operatorname{rank}(M)$ +另一方面，由分块矩阵的秩不等式： +$$ +\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) +$$ +这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。 + +更严格地，我们可以直接写： +$$ +\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A \\ +I_n +\end{bmatrix} + \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +I_n & B +\end{bmatrix} - n +$$ +但更简单的常用方法是利用： +$$ +\operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & O \\ +I_n & B +\end{bmatrix} \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) +$$ +因为$I_n$的存在使得两个子块的秩可以同时保持。 + +--- + +#### 4. 从变换后的矩阵得到下界 +观察变换后的矩阵： +$$ +\operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} +\ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +I_n & O +\end{bmatrix} + \operatorname{rank}([-AB]) +$$ +实际上更直接的方法是注意到： +$$ +\operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} += \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +O & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} \quad (\text{列变换}) +$$ +即： +$$ += \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +I_n & O \\ +O & AB +\end{bmatrix} = \operatorname{rank}(I_n) + \operatorname{rank}(AB) = n + \operatorname{rank}(AB) +$$ + +--- + +#### 5. 联立 +由初等变换保秩，得： +$$ +n + \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) +$$ +整理得： +$$ +\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n +$$ + +--- + +## 重点思路 + +>[!information] 思路1 +>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**. +>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式： +>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$ +>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$ +>3. 矩阵加边不会减小秩； +> + +> [!note] 思路2 +> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$ + +> [!example] 例1 +> 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明： +> (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ . +> (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.（这一问用到这个方法） + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +>[!example] 例2 +>已知$A, B, C, D$都是 4 阶非零矩阵，且$ABCD = O$，如果$|BC| \neq 0$，记$$r(A) + r(B) + r(C) + r(D) = r$$ +>则$r$的最大值是（ ）。 +>(A) 11 +>(B) 12 +>(C) 13 +>(D) 14 + +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` diff --git a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md index e68f0cc..fa15bf4 100644 --- a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md @@ -15,6 +15,11 @@ tags: 3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。 注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。 +怎么理解： +1. 从线性方程组的角度，如果加上一列 $b$ 后的秩变大了，那么化为最简行阶梯型后下面一定多出来一行 $0=$某个常数 ，则必然无解。 +2. 秩等于 $n$ 就是有 $n$ 个无关的方程，则经过消元法后可以解出唯一解。 +3. 秩小于$n$ 就是方程不足 $n$ 个，消元消不完，也能解释为啥秩跟解空间维数的和为 $n$ + 把以上结论应用到齐次线性方程组，可得 推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。 @@ -107,6 +112,8 @@ $$ $Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题： 充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$. +解包含的关系：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix} \Leftrightarrow A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解 + 如何理解（非严格证明，目的是便于理解）： 首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$， 考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的， @@ -130,24 +137,32 @@ $N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？ (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. -解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$ +>答案：**D** +>解析：$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&5\\1&1&a\end{bmatrix}x=0$，$\text{(II)}: \begin{bmatrix}1&b&c\\2&b^2&c+1\end{bmatrix}x=0$，对方程做初等行变换： +>$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&a-2\end{bmatrix}x=0$，$\text{(II)}: \begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}x=0$，记系数矩阵分别为$A,B$ +>因为方程(I),(II)同解，所以$\text{rank}A=\text{rank}B$，而$\text{rank}A\ge 2,\text{rank}B\le 2$，故$\text{rank}A=\text{rank}B=2$，故$a-2=0 \to a=2$；所以方程组(I)的解为$x=k(1,1,-1)^T$； +>令$k=1,x=(1,1,-1)^T$代入方程组(II)得$\begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+b-c\\b^2-2b+c-1\end{bmatrix}=0$，解得$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$或$\begin{cases}b=1\\c=2\end{cases}$；然而，当$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$时，$\begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$，不符合$\text{rank}B=2$的约束，故舍去； +>综上，$\begin{cases}a=2\\b=1\\c=2\end{cases}$ + # 线性方程组的系数矩阵与解关系 -在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系： +在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系，下面是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式。 ->[!note] 定理1： +>[!note] 秩零化度定理： >对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则 > $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$ > [!example] 例1 > 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解. - $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ - ->解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ ->故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） ->$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） ->$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分） ->解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备 + +**答案：** + $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$ +**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的秩零化度定理来求齐次方程组解空间的维数 +**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ +故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） +$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） +$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分） +解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备 > [!example] 例2 > 设 $$ @@ -167,57 +182,43 @@ B = \begin{bmatrix} (1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解； (2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 ---- **解：** - (1) 由于 $$ -\left( \begin{array}{c} +\begin{bmatrix} A \quad \alpha \\ B \quad \beta -\end{array} \right) = -\left( \begin{array}{ccccc} +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & a & a-1 & 0 \\ 2 & -3 & 2 & -2 & -1 -\end{array} \right) -$$ -$$ +\end{bmatrix} \rightarrow -\left( \begin{array}{ccccc} +\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -\end{array} \right), +\end{bmatrix}, $$ 故 $$ -R \left( \begin{array}{c} -A \quad \alpha \\ -B \quad \beta -\end{array} \right) = R(A, \alpha), -$$ -从而方程组 -$$ -\begin{cases} -Ax = \alpha, \\ -Bx = \beta -\end{cases} -$$ -与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。 +\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha]$$ +故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。 -(2) 由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 +(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑秩零化度定理 +由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 $$ -4 - R(A) < 4 - R(B), +4 - r(A) < 4 - r(B), $$ -故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则 +故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则 $$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ @@ -226,6 +227,116 @@ $$ \end{array} \right| = 0, $$ 解得 $a = 1$。 +# 通过秩反过来得方程是否有解 + +>[!example] 例1 +>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[ ] +(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解. +(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. +(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$ +(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$ + +**解：** +(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。 + +(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。 + +(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。 + +(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。 +1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。 +2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。 +3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。 + +# 矩阵秩与线性方程组解的关系图解说明 + +--- + +## 概念回顾 + +- **rank[A]** 代表矩阵$A$的秩。 +- 秩的定义：矩阵列向量组中**极大线性无关组所含列向量的个数**。 +- 可以用“圆”或“空间”来表示矩阵列向量组张成的向量空间。 + +--- + +## 图解说明 + +假设 +$$ +A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] +$$ +是$m \times 3$矩阵， +$$ +\beta_1, \beta_2 +$$ +是$m$维列向量。 + +### 1. 方程组有解的条件 + +方程组 +$$ +Ax = \beta_1 \quad \text{和} \quad Ax = \beta_2 +$$ +有解 +$\Leftrightarrow$$\beta_1, \beta_2$可由$A$的列向量线性表示。 + +在几何上，这表示： + +- 设$A$的列向量张成的空间为$S_A$。 +-$\beta_1, \beta_2 \in S_A$。 +- 即$S_A$“包含”$\beta_1, \beta_2$。 + +因此，$S_A$这个“圆”应当能够**覆盖**$\beta_1$和$\beta_2$。 + +--- + +### 2. 秩等价条件 + +已知： +$$ +\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] +$$ +表示： +- 矩阵$A$的秩与增广矩阵$[A \mid \beta_1 \mid \beta_2]$的秩相等。 +- 这意味着$\beta_1, \beta_2$并没有“扩大”$A$的列空间。 + +因此： +$$ +\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] +\quad\Leftrightarrow\quad +\beta_1, \beta_2 \in S_A +$$ +即$Ax = \beta_1$和$Ax = \beta_2$有解。 + +--- + +### 3. 等价写法 + +把$\beta_1, \beta_2$放在$A$的右侧构成一个更大的矩阵： +$$ +[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] +$$ +其秩与$A$相同，说明： +1. 空间$S_{[A \ \beta_1 \ \beta_2]}$与$S_A$相同。 +2. 从初等行变换角度看：在行阶梯形中，$\beta_1, \beta_2$对应的列会被$A$的列线性表示，从而可化为零列（在解方程时体现为消去）。 +3. 存在$x_1, x_2$使得： + $$ + A(-x_1) = \beta_1, \quad A(-x_2) = \beta_2 + $$ + 这样在增广矩阵中可以通过列操作消去$\beta_1, \beta_2$，使其变为零列。 + +--- + +## 总结 + +- 秩相等 ⇔ 列空间相同 ⇔ 方程组有解。 +- 图示法：把$A$的列空间画成一个圆，$\beta_1, \beta_2$若落在圆内，则方程有解。 +- 矩阵的秩是判断线性方程组解的存在性的核心工具。 + +--- + +**注**：这里的“圆”是比喻，实际为**线性子空间**。 # 秩的不等式 @@ -239,7 +350,7 @@ $$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $ 设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则 $$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$ -### 3. 重要不等式 +### 3. Sylvester(西尔维斯特)不等式 设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则 $$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ @@ -290,6 +401,188 @@ B & B \end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B) $$ +注：（2）与（4）结合即第一个不等式的证明方法 + +> [!note] 证明1： +$$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$$ + +--- + +### 证明思路 +设 +$$ +A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \quad C = AB \in \mathbb{R}^{m \times p}. +$$ + +--- + +#### 1. 先证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$ + +- 考虑$C$的列向量： + 设$B = [b_1, b_2, \dots, b_p]$，则 + $$ + C = [A b_1, A b_2, \dots, A b_p]. + $$ + 因此$C$的每一列都是$A$的列向量的线性组合。 +- 所以$C$的列空间是$A$的列空间的子空间，故 + $$ + \operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A)。 + $$ + +--- + +#### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$ + +- 考虑$C$的行向量： + 设$A = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_m^T \end{bmatrix}$，则 + $$ + C = \begin{bmatrix} a_1^T B \\ a_2^T B \\ \vdots \\ a_m^T B \end{bmatrix}. + $$ + 因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。 +- 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故 + $$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(B)$$ + +--- + +#### 3. 综合 +由 1 和 2 得 +$$ +\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \quad \text{且} \quad \operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B), +$$ +即 +$$ +\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}. +$$ + +--- + +**证毕。** + +> [!note] 证明2 +> 证明 Sylvester 秩不等式： +$$\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$$ +其中 +$A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \; AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$。 + +--- + +### 证明思路 +设： +-$\operatorname{rank}(A) = r$ +-$\operatorname{rank}(B) = s$ +-$n$是矩阵乘法的中间维度，即$A$的列数、$B$的行数。 + +--- + +#### 1. 利用分块矩阵构造 +构造如下分块矩阵： +$$ +M = \begin{bmatrix} +A & O \\ +I_n & B +\end{bmatrix} +\in \mathbb{R}^{(m+n) \times (n+p)} +$$ +其中$I_n$是$n \times n$单位矩阵，$O$是零矩阵。 + +--- + +#### 2. 对$M$进行初等变换 +从$M$的第二块行减去第一块行左乘某个矩阵（这里相当于对$M$做列初等变换），实际上我们可以对$M$做以下变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A & O \\ +I_n & B +\end{bmatrix} +\xrightarrow{\text{右乘 } \begin{bmatrix} I_n & -B \\ O & I_p \end{bmatrix}} +\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} +$$ +初等变换不改变矩阵的秩，所以： +$$ +\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} +$$ + +--- + +#### 3. 估计$\operatorname{rank}(M)$ +另一方面，由分块矩阵的秩不等式： +$$ +\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) +$$ +这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。 + +更严格地，我们可以直接写： +$$ +\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A \\ +I_n +\end{bmatrix} + \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +I_n & B +\end{bmatrix} - n +$$ +但更简单的常用方法是利用： +$$ +\operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & O \\ +I_n & B +\end{bmatrix} \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) +$$ +因为$I_n$的存在使得两个子块的秩可以同时保持。 + +--- + +#### 4. 从变换后的矩阵得到下界 +观察变换后的矩阵： +$$ +\operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} +\ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +I_n & O +\end{bmatrix} + \operatorname{rank}([-AB]) +$$ +实际上更直接的方法是注意到： +$$ +\operatorname{rank}\begin{bmatrix} +A & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} += \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +O & -AB \\ +I_n & O +\end{bmatrix} \quad (\text{列变换}) +$$ +即： +$$ += \operatorname{rank}\begin{bmatrix} +I_n & O \\ +O & AB +\end{bmatrix} = \operatorname{rank}(I_n) + \operatorname{rank}(AB) = n + \operatorname{rank}(AB) +$$ + +--- + +#### 5. 联立 +由初等变换保秩，得： +$$ +n + \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) +$$ +整理得： +$$ +\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n +$$ + +--- + +## 重点思路 + >[!information] 思路1 >通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**. >在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式： @@ -301,25 +594,53 @@ $$ > [!note] 思路2 > 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$ +> [!example] 例1 +> 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明： +> (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ . +> (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.（这一问用到这个方法） + +解析：证明如下： +>(1)（10分） +> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）； +>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$， +>所以a的解空间包含b的解空间（5分）， +>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$ +>(2) （10分） +>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ +>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$； +>等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分） +>又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分） +>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$ +>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证. + +>[!example] 例2 +>已知$A, B, C, D$都是 4 阶非零矩阵，且$ABCD = O$，如果$|BC| \neq 0$，记$$r(A) + r(B) + r(C) + r(D) = r$$ +>则$r$的最大值是（ ）。 +>(A) 11 +>(B) 12 +>(C) 13 +>(D) 14 + +**解析思路**： +- 由$|BC| \neq 0$知$B, C$均可逆。 +- 由$ABCD = O$，故$r(AB) + r(CD) \le 4$，$r(A) + r(D) \le 4$ +- 又$B, C$满秩，即$r(B) = r(C) = 4$。 +- 于是$r = r(A) + r(B) + r(C) + r(D) \le 4 + 4 + 4 = 12$。 +- 存在构造使等号成立，故最大值为$12$。 +- 例如$$A = +\begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0 \\ +0 & 1 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 0 & 0 +\end{pmatrix}, +\quad +D = +\begin{pmatrix} +0 & 0 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 0 & 0 \\ +1 & 0 & 0 & 0 \\ +0 & 1 & 0 & 0 +\end{pmatrix}$$ +**答案**： (B) 12 - ->[!example] 例3 ->已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[ ] -(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解. -(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. -(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$ -(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$ - -**解：** -(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。 - -(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。 - -(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。 - -(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。 -1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。 -2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。 -3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。 - -根据上面的题目，我们可不可以归纳出一种比较普遍的方式，去解决这种与秩和方程组解都有密切关系的题目呢？ \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md new file mode 100644 index 0000000..4f0ed9d --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md @@ -0,0 +1,223 @@ +# **1.13 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）** + +## **第一部分：题目** + +### **1.** + +已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ + +### **2.（2013 秋 A）** + +$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$ + +### **3.（2018 秋 A）** + +$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ + +### **4.（2018 秋 A）** + +$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$ +### **5.（2018 秋 A）** + +$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$ + +### **6.（2022 秋 A・5）** + +$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$ + +### **7.（2022 秋 A）** + +$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$ + +$$\begin{aligned} +A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3 +\end{aligned} +$$ +(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$； + +(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。 + +### **8.（2013 秋 A）** + +$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$ + +### **9.（2013 秋 A・三）** + +设 n 阶行列式： + +$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$ + +证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。 + +## **第二部分：答案与解析** + +### 1. 答案：$\boxed{4c}$ + +#### **解析：** + +$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ +由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 + +利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 + +此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 + +### **2. 答案：$\boxed{2}$ + +#### **解析：** + +将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式： + +$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$ + +设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关： + +若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。 + +向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。 + +### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$ + +#### **解析：** + +设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 + +• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 + +• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 + +$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 + +### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$** + +#### **解析：** + +记$A_i$为$A$中除了第$i$行全都改为$0$的矩阵，$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$。那么$$A_i\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & &\vdots\\a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\\vdots & \vdots & &\vdots\\0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$则$$(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)^2=(A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x}$$将二次型用上式展开得： + +$$\begin{aligned} +f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x})\\ +&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i)\boldsymbol{x}\\ +&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i)\boldsymbol{x}\\ +&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x} +\end{aligned}$$ +其中因为$A_i^TA_j=\boldsymbol{0},$如果$i\neq j$，所以 +$$\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i$$ + +• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 + +### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）** + +#### **解析：** + +实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。 + +• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。 + +• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。 + +• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。 + +### **6. 答案：$\boxed{9}$** + +#### **解析：** + +设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： + +$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ + +• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 + +• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 + +### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$** + +#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关** + +因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。 + +由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法： + +$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$ + +其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$： + +$$\begin{aligned} +|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\ +&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\ +&=-25\neq0 +\end{aligned} +$$ + +• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。 + +• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。 + +#### **(2) 计算 $|E-A|$** + +由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。 + +计算 $E-C$： + +$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$ + +按第三行展开计算行列式： + +$$ +\begin{aligned} +|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\ +&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\ +&=2+18=20 +\end{aligned} +$$ + +故 $|E-A|=20$。 + +### **8. 答案：** + +$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix} +$$ +#### **解析：** + +通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导： + +• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律： + +◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$； + +◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。 + +• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。 + +### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$** + + **步骤 1：建立递推公式** + +对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）： + +$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$ + +• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）； + +• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。 + +因此递推公式为： + +$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$ + + **步骤 2：确定初始条件** + +• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$； + +• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。 +容易证明$n=1,n=2$时满足要证的式子 + +**步骤3：运用数学归纳法** +假设当$n\le k$时，有$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。当$n=k+1$时，有$$ +\begin{aligned} +D_{k+1}&=D_k+D_{k-1}\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+2}) +\end{aligned} +$$满足条件，故由数学归纳法知，$\forall{n}\in\mathbb{N}_+,D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$. \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md similarity index 100% rename from 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md rename to 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md diff --git a/编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md similarity index 88% rename from 编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md rename to 试卷库/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md index 471e755..082cd86 100644 --- a/编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md +++ b/试卷库/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md @@ -11,11 +11,11 @@ tags: **考试时间：150 分钟** **满分：100 分** -| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 | -|------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|-----|------|------| -| 满分 | 15 | 15 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 100 | | -| 得分 | | | | | | | | | | | | | | | -| 评阅人 | | | | | | | | | | | | | | | +| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 | +| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | +| 满分 | 15 | 15 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 100 | | +| 得分 | | | | | | | | | | | | | | | +| 评阅人 | | | | | | | | | | | | | | | **注意：** 1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 diff --git a/编写小组/试卷/高数期末真题/2018高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2018高数期末考试卷.md similarity index 100% rename from 编写小组/试卷/高数期末真题/2018高数期末考试卷.md rename to 试卷库/高数期末真题/2018高数期末考试卷.md diff --git 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