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编写小组/课后测/课后测解析版4.md

@@ -22,4 +22,76 @@ $\{a_n\}$ **一定收敛**，理由如下：
      - $\{a_{3n+1}\}$ 中的奇数项子列（属于 $\{a_{2n+1}\}$）的极限 = $\{a_{3n+1}\}$ 的极限。  
    - 故 $\{a_{2n}\}$ 与 $\{a_{2n+1}\}$ 的极限相等。  
 
-综上，数列 $\{a_n\}$ 的偶数项子列和奇数项子列极限相同，因此 $\{a_n\}$ 收敛。
+综上，数列 $\{a_n\}$ 的偶数项子列和奇数项子列极限相同，因此 $\{a_n\}$ 收敛。
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+3.设函数由参数方程 $\begin{cases} x = t + \arctan t \\ y = t - \ln(1+t^2) \end{cases}$ 确定，求 $dy$。
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+---
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+计算得
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+$$ \frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{1+t^2} $$
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+$$ \frac{dy}{dt} = 1 - \frac{2t}{1+t^2} $$
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+因此，
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+$$ dy = \frac{1 - \frac{2t}{1+t^2}}{1 + \frac{1}{1+t^2}} dx = \frac{t^2 - 2t + 1}{t^2 + 2} dx $$
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+或等价地，
+
+$$ dy = \left( 1 - \frac{2t}{1+t^2} \right) dt $$
+
+---
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+4.求曲线 $f(x) = \frac{e^x}{x-1} + x$ 的渐近线。
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+**提示**：
+1.  首先，函数在 $x = 1$ 处无定义，需考察 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
+2.  其次，当 $x \to \infty$ 时，函数行为由 $x$ 主导，应考虑是否存在斜渐近线 $y = kx + b$，其中 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$。
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+**答案**：
+铅直渐近线：$x = 1$（因 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$， $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$）。
+斜渐近线：
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+$$ k = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 $$
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+$$ b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = 1 $$
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+故有 $y = x + 1$。
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+该函数无水平渐近线
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+---
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+#### 三、滥用正项级数判别法于任意项级数
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+5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
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+**答案**：
+因为
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+$$ \sin(n\pi + \frac{\pi}{4}) = (-1)^n \sin\frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\sqrt{2}}{2} $$
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+所以原级数为
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+$$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}} $$
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+考虑其绝对值级数
+
+$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^3+1}} $$
+
+由于
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+$$ \frac{1}{\sqrt{n^3+1}} < \frac{1}{n^{3/2}} $$
+
+且 $p=\frac{3}{2}>1$ 的 $p$-级数收敛，由比较判别法知该绝对值级数收敛。
+因此，原级数 **绝对收敛**。