From 40f0c7e57cf65080df5321ed427473e658fc32c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 11:52:28 +0800 Subject: [PATCH 1/3] vault backup: 2026-01-23 11:52:27 --- 素材/整合素材/不定积分.md | 35 +++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 35 insertions(+) create mode 100644 素材/整合素材/不定积分.md diff --git a/素材/整合素材/不定积分.md b/素材/整合素材/不定积分.md new file mode 100644 index 0000000..aabd036 --- /dev/null +++ b/素材/整合素材/不定积分.md @@ -0,0 +1,35 @@ +>[!example] +>求 $\displaystyle I_n=\int\dfrac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}$. （递推公式） + +>[!example] +>证明 $$\displaystyle I_n=\int\tan^nx\text{d}x=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$$ + +>[!note] +>证明： $\displaystyle I_n=\int\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)\text{d}x=\int\tan^{n-2}x\text{d}(\tan x)-I_{n-2}=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$ + +分部积分法：多次使用时，记住每次一定要把同一种函数放到 $\text d$ 里面去. + +抽象函数积分 +>[!example] +>已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\dfrac{\cos x}{x}$, 求 $\displaystyle \int xf'(x)\text dx$. + +>[!note] +>$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$ +>$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$ +>于是原式 $=$ + +换元加分部 +>[!example] +>求 $\displaystyle I=\int\dfrac{\text e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}\text dx.$ + +>[!note] +>令 $u=\arctan x$, 则 $\text dx=\sec^2u\text du.$ 则 $$\begin{aligned} +>\displaystyle I&=\int \text e^u\cos u\text du\\ +>&=\int \text e^u\text d\sin u\\ +>&=\int \text e^u\text d\sin u\\ +>&=\text e^u\sin u-\int\text e^u\sin u\text du\\ +>&=\text e^u\sin u+\int \text e^u\text d\cos u\\ +>&=\text e^u\sin u+(\text e^u\cos u-\int\text e^u\cos u\text du)\\ +>&=\text e^u\sin u+\text e^u\cos u-I +>\end{aligned},$$于是 $\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\text e^u(\sin u+\cos u)=\dfrac{(x+1)\text e^{\arctan x}}{2\sqrt{x^2+1}}+C.$ + From 0b219bf250f56aa33978b3cfce55a7162d2c9669 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 11:57:07 +0800 Subject: [PATCH 2/3] vault backup: 2026-01-23 11:57:07 --- 素材/整合素材/{ => 线代素材}/1.11题目素材.md | 0 .../整合素材/{ => 线代素材}/一个计算题的解答.md | 0 .../{ => 线代素材}/一些有趣的线代题目.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/二次型.md | 0 .../整合素材/{ => 线代素材}/二次型与合同题目.md | 0 .../{ => 线代素材}/向量空间与线性空间.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/正交及二次型.md | 0 .../{ => 线代素材}/正交矩阵和施密特正交化法.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/特征值.md | 0 .../{ => 线代素材}/特征值与相似对角化.md | 0 .../用秩的不等式“夹逼”出确切值.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/相似对角化.md | 0 .../{ => 线代素材}/相似对角化的基础题目.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/秩为1矩阵性质.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/秩的不等式.md | 0 .../{ => 线代素材}/线性变换与线性空间.md | 0 素材/整合素材/{ => 线代素材}/证明方阵可交换.md | 0 .../{ => 线代素材}/证明相似的一种新的思路.md | 0 素材/整合素材/{ => 高数素材}/不定积分.md | 0 .../{ => 高数素材}/微分中值定理部分题目汇总.md | 0 素材/整合素材/{ => 高数素材}/拐点是一个点.md | 0 .../{ => 高数素材}/洛必达法则-注意事项.md | 0 素材/{整合素材 => }/谏学高数者十思疏.md | 0 23 files changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/1.11题目素材.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/一个计算题的解答.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/一些有趣的线代题目.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/二次型.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/二次型与合同题目.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/向量空间与线性空间.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/正交及二次型.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/正交矩阵和施密特正交化法.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/特征值.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/特征值与相似对角化.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/相似对角化.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/相似对角化的基础题目.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/秩为1矩阵性质.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/秩的不等式.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/线性变换与线性空间.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/证明方阵可交换.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 线代素材}/证明相似的一种新的思路.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 高数素材}/不定积分.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 高数素材}/微分中值定理部分题目汇总.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 高数素材}/拐点是一个点.md (100%) rename 素材/整合素材/{ => 高数素材}/洛必达法则-注意事项.md (100%) rename 素材/{整合素材 => }/谏学高数者十思疏.md (100%) diff --git a/素材/整合素材/1.11题目素材.md b/素材/整合素材/线代素材/1.11题目素材.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/1.11题目素材.md rename to 素材/整合素材/线代素材/1.11题目素材.md diff --git a/素材/整合素材/一个计算题的解答.md b/素材/整合素材/线代素材/一个计算题的解答.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/一个计算题的解答.md rename to 素材/整合素材/线代素材/一个计算题的解答.md diff --git a/素材/整合素材/一些有趣的线代题目.md b/素材/整合素材/线代素材/一些有趣的线代题目.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/一些有趣的线代题目.md rename to 素材/整合素材/线代素材/一些有趣的线代题目.md diff --git a/素材/整合素材/二次型.md b/素材/整合素材/线代素材/二次型.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/二次型.md rename to 素材/整合素材/线代素材/二次型.md diff --git a/素材/整合素材/二次型与合同题目.md b/素材/整合素材/线代素材/二次型与合同题目.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/二次型与合同题目.md rename to 素材/整合素材/线代素材/二次型与合同题目.md diff --git a/素材/整合素材/向量空间与线性空间.md b/素材/整合素材/线代素材/向量空间与线性空间.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/向量空间与线性空间.md rename to 素材/整合素材/线代素材/向量空间与线性空间.md diff --git a/素材/整合素材/正交及二次型.md b/素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/正交及二次型.md rename to 素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md diff --git a/素材/整合素材/正交矩阵和施密特正交化法.md b/素材/整合素材/线代素材/正交矩阵和施密特正交化法.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/正交矩阵和施密特正交化法.md rename to 素材/整合素材/线代素材/正交矩阵和施密特正交化法.md diff --git a/素材/整合素材/特征值.md b/素材/整合素材/线代素材/特征值.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/特征值.md rename to 素材/整合素材/线代素材/特征值.md diff --git a/素材/整合素材/特征值与相似对角化.md b/素材/整合素材/线代素材/特征值与相似对角化.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/特征值与相似对角化.md rename to 素材/整合素材/线代素材/特征值与相似对角化.md diff --git a/素材/整合素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md b/素材/整合素材/线代素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md rename to 素材/整合素材/线代素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md diff --git a/素材/整合素材/相似对角化.md b/素材/整合素材/线代素材/相似对角化.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/相似对角化.md rename to 素材/整合素材/线代素材/相似对角化.md diff --git a/素材/整合素材/相似对角化的基础题目.md b/素材/整合素材/线代素材/相似对角化的基础题目.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/相似对角化的基础题目.md rename to 素材/整合素材/线代素材/相似对角化的基础题目.md diff --git a/素材/整合素材/秩为1矩阵性质.md b/素材/整合素材/线代素材/秩为1矩阵性质.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/秩为1矩阵性质.md rename to 素材/整合素材/线代素材/秩为1矩阵性质.md diff --git a/素材/整合素材/秩的不等式.md b/素材/整合素材/线代素材/秩的不等式.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/秩的不等式.md rename to 素材/整合素材/线代素材/秩的不等式.md diff --git a/素材/整合素材/线性变换与线性空间.md b/素材/整合素材/线代素材/线性变换与线性空间.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/线性变换与线性空间.md rename to 素材/整合素材/线代素材/线性变换与线性空间.md diff --git a/素材/整合素材/证明方阵可交换.md b/素材/整合素材/线代素材/证明方阵可交换.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/证明方阵可交换.md rename to 素材/整合素材/线代素材/证明方阵可交换.md diff --git a/素材/整合素材/证明相似的一种新的思路.md b/素材/整合素材/线代素材/证明相似的一种新的思路.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/证明相似的一种新的思路.md rename to 素材/整合素材/线代素材/证明相似的一种新的思路.md diff --git a/素材/整合素材/不定积分.md b/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/不定积分.md rename to 素材/整合素材/高数素材/不定积分.md diff --git a/素材/整合素材/微分中值定理部分题目汇总.md b/素材/整合素材/高数素材/微分中值定理部分题目汇总.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/微分中值定理部分题目汇总.md rename to 素材/整合素材/高数素材/微分中值定理部分题目汇总.md diff --git a/素材/整合素材/拐点是一个点.md b/素材/整合素材/高数素材/拐点是一个点.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/拐点是一个点.md rename to 素材/整合素材/高数素材/拐点是一个点.md diff --git a/素材/整合素材/洛必达法则-注意事项.md b/素材/整合素材/高数素材/洛必达法则-注意事项.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/洛必达法则-注意事项.md rename to 素材/整合素材/高数素材/洛必达法则-注意事项.md diff --git a/素材/整合素材/谏学高数者十思疏.md b/素材/谏学高数者十思疏.md similarity index 100% rename from 素材/整合素材/谏学高数者十思疏.md rename to 素材/谏学高数者十思疏.md From 63038a27d486249b38b6eb9a4cb7c98e74010106 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Fri, 23 Jan 2026 12:34:05 +0800 Subject: [PATCH 3/3] =?UTF-8?q?=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E5=8F=8A=E4=BA=8C?= =?UTF-8?q?=E6=AC=A1=E5=9E=8B?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../整合素材/二次型与合同题目.md | 17 +- 素材/整合素材/正交及二次型.md | 205 +++++++++++++++++- 2 files changed, 209 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/素材/整合素材/二次型与合同题目.md b/素材/整合素材/二次型与合同题目.md index fc07422..774fd0d 100644 --- a/素材/整合素材/二次型与合同题目.md +++ b/素材/整合素材/二次型与合同题目.md @@ -10,6 +10,21 @@ >2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵； >3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。 +>[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题 +>设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$ 通过正交变换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 可化为标准形，求所用的正交变换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 及对应的标准形. + +>[!note]- 解： +> 二次型的矩阵为 $A=\begin{bmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{bmatrix}$ +> 其特征多项式为 $|\lambda E-A|=\begin{bmatrix}\lambda-2&-1&1\\-1&\lambda-2&1\\1&1&\lambda-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-1&-1&1\\1-\lambda&\lambda-2&1\\0&1&\lambda-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-1&-1&1\\0&\lambda-3&2\\0&1&\lambda-2\end{bmatrix}$ +> 即为 $(\lambda-1)^2(\lambda-4)$ +> 故 $A$ 的特征值为 $1,1,4$ +> 当 $\lambda=1$ 时，解方程 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对方程组的系数矩阵进行初等行变换：$E-A=\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ +> 得特征向量 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}$. +> 当 $\lambda=4$ 时，解方程组 $(4E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对方程组的系数矩阵进行初等行变换：$4E-A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}$ +> 得特征向量 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}$ +> 令 $P_0=\begin{bmatrix}-1&1&-1\\1&1&-1\\0&2&1\end{bmatrix}$，对 $P_0$ 作正交化得 $P$，$P=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$ +> 对应的标准形矩阵 $\Lambda=\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&4\end{bmatrix}$，标准形为 $y_1^2+y_2^2+4y_3^2$ + 但以上方法均是针对已知二次型的，如果题目给的二次型是一个抽象的，就需要更加灵活地运用不同的方法。 >[!example] 例题 @@ -32,7 +47,7 @@ >[!example] 例题 >把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准型。 ->[!example] 解： +>[!note] 解： >$\displaystyle f=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^3+95{x_3}^2$，令 $\displaystyle y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+2x_3,y_3=x_3$，得 $\displaystyle f={y_1}^2+{y_2}^2+95{y_3}^2$ **题后总结：** 配方法主要要注意，第一次配要把 $\color{orange}x_1$ 配干净，即在括号外面没有含 $x_1$ 的项，第二次就是 $x_2$，以此类推。 diff --git a/素材/整合素材/正交及二次型.md b/素材/整合素材/正交及二次型.md index 2ee2d17..3c83637 100644 --- a/素材/整合素材/正交及二次型.md +++ b/素材/整合素材/正交及二次型.md @@ -131,10 +131,24 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2 >满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$ # Section 2 实对称矩阵的正交变换与二次型 -## 实对称矩阵在相似变换时的特殊性 ## 正交变换及合同 +>[!danger] 待整合 +>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等 +>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$ 数都相同）且本身也是**实对称矩阵**. +>即：如果 $A$ 与 $B$ 合同，且 $A$ 是实对称矩阵，则 $B$ 也是实对称矩阵。 +>证明：$B=P^\mathrm TAP \Rightarrow B^\mathrm T=(P^\mathrm TAP)^\mathrm T=P^\mathrm TA^\mathrm TP=P^\mathrm TAP$，即 $B^\mathrm T=B$ + +>[!example] 例题 +>已知三阶实对称矩阵 $A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $A$ 相似但不合同的是 +>A. $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\qquad$ B. $\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\qquad$ C. $\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}\qquad$ D. $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ + +>[!note] 解析 +>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等 +>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$数都相同）且本身也是**实对称矩阵** +> $C$ 选项的特征值与 $A$ 相同，然而, $C$ 选项的矩阵不是对称矩阵 + ## 二次型 二次型，顾名思义，就是二次函数，只不过是 $n$ 元函数，当元数比较小时，我们可以清楚地画出它的图像，判断其几何形状，推得相应对的性质，然而一旦维度升高，我们是无法想象其空间几何构型的，只能从代数的角度了解其性质。因此引入二次型矩阵的概念，通过描述矩阵性质，进而得出函数的性质。 @@ -182,20 +196,187 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2 **特点**：标准型系数为 $A$ 的特征值，具有唯一性（不计顺序）；正交变换保持向量长度、夹角不变，几何意义明确（如旋转、反射变换）；但计算量较大，需求解特征值和特征向量。 #### 方法间核心区别与关联 -**区别**：1. 本质不同：正交变换法是特殊的合同变换（$Q$ 为正交矩阵，$Q^T=Q^{-1}$），配方法、合同变换法是一般合同变换；2. 标准型系数：正交变换法系数为特征值（唯一，不计顺序），其余两种方法系数任意；3. 几何意义：仅正交变换保度量，其余两种无几何约束；4. 计算复杂度：配方法最简，正交变换法最繁。 +**区别**：见下表 + +|方法|配方法|合同变换法|正交变换法| +|:---:|:----:|:----:|:----------------:| +| 本质 | 一般合同变换 | 一般合同变换 | 正交合同变换，变换矩阵为正交矩阵 | +| 标准型系数 | 仅保持惯性 | 仅保持惯性 | 特征值 | +| 计算复杂度 | 低 | 中 | 高 | +| 几何意义 | 无几何约束 | 无几何约束 | 保持几何度量（变换后图形形状不改变） | +>[!faq] 思考 +>正交变换法的“保持几何度量”如何反映在代数方面？ + **关联**：所有方法均基于可逆线性代换，本质都是矩阵的合同对角化；无论哪种方法得到的标准型，其正、负惯性指数均由惯性定理保证恒定，最终都可通过进一步代换化为唯一的规范型。 +#### 考察方向 +>[!summary] 二次型的题目有以下几种基本考点： +>1. 求标准型（规范型）； +>2. 求把二次型变为标准型的正交变换矩阵； +>3. 求一定条件下二次型函数的最值； +>4. 正定性。 + +>[!summary] 最基本的方法： +>1. 求特征值和特征向量； +>2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵； +>3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。 +##### 求标准形 +1. 已知二次型（直接求） +>[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题 +>设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$ 通过正交变换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 可化为标准形，求所用的正交变换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 及对应的标准形. + +>[!note] 解： +> 二次型的矩阵为 $A=\begin{bmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{bmatrix}$ +> 其特征多项式为 $|\lambda E-A|=\begin{bmatrix}\lambda-2&-1&1\\-1&\lambda-2&1\\1&1&\lambda-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-1&-1&1\\1-\lambda&\lambda-2&1\\0&1&\lambda-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-1&-1&1\\0&\lambda-3&2\\0&1&\lambda-2\end{bmatrix}$ +> 即为 $(\lambda-1)^2(\lambda-4)$ +> 故 $A$ 的特征值为 $1,1,4$ +> 当 $\lambda=1$ 时，解方程 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对方程组的系数矩阵进行初等行变换：$E-A=\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ +> 得特征向量 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}$. +> 当 $\lambda=4$ 时，解方程组 $(4E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对方程组的系数矩阵进行初等行变换：$4E-A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}$ +> 得特征向量 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}$ +> 令 $P_0=\begin{bmatrix}-1&1&-1\\1&1&-1\\0&2&1\end{bmatrix}$，对 $P_0$ 作正交化得 $P$，$P=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$ +> 对应的标准形矩阵 $\Lambda=\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&4\end{bmatrix}$，标准形为 $y_1^2+y_2^2+4y_3^2$ + +2. 含参数的二次型 + 通常而言，这种二次型需要根据提供的额外信息，并结合相关性质（e.g. 特征值和与积的相关性质）求出未知参数，然后按照已知二次型的求法来求解。 +>[!example] 例题 +>设二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2bx_1x_3,(b>0),$ 其中二次型的矩阵特征值之和为 $1$，之积为 $-12$. 求正交变换将二次型化为标准型. ->[!danger] 待整合 ->与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等 ->合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$ 数都相同）且本身也是**实对称矩阵**. ->即：如果 $A$ 与 $B$ 合同，且 $A$ 是实对称矩阵，则 $B$ 也是实对称矩阵。 ->证明：$B=P^\mathrm TAP \Rightarrow B^\mathrm T=(P^\mathrm TAP)^\mathrm T=P^\mathrm TA^\mathrm TP=P^\mathrm TAP$，即 $B^\mathrm T=B$ +>[!note] 解： +>二次型的矩阵为 $\displaystyle \boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&b\\0&2&0\\b&0&-2\end{bmatrix}$，设其特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, 则有$$\begin{aligned}\lambda_1\lambda_2\lambda_3=|\boldsymbol A|=2(-2a&-b^2)=-12,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=a+2-2=1\\&\implies a=1,b=2.\end{aligned}$$从而有$\displaystyle|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=(\lambda-2)^2(\lambda-3)=0\implies \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=-3.$ +>考虑 $\lambda=2$，则 $\displaystyle 2\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 于是特征值 $2$ 的几何重数为 $2$, 对应的线性无关的特征向量可以为 $\displaystyle\xi_1=(2,0,1)^T,\xi_2=(0,1,0)^T$. +>考虑 $\lambda=-3$，则 $\displaystyle -3\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}-4&0&-2\\0&-5&0\\-2&0&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}2&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，则特征值 $-3$ 几何重数为 $1$, 对应的特征向量为 $\xi_3=(-1,0,2)^T$. +>对上述三个特征向量正交化得 $\varepsilon_1=(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{1}{\sqrt{5}})^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(-\frac{1}{\sqrt{5}},0,\frac{2}{\sqrt{5}})^T$，故正交变换为 $\boldsymbol C=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&0&\frac{1}{\sqrt{5}}\\0&1&0\\-\frac{1}{\sqrt{5}}&0&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{bmatrix},$ 标准型为 $\displaystyle f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$ >[!example] 例题 ->已知三阶实对称矩阵 $A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $A$ 相似但不合同的是 ->A. $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\qquad$ B. $\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\qquad$ C. $\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}\qquad$ D. $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ +>已知二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_3$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 化为 $\displaystyle y_1^2+y_2^2$. +>（1）求 $a$ 的值及可逆矩阵 $\boldsymbol P$； +>（2）当 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T$ 且 $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ 时，求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的最大值，并求满足 $x_1=x_2>0$ 的最大值点. + +>[!note] 解： +>（1）由题意知 $f$ 的正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$. 二次型的矩阵为 $\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&a\end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol A$ 有特征值 $0$，所以 $|\boldsymbol A|=0\implies2(a-1)=0\implies a=1$, 故 $\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}.$ +>考虑特征多项式 $|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=\lambda(\lambda-2)^2=0 \implies \lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=2.$ +>$\lambda=0$ 时，$-\boldsymbol A\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 取 $\eta_1=(1,0,-1)^T$； +>$\lambda=2$ 时，$2\boldsymbol E-\boldsymbol A\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 取 $\eta_2=(1,0,1)^T,\eta_3=(0,1,0)^T$. +>取 $\boldsymbol P_1=\begin{bmatrix}\eta_3\ \eta_2\ \eta_1\end{bmatrix}$, 则有 $\boldsymbol P_1^T\boldsymbol A\boldsymbol P_1=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{bmatrix},$ 再取 $\boldsymbol P_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}$, 有$\boldsymbol P_2^T\boldsymbol P_1^T\boldsymbol A\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2=(\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2)^T\boldsymbol A(\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 所以 $\boldsymbol P=\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2=\begin{bmatrix}0&\frac{1}{\sqrt{2}}&1\\\frac{1}{\sqrt{2}}&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-1\end{bmatrix}$. +>（2）由 $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ 知 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$. 由（1）知，存在正交变换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol z$，使得 $\displaystyle f\overset{\boldsymbol x=C\boldsymbol z}{=}2(z_1^2+z_2^2)$. 由于正交变换不改变向量长度，有 $z_1^2+z_2^2+z_3^2=1\Rightarrow z_1^2+z_2^2=1-z_3^2$, 带入得 $$f=2(1-z_3^2)\le2, \text{等号当且仅当} z_3=0 \text{时取得.}$$ +>由（1），可取正交矩阵 $\displaystyle C=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 & 1 & 0 \\\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$，则 $\displaystyle \boldsymbol x=\begin{bmatrix}\frac{z_1}{\sqrt{2}} \\ z_2 \\ \frac{z_1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$. 当 $x_1=x_2$ 时， $\displaystyle z_1=\sqrt 2z_2=\frac{\sqrt 6}{3}\Rightarrow x_1=x_2=x_3=\frac{1}{\sqrt 3}$. 故 当$\boldsymbol x=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} \\[4pt]\frac{1}{\sqrt{3}} \\[4pt]\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$ 时，$f_{\max}=2.$ + +>[!attention] 注意！ +>经可逆线性变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 得到的标准形只能保持惯性不变，只能反映特征值的正负，其系数不等于特征值！在做题时一定要看清楚是**可逆线性变换**还是**正交变换**！ + +>[!attention] 注意！ +>变换矩阵中列向量排列的顺序要和对角矩阵中元素的顺序保持一致！ + +上面的那道题用到了正交变换几何形状不变的优良特性，当 $||\boldsymbol x||=1$ 时，正交变换得到的 $\boldsymbol z$ 也满足 $||\boldsymbol z||=1$，因为不改变向量长度。 +类似的题目还有： +>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题 +>已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 2ax_{2}x_{3} \quad (a\geq 0)$ 通过正交变换$\pmb {x} = Q\pmb{y}$ 可化为标准形$y_{1}^{2} - 2y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2}$。 +>(1) 求 $a$ 的值及正交矩阵 ${Q}$。 +>(2) 当 $\| \boldsymbol {x}\| = 2$ 时，求解一个向量 $\pmb{x}$ 使得 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ 取最大值。 >[!note] 解析 ->与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等 ->合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$数都相同）且本身也是**实对称矩阵** -> $C$ 选项的特征值与 $A$ 相同，然而, $C$ 选项的矩阵不是对称矩阵 +>(1) 由已知条件得 $A=\begin{bmatrix}2&-2&0\\2&1&a\\0&a&0\end{bmatrix}$ 的三个特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=4$， +>又由 $|A|=\begin{vmatrix}2&-2&0\\-2&1&a\\0&a&0\end{vmatrix}=-2a^2=-8$ 且 $a\ge0$ 得 $a=2$，故 $A=\begin{bmatrix}2&-2&0\\-2&1&2\\0&2&0\end{bmatrix}$， +>将 $\lambda_1=1$ 代入 $(\lambda E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 并求解得 +>$E-A=\begin{bmatrix}-1&2&0\\2&0&-2\\0&-2&1\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-\frac{1}{2}\\0&0&0\end{bmatrix}$ +>故对应 $\lambda_1=1$ 的特征向量为 $\xi_1=(2,1,2)^\mathrm T$； +>将 $\lambda_2=-2$ 代入 $(\lambda E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 并求解得 +>$-2E-A=\begin{bmatrix}-4&2&0\\2&-3&-2\\0&-2&-2\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}$ +>故对应 $\lambda_2=-2$ 的特征向量为 $\xi_2=(-1,-2,2)^\mathrm T$； +>将 $\lambda_3=4$ 代入 $(\lambda E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 并求解得 +>$4E-A=\begin{bmatrix}2&2&0\\2&3&-2\\0&-2&4\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-2\\0&0&0\end{bmatrix}$ +>故对应 $\lambda_2=-2$ 的特征向量为 $\xi_3=(-2,2,1)^\mathrm T$； +>故 $Q_0=\begin{bmatrix}\xi_1&\xi_2&\xi_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1&-2\\1&-2&2\\2&2&1\end{bmatrix}$ +>单位化得 $Q=\dfrac{1}{3}Q_0=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}2&-1&-2\\1&-2&2\\2&2&1\end{bmatrix}$ +>(2) $\|\boldsymbol x\| = 2\to\|\boldsymbol y\| = 2$ +>又 $f(x_1,x_2,x_3)=y_{1}^{2} - 2y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2}$， +>则当 $\boldsymbol y=(0,0,2)^\mathrm T$ 时，$f(x_1,x_2,x_3)=16$ 取得最大值，此时 $\boldsymbol x=Q\boldsymbol y=-\frac{2}{3}(-2,2,1)^\mathrm T$. + +>[!done] 思考题结论 +>“保持几何度量”体现在代数中最直观常用的就是变换后向量长度不变。 +>>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ $\|\boldsymbol x\|$ + +配方法化标准形考察较少，此方法熟悉即可： +>[!example] 例题 +>把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准形。 + +>[!note] 解： +>$\displaystyle f=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^3+95{x_3}^2$，令 $\displaystyle y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+2x_3,y_3=x_3$，得 $\displaystyle f={y_1}^2+{y_2}^2+95{y_3}^2$. +>注：配方法主要要注意，第一次配要把$x_1$ 配干净，即在括号外面没有含 $x_1$ 的项，第二次就是 $x_2$，以此类推。 + +但上文提到的均是针对已知二次型的，如果题目给的二次型是一个抽象的，就需要更加灵活地运用不同的方法。 +##### 抽象二次型 + +>[!example] 例题 +>证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A,\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$ ，$\boldsymbol A$ 的秩等于 $1$,则 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy}$ 作用下可得到标准型 $6y_1^2$. + +>[!note] 证明： +>$\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$，即 $\boldsymbol A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\6\\6\end{bmatrix}=6\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，于是 $6$ 是矩阵 $\boldsymbol A$ 对应向量 $\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ 的特征值，其代数重数至少为 $1$。 +>又 $\boldsymbol A$ 的秩为 $1$，所以齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol 0$ 解空间的维数是 $2$，故 $0$ 也是矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值，几何重数为 $2$，代数重数也至少为 $2$。由上可知，矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $6,0,0$，故二次型 $f$ 可以由正交变换得到标准型 $6y_1^2$. + +>[!done] 总结 +> 这道题的关键就在于怎么理解 “$\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$” ，如果能正确地翻译这个条件，那这道题就迎刃而解了。至于怎么想到这一点，我可以提供一个思路：对矩阵 $\boldsymbol A$ 右乘一个向量，可以理解为是对 $\boldsymbol A$ 的列向量组进行线性组合；而题目中说各行元素之和为 $6$，这就是说把矩阵的三个列向量加在一起等于 $\begin{bmatrix}6\\6\\6\end{bmatrix}$，这样就能很顺利地解决这道题目了。 + +有的时候，是题目给我们一个正交变换，求原矩阵： +>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题 +>已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $3y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}$ ,且 $\boldsymbol{P}$ 的第3列为 $\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,求 $\boldsymbol{A}$ + +>[!note] 解析 +>由题意可知 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=3,\lambda_3=0$，且 $A$ 对应于特征值 +>$\lambda_3=0$ 的 1 个特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$. +>设 $A$ 对应于特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}$，则 $\boldsymbol{\alpha}$与$\boldsymbol{\alpha}_3$ 正交，即满足方程组 $z_1+z_2+z_3=0$，求得该方程组的一个基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}$. +>令 $\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]=\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&1&1\\0&-2&1\end{bmatrix}$，则有 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{bmatrix}$. +>从而$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol{Q}^{-1}=\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&1&1\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\\\\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{bmatrix}$$ + +##### 其他类型 +>[!example] 例题 +>已知实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol x^T \boldsymbol A \boldsymbol x$ 在可逆线性变换 $\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ y_3\end{bmatrix}$ 的作用下得到标准型 $\displaystyle 4y_1^2-\frac{1}{2}y_2^2$，则二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在可逆线性变换 $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}$ 的作用下可以得到标准型$\underline{\qquad}$. + +>[!note] 解： +>记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T,\boldsymbol C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}$， +>解法一： $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$ + + + +##### 正定性 +通常而言，我们目前能接触到的正定性相关题目需要从正定性的定义出发 + +正定/负定的定义及相关的反映 +对于对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$： + +| 正定性 | 定义 | 二次型 | 特征值（惯性） | +| :-: | :---------------------------------------------------------------------------------: | :----: | :-----: | +| 正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx>0$ | 恒大于零 | 全正 | +| 半正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx\ge0$ | 恒大于等于零 | 全非负 | +| 半负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx\le0$ | 恒小于等于零 | 全非正 | +| 负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx<0$ | 恒小于零 | 全负 | +| 不定 | 上述都不满足 | 不定 | 有正有负 | +在正定性的判别中，还有顺序主子式判别法.....%%TODO: COMPLETE THIS%% + + +>[!example] 例题 +>证明：已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值全大于 $0$, $\boldsymbol B$ 为 $n$ 半正定矩阵，则对任意 $k>0,l\ge0$，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定. + +>[!note] 证明： +>由题意，$\boldsymbol A$ 正定，于是 $\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x>0,\boldsymbol x\neq\boldsymbol 0$；$\boldsymbol B$ 正定，于是 $\boldsymbol x^T\boldsymbol B\boldsymbol x\ge0,\boldsymbol x\neq\boldsymbol 0$. 则 $\boldsymbol x^T(k\boldsymbol A+l\boldsymbol B)\boldsymbol x=k\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x+l\boldsymbol x^T\boldsymbol B\boldsymbol x>0$，于是由定义，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定. + +>[!example] 例题 +>已知 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 为正定矩阵， $n$ 阶实矩阵 $B$ 使得 $A-B^\text{T}AB$ 也为正定矩阵，证明 $B$ 的特征值 $\lambda$ 满足关系式 $|\lambda|<1$. + +>[!note] 证明： +>由于 $A$ 为正定矩阵，所以对任意 $\boldsymbol x\neq\boldsymbol 0,$ 有 $\boldsymbol x^\text{T}A\boldsymbol x>0.$ +>考虑矩阵 $B$ 对应特征值 $\lambda$ 的特征向量 $\boldsymbol p\neq\boldsymbol 0$, 则由特征值的定义知 $B\boldsymbol p=\lambda\boldsymbol p$. 由正定性可知 $$\begin{aligned}\boldsymbol p^\text{T}(A-B^\text{T}AB)\boldsymbol p&=\boldsymbol p^\text{T}A\boldsymbol p-\boldsymbol p^\text{T}B^\text{T}AB\boldsymbol p\\&=\boldsymbol p^\text{T}A\boldsymbol p-(B\boldsymbol p)^\text{T}A(B\boldsymbol p)\\&=(1-\lambda^2)\boldsymbol p^\text{T}A\boldsymbol p>0\end{aligned}.$$于是 $1-\lambda^2>0$，即 $|\lambda|<1$. + +也有不少题需要用到正定性的性质，需要多加注意： +>[!example] 例题 +>证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A, |\boldsymbol A|<0,$ 则必存在非零向量 $\displaystyle\boldsymbol c=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$，使得 $\displaystyle f(c_1,c_2,c_3,c_4)=0$. + +>[!note] 证明： +>设 $\displaystyle \boldsymbol A$ 的特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$,则有 $|\boldsymbol A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4<0$，故四个特征值中有奇数个负数，故必定有正有负，从而二次型 $f$ 是不定的，故存在非零向量 $\displaystyle\boldsymbol c=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$，使得 $\displaystyle f(c_1,c_2,c_3,c_4)=0$. + +>[!example] 例题 +>$t$ 为何值时，二次型 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+3tx_4^2+tx_1x_2+2tx_3x_4$ 是正定的？ + +>[!note] 解： +>二次型对应的矩阵为 $A=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{t}{2} & 0 & 0 \\[6pt]\dfrac{t}{2} & 1 & 0 & 0 \\[6pt]0 & 0 & 1 & t \\[6pt]0 & 0 & t & 3t\end{bmatrix}.$ 由于二次型是正定的，故其矩阵的顺序主子式均大于零，所以$$\begin{vmatrix} 1 & \dfrac{t}{2} \\ \dfrac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \dfrac{t^2}{4}>0,\begin{vmatrix}1 & \dfrac{t}{2} & 0 \\\dfrac{t}{2} & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=1-\dfrac{t^2}{4}>0,$$ +>$$|A|=\begin{vmatrix}1 & \dfrac{t}{2} & 0 & 0 \\[6pt]\dfrac{t}{2} & 1 & 0 & 0 \\[6pt]0 & 0 & 1 & t \\[6pt]0 & 0 & t & 3t\end{vmatrix}=(1 - \dfrac{t^2}{4})(3t-t^2)>0,$$故 $0