From 8136d97a58a9afe55a2bcd8ec32b1cce781b310b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 17:15:32 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-13 17:15:31 --- .../1.14线代测试答案.md | 223 ------------------ .../1.14线代限时练.md | 66 ------ 2 files changed, 289 deletions(-) delete mode 100644 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md delete mode 100644 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md deleted file mode 100644 index 189ee67..0000000 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md +++ /dev/null @@ -1,223 +0,0 @@ -# **1.14 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）** - -## **第一部分：题目** - -### **1.** - -已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ - -### **2.（2013 秋 A）** - -$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$ - -### **3.（2018 秋 A）** - -$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ - -### **4.（2018 秋 A）** - -$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$ -### **5.（2018 秋 A）** - -$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$ - -### **6.（2022 秋 A・5）** - -$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$ - -### **7.（2022 秋 A）** - -$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$ - -$$\begin{aligned} -A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3 -\end{aligned} -$$ -(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$； - -(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。 - -### **8.（2013 秋 A）** - -$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$ - -### **9.（2013 秋 A・三）** - -设 n 阶行列式： - -$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$ - -证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。 - -## **第二部分：答案与解析** - -### 1. 答案：$\boxed{4c}$ - -#### **解析：** - -$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ -由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 - -利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 - -此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 - -### **2. 答案：$\boxed{2}$ - -#### **解析：** - -将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式： - -$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$ - -设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关： - -若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。 - -向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。 - -### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$ - -#### **解析：** - -设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 - -• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 - -• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 - -$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 - -### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$** - -#### **解析：** - -记$A_i$为$A$中除了第$i$行全都改为$0$的矩阵，$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$。那么$$A_i\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & &\vdots\\a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\\vdots & \vdots & &\vdots\\0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$则$$(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)^2=(A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x}$$将二次型用上式展开得： - -$$\begin{aligned} -f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x})\\ -&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i)\boldsymbol{x}\\ -&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i)\boldsymbol{x}\\ -&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x} -\end{aligned}$$ -其中因为$A_i^TA_j=\boldsymbol{0},$如果$i\neq j$，所以 -$$\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i$$ - -• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 - -### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）** - -#### **解析：** - -实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。 - -• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。 - -• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。 - -• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。 - -### **6. 答案：$\boxed{9}$** - -#### **解析：** - -设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： - -$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ - -• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 - -• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 - -### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$** - -#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关** - -因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。 - -由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法： - -$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$ - -其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$： - -$$\begin{aligned} -|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\ -&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\ -&=-25\neq0 -\end{aligned} -$$ - -• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。 - -• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。 - -#### **(2) 计算 $|E-A|$** - -由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。 - -计算 $E-C$： - -$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$ - -按第三行展开计算行列式： - -$$ -\begin{aligned} -|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\ -&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\ -&=2+18=20 -\end{aligned} -$$ - -故 $|E-A|=20$。 - -### **8. 答案：** - -$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix} -$$ -#### **解析：** - -通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导： - -• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律： - -◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$； - -◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。 - -• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。 - -### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$** - - **步骤 1：建立递推公式** - -对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）： - -$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$ - -• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）； - -• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。 - -因此递推公式为： - -$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$ - - **步骤 2：确定初始条件** - -• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$； - -• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。 -容易证明$n=1,n=2$时满足要证的式子 - -**步骤3：运用数学归纳法** -假设当$n\le k$时，有$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。当$n=k+1$时，有$$ -\begin{aligned} -D_{k+1}&=D_k+D_{k-1}\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+2}) -\end{aligned} -$$满足条件，故由数学归纳法知，$\forall{n}\in\mathbb{N}_+,D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$. \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md deleted file mode 100644 index 111f58e..0000000 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md +++ /dev/null @@ -1,66 +0,0 @@ -1. （[[线代2022秋B]]·1）已知 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = c$ ，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3} A_{ij} = 3c$ ，则 $\begin{vmatrix}a_{11}+1 & a_{12}+1 & a_{13}+1 \\a_{21}+1 & a_{22}+1 & a_{23}+1 \\a_{31}+1 & a_{32}+1 & a_{33}+1\end{vmatrix} =$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. - -2. （[[线代2013秋A]]·4）已知向量空间 $V=\{(2a,2b,3b,3a)|a,b\in\mathbb{R}\}$，则 $V$ 的维数是\_\_\_\_\_. - -3. （[[线代2019秋A]]·9）设 $\boldsymbol{E}$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\boldsymbol\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol E - \boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_\_. - -4. （[[线代2018秋A]]·12）设 $n$ 阶矩阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为\_\_\_\_\_\_\_. - -5. （[[线代2018秋A]]·11）若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i\ (i=1,2,\cdots,n)$，则 $\boldsymbol A^{100}=$ \_\_\_\_\_\_\_. - -6. ([[线代2022秋A]]·5）已知 $n(n\ge2)$ 维列向量 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta$ 满足 $\boldsymbol\beta^\mathrm{T}\boldsymbol\alpha=-3$，则方阵 $(\boldsymbol{\beta\alpha}^\mathrm{T})^2$ 的非零特征值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. - -7. （[[线代2022秋A]]·七）已知向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关，其中 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol A$ 为 $3$ 阶方阵，且 -$$\boldsymbol{A\alpha_1}=2\boldsymbol\alpha_1-\boldsymbol\alpha_2-\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+3\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+4\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3.$$ -(1) 证明 $A\boldsymbol\alpha_1, A\boldsymbol\alpha_2, A\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关； -(2) 计算行列式 $\boldsymbol E-\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol E$ 是 $3$ 阶单位矩阵. -```text - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -``` - -8. （[[线代2013秋A]]）求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & 1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}$ 的逆。 -```text - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -``` - -9. （[[线代2013秋A]]·三）设 - $$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]$ . \ No newline at end of file