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@ -49,16 +49,16 @@ $$称矩阵 $\boldsymbol{K}$ 为基 $T_1$ 到基 $T_2$ 的**过渡矩阵**.由
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既然我们已经学了这么多的知识了，那不妨来做几道题试试吧！
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>[!example] 例题1
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>设$V=\{(x_1,x_2,x_3)^T|x_1+x_2+x_3=0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$，证明$V$是一个向量空间，并求出它的一组基.
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>设$V=\{(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T}|x_1+x_2+x_3=0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$，证明$V$是一个向量空间，并求出它的一组基.
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>[!note] **证明：**
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对任意$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V, k\in\mathbb{R}$，记$(1,1,1)=\boldsymbol{\alpha}$，则有$\boldsymbol\alpha\boldsymbol x=\boldsymbol\alpha\boldsymbol y=0,\boldsymbol\alpha(\boldsymbol x+\boldsymbol y)=0$,故$\boldsymbol x+\boldsymbol y,k\boldsymbol x\in V$，即$V$是向量空间.显然$V$中的所有元素就是方程$x_1+x_2+x_3=0$的所有解，而方程的通解为$$\boldsymbol x=k_1\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},k_1,k_2\in\mathbb R,$$故$V$的基为$\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}.$
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>[!example] 例题2
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>已知$\mathbb{R}^2$的两组基$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$和$\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2$.求一个非零向量$\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^2$，使得$\boldsymbol\beta$在两组基下有相同的坐标，其中$\boldsymbol\alpha_1=(2,-1)^T,\boldsymbol\alpha_2=(5,-4)^T;\boldsymbol\varepsilon_1=(1,0)^T,\boldsymbol\varepsilon_2=(0,1)^T.$
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>已知$\mathbb{R}^2$的两组基$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$和$\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2$.求一个非零向量$\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^2$，使得$\boldsymbol\beta$在两组基下有相同的坐标，其中$\boldsymbol\alpha_1=(2,-1)^\mathrm{T},\boldsymbol\alpha_2=(5,-4)^\mathrm{T};\boldsymbol\varepsilon_1=(1,0)^\mathrm{T},\boldsymbol\varepsilon_2=(0,1)^\mathrm{T}.$
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>[!note] **解：**
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>容易得到从后一组基到前一组基的过渡矩阵为$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}2 & 5\\-1 & -4\end{bmatrix},$设$\boldsymbol\beta$在$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$下的坐标为$\boldsymbol y$，则$\boldsymbol y=\boldsymbol C\boldsymbol y\Rightarrow (\boldsymbol C-\boldsymbol E)\boldsymbol y=\boldsymbol 0.$解这个齐次线性方程组得$$\boldsymbol y=k(-5,1)^T,k\in\mathbb{R}.$$
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>容易得到从后一组基到前一组基的过渡矩阵为$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}2 & 5\\-1 & -4\end{bmatrix},$设$\boldsymbol\beta$在$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$下的坐标为$\boldsymbol y$，则$\boldsymbol y=\boldsymbol C\boldsymbol y\Rightarrow (\boldsymbol C-\boldsymbol E)\boldsymbol y=\boldsymbol 0.$解这个齐次线性方程组得$$\boldsymbol y=k(-5,1)^\mathrm{T},k\in\mathbb{R}.$$
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好了，现在回到我们的主题：线性空间。先下定义：
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>[!info] 定义3 $\qquad$线性空间
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@ -240,8 +240,8 @@ A=
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T\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=
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\begin{bmatrix}x+y\\y-z\\z-x\end{bmatrix}.$$
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设 $\mathbb{R}^3$ 的两组基 $$
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\boldsymbol{e}_1=(1,0,0)^T,\;\boldsymbol{e}_2=(0,1,0)^T,\;\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)^T;$$$$
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\boldsymbol{v}_1=(1,-1,1)^T,\;\boldsymbol{v}_2=(2,1,1)^T,\;\boldsymbol{v}_3=(-1,3,1)^T.$$
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\boldsymbol{e}_1=(1,0,0)^\mathrm{T},\;\boldsymbol{e}_2=(0,1,0)^\mathrm{T},\;\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)^\mathrm{T};$$$$
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\boldsymbol{v}_1=(1,-1,1)^\mathrm{T},\;\boldsymbol{v}_2=(2,1,1)^\mathrm{T},\;\boldsymbol{v}_3=(-1,3,1)^\mathrm{T}.$$
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分别求 $T$ 在基 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ 和基 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$ 下的矩阵表示。
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>[!note] **解析**：
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@ -303,17 +303,17 @@ B&=
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>3. 已知 $\mathbb{R}^3$ 中线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵为 $$
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A = \begin{bmatrix} 1&2&-1\\ -1&1&3\\ 1&1&1 \end{bmatrix},$$
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求 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_1$ 下的矩阵。
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>4. 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^T,\;\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,0)^T,\;\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,0)^T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，$T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换，且 $$
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T(\boldsymbol{\alpha}_1)=(1,2,3)^T,\; T(\boldsymbol{\alpha}_2)=(0,1,2)^T,\; T(\boldsymbol{\alpha}_3)=(0,0,1)^T,$$
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>4. 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^\mathrm{T},\;\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,0)^\mathrm{T},\;\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,0)^\mathrm{T}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，$T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换，且 $$
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T(\boldsymbol{\alpha}_1)=(1,2,3)^\mathrm{T},\; T(\boldsymbol{\alpha}_2)=(0,1,2)^\mathrm{T},\; T(\boldsymbol{\alpha}_3)=(0,0,1)^\mathrm{T},$$
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求 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1 , \boldsymbol{\alpha}_2 , \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵。
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>[!note] 习题解答
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>1. 取基向量 $e_1 = x^2 e^x$, $e_2 = x e^x$, $e_3 = e^x$。计算导函数：
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>5. 取基向量 $e_1 = x^2 e^x$, $e_2 = x e^x$, $e_3 = e^x$。计算导函数：
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> - $T(e_1) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = (x^2 + 2x)e^x = 1 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 0 \cdot e_3$,
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> - $T(e_2) = \frac{d}{dx}(x e^x) = (x+1)e^x = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3$,
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> - $T(e_3) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3$。
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> 故 $T$ 在基下的矩阵为 $\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}.$
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>2. 验证 $T$ 是 $V$ 到 $V$ 的线性变换：对任意 $A=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_2&x_3\end{bmatrix}\in V$， $$
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>6. 验证 $T$ 是 $V$ 到 $V$ 的线性变换：对任意 $A=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_2&x_3\end{bmatrix}\in V$， $$
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T(A)=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}x_1 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1+2x_2+x_3\end{bmatrix} \in V.$$
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>计算基的像：
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@ -332,7 +332,7 @@ $T$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的矩阵 $B = P^{-1}AP = PAP$。计算：$$AP = \be
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A = P^{-1}B = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}3&2&1\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}.$$
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验证：$T(\boldsymbol{\alpha}_1) = P \cdot (3,-1,-1)^T = (1,2,3)^T$，正确。
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验证：$T(\boldsymbol{\alpha}_1) = P \cdot (3,-1,-1)^\mathrm{T} = (1,2,3)^\mathrm{T}$，正确。
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故所求矩阵为 ${\begin{bmatrix}3&2&1\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}}.$
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# Section 2 相似矩阵与对角化
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@ -409,40 +409,21 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
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设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_
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>[!note] 解析
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>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）.
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>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）.
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>设 $B=\alpha\alpha^\mathrm{T}$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^\mathrm{T}\alpha=1$）.
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>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^\mathrm{T}\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）.
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>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$.
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>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$. （最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问）
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>[!example] 例题10
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>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$.
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>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^\mathrm{T}\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^\mathrm{T})^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$.
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>[!note] 解析
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>设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
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>$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
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>注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
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>设 $A=\beta\alpha^\mathrm{T}$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
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>$A^2=(\beta\alpha^\mathrm{T})(\beta\alpha^\mathrm{T})=\beta(\alpha^\mathrm{T}\beta)\alpha^\mathrm{T}=(\alpha^\mathrm{T}\beta)A$
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>注意：$\alpha^\mathrm{T}\beta=(\beta^\mathrm{T}\alpha)^\mathrm{T}$（矩阵转置性质），而 $\beta^\mathrm{T}\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^\mathrm{T}\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
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>由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$.
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>[!example] 例题11
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>设 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 均为实数域上的 n 维列向量，其中 m < n ，证明 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关的充要条件$$\begin{vmatrix}
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\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\
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\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m
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\end{vmatrix}
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\neq 0.$$
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>[!note] **证明：**
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设矩阵$B=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \boldsymbol{\beta}_2\cdots\ \boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}$，则$$B^TB=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\
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\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}.$$考虑线性方程组$B^TB\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.下证这两个线性方程组同解.
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（i）若$B\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，则$B^TB\boldsymbol{y}=B^T\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$，故$N(B)\subseteq N(B^TB)$；
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（ii）若$B^TB\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，两边左乘$\boldsymbol{y}^T$得$\boldsymbol y^TB^TB\boldsymbol y=(B\boldsymbol y)^TB\boldsymbol y=<B\boldsymbol y,B \boldsymbol y>=0$，故$B\boldsymbol y=\boldsymbol0$，从而$N(B^TB)\subseteq N(B)$.
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综上，$N(B^TB)=N(B)$，即线性方程组$B^TB\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
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而$|B^TB|\neq0\Leftrightarrow$方程$B^TB\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow B\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关.证毕.
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##### 2. 针对“有理函数”设问
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>[!example] 例题12
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>[!example] 例题11
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>已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为$\underline{\qquad}$.
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>[!note] 解析
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@ -450,14 +431,14 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
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>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式.
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>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$.
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>[!example] 例题13
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>[!example] 例题12
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>设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 2 \\ 2&-1&-2\\2&-2&-1\end{bmatrix}$,$\boldsymbol E$ 是3阶单位矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2$ 全部特征值之和是____
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>[!note] 解析
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>易知 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda =1,1,-5$ ，令 $f(x)=-x^2+2x+1$，
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>$f(\boldsymbol A)$ 的特征值 $\lambda'=f(\lambda)=(1+2\lambda-\lambda^2)=2,2,-34$，则答案为 $2+2-34=-30$
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>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题14
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>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题13
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已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】
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A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似.
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B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似.
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@ -471,7 +452,7 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
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>转置不能作为有理式的一部分！
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##### 3. 针对“本质”设问
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相似大题在设问时，往往回归“特征值”“相似”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质； 小题偶有考察相关基本性质的题.
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>[!example] 例题15
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>[!example] 例题14
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>$n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 有 $n$ 个不同的特征值是 $\boldsymbol A$ 与对角阵相似的 $\qquad\qquad\qquad$【$\qquad$】
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>A.充分必要条件$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$B.充分不必要条件
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>C.必要不充分条件$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$D.既不充分也不必要条件
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@ -491,7 +472,7 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
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所以，“有 $n$ 个不同特征值”不是必要条件。
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综上，$n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同特征值是其可对角化的**充分不必要条件**。
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>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题16
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>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题15
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>设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．
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>[!note] 解析
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@ -507,7 +488,7 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
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> 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
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> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$.
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>[!example] 例题17
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>[!example] 例题16
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>设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2 - 3A + 2E = O$ ，证明 $A$ 可相似对角化。
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>[!note] 解析
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@ -518,7 +499,55 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
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>$\therefore \text{dim}N(A-2E)+\text{dim}N( A - E) = n$
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>即特征值 $2$ 和特征值 $1$ 的几何重数之和为 $n$（或者一个不是特征值而另一个几何重数是 $n$），而代数重数不小于几何重数，所以两个特征值的几何重数与代数重数只能相等，否则两个特征值的代数重数之和就会大于 $n$ ，这是不可能的。于是 $A$ 可相似对角化。
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>[!example] 例题17
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>设 $\boldsymbol A$ 为 $n$ 阶方阵，证明 $\boldsymbol A^2=\boldsymbol A$ 的充分必要条件是 $\text{rank}\boldsymbol A+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n$.
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>[!note] 证明：
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>必要性：若 $\boldsymbol A^2=\boldsymbol A$，则 $\boldsymbol A^2-\boldsymbol A=\boldsymbol A(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=\boldsymbol O$, 由秩的不等式知 $\text{rank}(\boldsymbol A)+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)\le n$, 又有 $\text{rank}(\boldsymbol A)+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)\ge\text{rank}(\boldsymbol A-(\boldsymbol A-\boldsymbol E))=n$, 故 $\text{rank}(\boldsymbol A)+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n.$
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>充分性：若 $\text{rank}\boldsymbol A+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n$，设 $\text{rank}\boldsymbol A=r,\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n-r.$
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>考虑齐次线性方程组 $\boldsymbol A \boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 和 $(\boldsymbol A-\boldsymbol E)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$, 则前一方程组解空间的维数是 $n-r$, 后一方程组解空间的维数是 $r$, 故 $0$ 和 $1$ 是矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值，且几何重数分别为 $r$ 和 $n-r$，从而代数重数也必须分别是 $r$ 和 $n-r$, 否则会导致代数重数之和大于 $n$. 所以 $\boldsymbol A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$，于是存在可逆矩阵 $\boldsymbol P$，使得 $\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P=\begin{bmatrix}\boldsymbol E_r&\\ & \boldsymbol O_{n-r}\end{bmatrix}$.于是 $$\begin{aligned}\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A^2\boldsymbol P=(\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P)^2=&\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol E_r&\\ & \boldsymbol O_{n-r}\end{bmatrix}\right)^2=\begin{bmatrix}\boldsymbol E_r&\\ & \boldsymbol O_{n-r}\end{bmatrix}=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P\\&\implies \boldsymbol A^2=\boldsymbol A\end{aligned}.$$
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##### 4. 矩阵转置自乘及相关的同解问题
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>[!hint] 相关知识点
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>$\mathrm{rank}(A^\mathrm T A)=\mathrm{rank}A$ ， $A^\mathrm T Ax=\boldsymbol0$ 与 $Ax=\boldsymbol0$ 同解. （证明方法可参考例题18）
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>利用这个关键点可以巧妙求解矩阵转置自乘的同解问题.
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>[!example] 例题18
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>设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
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> (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
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> (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.
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>[!note] 解析
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>(1)
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> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间；
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>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$，
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>所以a的解空间包含b的解空间，
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>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$
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>(2)
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>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$
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>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$；
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>等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$
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>又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$
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>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$
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>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证.
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>[!example] 例题19
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>设 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 均为实数域上的 n 维列向量，其中 m < n ，证明 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关的充要条件$$\begin{vmatrix}
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\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\
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\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m
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\end{vmatrix}
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\neq 0$$
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>[!note] **证明：**
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设矩阵$B=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \boldsymbol{\beta}_2\cdots\ \boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}$，则$$B^\mathrm TB=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\
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\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}.$$考虑线性方程组$B^\mathrm{T}B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.下证这两个线性方程组同解.
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（i）若$B\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，则$B^\mathrm{T}B\boldsymbol{y}=B^\mathrm{T}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$，故$N(B)\subseteq N(B^\mathrm{T}B)$；
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（ii）若$B^\mathrm{T}B\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，两边左乘$\boldsymbol{y}^\mathrm{T}$得$\boldsymbol y^\mathrm{T}B^\mathrm{T}B\boldsymbol y=(B\boldsymbol y)^\mathrm{T}B\boldsymbol y=\langle B\boldsymbol y,B \boldsymbol y\rangle=0$，故$B\boldsymbol y=\boldsymbol0$，从而$N(B^\mathrm{T}B)\subseteq N(B)$.
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综上，$N(B^\mathrm{T}B)=N(B)$，即线性方程组$B^\mathrm{T}B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
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而 $|B^\mathrm{T}B|\neq0\Leftrightarrow$方程$B^\mathrm{T}B\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow B\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关.证毕.
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# Trivia
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### 证明方阵可交换
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#### **通用解题框架**：$AB = kA + lB$ 型等式证明 $AB=BA$
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@ -537,7 +566,7 @@ $AB - kA - lB + klE = BA - lB - kA + klE$
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两边消去相同项$-kA - lB + klE$ ，直接得到：
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$AB = BA$
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>[!example] 例题18
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>[!example] 例题20
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>设 $A, B$ 是 3 阶矩阵，$AB = 2A - B$，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个不同特征值。证明：
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(1) $AB = BA$；
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(2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。
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@ -557,7 +586,7 @@ $AB = BA$
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> 与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵
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> 证毕
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>[!example] 例题19
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>[!example] 例题21
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设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
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（1）证明 $A - E$ 可逆；
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（2）证明 $AB = BA$；
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