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@ -54,7 +54,17 @@ $$称矩阵$\boldsymbol{K}$为基$T_1$到基$T_2$的**过渡矩阵**.由推导
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好了，现在回到我们的主题：线性空间。先下定义：
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>[!note] 定义3$\qquad$线性空间
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>设$V$为一非空集合，$\mathbb{F}$为一数域. 对于$V$中任意两个元素定义了“加法”运算，记为“+”；对于数域$\mathbb{F}$中的元素与$V$中元素定义“数乘”运算，记为"$\cdot$"（算式中常省略不写）. 如果满足对任意$\boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma}\in V,k,l\in\mathbb{F}$，有$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V,k\boldsymbol{\alpha}\in V$，且有加法交换律、加法和数乘的结合律、分配律，以及存在零元、负元和数乘单位元$1$，则称$V$关于上述运算构成数域$\mathbb{F}$上的**线性空间**，简记为 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 是线性空间.
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>设$V$为一非空集合，$\mathbb{F}$为一数域. 对于$V$中任意两个元素定义了“加法”运算，记为“+”；对于数域$\mathbb{F}$中的元素与$V$中元素定义“数乘”运算，记为"$\cdot$"（算式中常省略不写）. 如果满足对任意$\boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma}\in V,k,l\in\mathbb{F}$，有$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V,k\boldsymbol{\alpha}\in V$，且有
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>（1）（封闭性）$V$对加法和数乘封闭；
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>（2）（交换律）$x+y=y+x$
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>（3）（加法结合律）$(x+y)+z=x+(y+z)$
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>（4）（零元）存在元素$0\in V$，使得对任意$x\in V$均有$0+x=x$
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>（5）（负元）对任意$x\in V$，存在$y\in V$，使得$x+y=0$
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>（6）（第一分配律）$\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$
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>（7）（第二分配律）$(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$
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>（8）（数乘结合律）$(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)$
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>（9）（数乘单位元）存在$1\in \mathbb{F}$，使得对任意$x\in V$，有$1x=x$，
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>则称$V$关于上述运算构成数域$\mathbb{F}$上的**线性空间**，简记为 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 是线性空间.
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这个定义看上去很复杂，其实是很自然的，这一系列的性质都是我们熟悉的向量空间所具有的，这里只是给它一般化了而已。这里的“加法”和“数乘”只是代表两种运算，并不一定就是我们平常所说的加法和乘法。
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和向量空间类似，我们也可以定义线性子空间、基、维数和坐标等概念，也可以讨论线性空间中的基变换和坐标变换，但这里就不一一赘述了。我们主要关注线性空间的基。
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