@ -29,56 +29,18 @@ $$
y'y'' = 3(y')^2
$$
**参考解答**：
**方法1**：令 $z = y'$，方程化为：
$$
z z'' = 3(z')^2,
$$
再令 $z' = p(z)$，则
$$
z'' = p \frac{dp}{dz},
$$
方程化为：
$$
z p \frac{dp}{dz} = 3p^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{p} dp = \frac{3}{z} dz.
$$
**参考解答**：令 $z = y'$，方程化为：
$$
z \frac{\mathrm dz}{\mathrm dx} = 3z^2,
$$ 化简，分离变量：
$$\frac{\mathrm dz}{z} = 3\ {\mathrm dx} $$
两边积分：
$$\ln |z| = 3x+C_1$$
整理，代换 $z = y'$ 得：
$$y' = C_1 \mathrm e^{3x}$$
积分得：
$$
\ln|p| = 3\ln|z| + \ln|C_1|,
$$
整理得：
$$
z' = C_1 z^3 \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dx} = C_1 z^3 \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{z^3} = C_1 dx,
$$
积分得：
$$
-\frac{1}{2z^2} = C_1 x + C_2 \quad\Rightarrow\quad z = \pm \frac{1}{\sqrt{C_1 x + C_2}} \quad\Rightarrow\quad dy = \pm \frac{1}{\sqrt{C_1 x + C_2}} dx,
$$
再积分得方程通解为：
$$
y = \pm \frac{2\sqrt{C_1 x + C_2}}{C_1} + C_3,
$$
整理得方程通解可化为：
$$
x = C_1 y^2 + C_2 y + C_3.
$$
**方法2**：交换因变量与自变量地位：将
$$
y'(x) = \frac{1}{x'(y)},\quad y''(x) = -\frac{x''(y)}{[x'(y)]^3},\quad y'''(x) = \frac{3[x''(y)]^2 - x'(y)x'''(y)}{[x'(y)]^5},
$$
代入原方程化为：
$$
\frac{1}{x'(y)} \cdot \frac{3[x''(y)]^2 - x'(y)x'''(y)}{[x'(y)]^5} = 0,
$$
即有：
$$
x''(y) = 0 \quad \text{或} \quad x'(y) = 0 \; (\text{包含于第一个等式中}),
$$
对 $x''(y) = 0$ 连续积分得原方程通解为：
$$
x(y) = C_1 y^2 + C_2 y + C_3.
y=\frac{C_1}{3} \mathrm e^{3x}+C_2
$$
---
@ -234,12 +196,9 @@ y_h = (C_1 + C_2 x) e^x.
$$
非齐次项 $f(x) = x e^x$，而 $e^x$ 是齐次解的一部分（且 $x e^x$ 也是齐次解，因为重根），故应设特解形式为
$$
y^* = x^2 (A x + B) e^x = (A x^3 + B x^2) e^x.
$$
为简化计算，通常设 $y^* = x^2 (A x + B) e^x$。计算导数：
$$
y^* = e^x (A x^3 + B x^2),
y^* = x^2 (A x + B) e^x
$$
计算导数：
$$
y'^* = e^x (A x^3 + B x^2) + e^x (3A x^2 + 2B x) = e^x [A x^3 + (B+3A) x^2 + 2B x],
$$
