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素材/正交矩阵和施密特正交化法.md

@@ -22,26 +22,42 @@
 
 
 **解析**
-$$H^TH
-
-\begin{align*}
-H^T &= (E - l\alpha\alpha^T)^T = E - l\alpha\alpha^T \\
-H^TH &= (E - l\alpha\alpha^T)(E - l\alpha\alpha^T) \\
+解题思路
+正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 E 为单位矩阵），则 H 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
+步骤1：写出 $H^T$
+已知 $H = E - l\alpha\alpha^T$，转置得
+$$H^T = (E - l\alpha\alpha^T)^T = E^T - l(\alpha\alpha^T)^T = E - l\alpha\alpha^T$$
+
+（因为 $E^T=E$，且 $(\alpha\alpha^T)^T = \alpha\alpha^T$）
+步骤2：计算 $H^T H$
+$$\begin{align*}
+H^T H &= (E - l\alpha\alpha^T)(E - l\alpha\alpha^T) \\
 &= E \cdot E - E \cdot l\alpha\alpha^T - l\alpha\alpha^T \cdot E + l^2\alpha\alpha^T \cdot \alpha\alpha^T \\
-&= E - 2l\alpha\alpha^T + l^2\alpha(\alpha^T\alpha)\alpha^T \\
-&= E - 2l\alpha\alpha^T + l^2k^2\alpha\alpha^T \\
-&= E + \left(-2l + l^2k^2\right)\alpha\alpha^T
+&= E - 2l\alpha\alpha^T + l^2\alpha(\alpha^T\alpha)\alpha^T
 \end{align*}$$
- 令 $H^TH = E$
-要使 $H^TH = E$，必须满足：
-$$\left(-2l + l^2k^2\right)\alpha\alpha^T = O$$
-若 $\alpha \neq \boldsymbol{0}$（即 $k \neq 0$），则 $\alpha\alpha^T \neq O$，故
-$$-2l + l^2k^2 = 0 \implies l(lk^2 - 2) = 0$$
-解得 $l = 0$或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
-故
-若 $\alpha = \boldsymbol{0}$（即 k = 0），则 $H = E$，显然 H 是正交矩阵，此时 $l$ 可取任意实数。
-当 k = 0（即$\alpha = \boldsymbol{0}$）时，H = E 恒为正交矩阵，$l$ 为任意实数。
-当 $k \neq 0$（即 $\alpha \neq \boldsymbol{0}$）时，H 为正交矩阵当且仅当 $l = 0 或 l = \dfrac{2}{k^2}$。
+步骤3：代入$\alpha^T\alpha = \|\alpha\|^2 = k^2$
+$$H^T H = E - 2l\alpha\alpha^T + l^2 k^2 \alpha\alpha^T$$
+
+合并同类项：
+$$H^T H = E + \left(-2l + l^2 k^2\right)\alpha\alpha^T$$
+步骤4：令 $H^T H = E$
+要使上式等于单位矩阵 E，必须满足：
+$$\left(-2l + l^2 k^2\right)\alpha\alpha^T = O$$
+
+（O 为零矩阵）
+若  $\alpha \neq 0（即 k \neq 0）$，则$\alpha\alpha^T \neq O$，因此系数必须为0：
+$$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
+
+解得$l = 0$ 或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
+若 $\alpha = 0（即 k = 0$），则 H = E，显然 E 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
+最终结论
+$$\boxed{
+\begin{aligned}
+&1.\ \text{当}\ k = 0\ \text{时，对任意实数}\ l,\ H\ \text{为正交矩阵；} \\
+&2.\ \text{当}\ k \neq 0\ \text{时，}l = 0\ \text{或}\ l = \dfrac{2}{k^2}\ \text{时，}H\ \text{为正交矩阵。}
+\end{aligned}
+}
+$$
 
 
 
@@ -52,15 +68,15 @@ $$-2l + l^2k^2 = 0 \implies l(lk^2 - 2) = 0$$
 **解析**
 证明​
 设 A为 n阶正交矩阵（n≥2），则
-$$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$$
+$$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$$
 又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：
-$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$$ 
+$$\boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{|A|}\boldsymbol{A}^*$$ 
 联立得
-$$\boldsymbol{A}\top\boldsymbol= \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$$
+$$\boldsymbol{A}^T= \frac{1}{|A|}\boldsymbol A^*$$
 正交矩阵的行列式满足 $\frac{1}{|A|} =±1$，故
-$adj(A)=(detA)AT=±AT$
-由伴随矩阵的定义，其第 (j,i)元为 aij​的代数余子式 Aij​，而 ±AT的第 (j,i)元为 ±aij​。比较对应元素得
-$$Aij​=±aij​,i,j=1,2,…,n.$$
+$A^*={|A|}A^T=±A^T$ 
+由伴随矩阵的定义，其第 (j,i)元为 $a_{ij}$​的代数余子式 $A_{ij}$​，而 $±A^T$的第 (j,i)元为 $±a_{ij}$​。比较对应元素得
+$$A_{ij}​=±a_{ij}​,i,j=1,2,…,n.$$
 证毕
 
 
@@ -77,21 +93,20 @@ $$\begin{align*}
 \boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
 \end{align*}$$
 单位化过程
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_1}{\|\boldsymbol{\alpha}_1\|}$$
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
-k=2,3,\dots,p$$
+k=1,2,3,\dots,p$$
 
 ### **例子**
 >[!example] **例1**
-已知 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ $$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
+已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
 \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
 \boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
 $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 U 的一个标准正交基。
 
-**解析**。
+**解析**：
  施密特正交化
 步骤1：正交化
-取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3
+取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\ \ 
 \boldsymbol{\gamma}_2=\boldsymbol{\beta}_2-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1$$$$\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=1,\quad
 \langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=2$$
 $$\boldsymbol{\gamma}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$$
@@ -126,7 +141,7 @@ $$\begin{cases}
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_4\rangle = 2\sqrt{6}x_1 - \sqrt{6}x_3 - \sqrt{6}x_4 = 0 \implies 2x_1 - x_3 - x_4 = 0
 \end{cases}$$
-解上述齐次方程组，基础解系，得到两个线性无关的解：
+解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解：
 $$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
 \boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
 正交化

素材/特征值与相似.md

@@ -12,7 +12,7 @@
 4. 相似矩阵特征值相等。
 
 ## 常见题型
-特征值常见的就是针对其性质进行设问
+##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问。
 1. 针对“迹”设问
 >[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
 设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为？（详解见[[特征值]]）
@@ -25,4 +25,30 @@
 >根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。
 >$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
 
---- TODO: ADD MORE. --- 
+>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题3
+已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】
+A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似.
+B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似.
+C. $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}$与$\boldsymbol{B}^2+\boldsymbol{E}$相似.
+D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymbol{B}$相似.
+
+>[!note] 解析
+>C选项是一个典型的 $f(A)\sim f(B)\ ,f(x)=x^2+1$ 结构，如果熟悉性质可以秒选
+
+##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质。
+
+>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题4
+>设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．
+
+>[!note] 解析
+>通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$,
+> $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$
+> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$。
+> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
+> $3-\mathrm{rank}(5E-A)=2$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}=1$，求得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$；
+> 而 $3-\mathrm{rank}(E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}=2$，满足条件，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$；
+> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$。
+> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
+> $3-\mathrm{rank}(E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}=1$，求得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$；
+> 而 $3-\mathrm{rank}(5E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}=2$，满足条件，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
+> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。