From 4489e65261b855d37e49cedb35463b865c4cfbd1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Fri, 23 Jan 2026 23:34:09 +0800 Subject: [PATCH 1/4] =?UTF-8?q?M=20=E7=BC=96=E5=86=99=E5=B0=8F=E7=BB=84/?= =?UTF-8?q?=E8=AE=B2=E4=B9=89/=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E5=8F=8A=E4=BA=8C?= =?UTF-8?q?=E6=AC=A1=E5=9E=8B=EF=BC=88=E8=A7=A3=E6=9E=90=E7=89=88=EF=BC=89?= =?UTF-8?q?.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md | 7 +++++-- 1 file changed, 5 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md index 5862850..233481f 100644 --- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md @@ -199,6 +199,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >1. 求特征值和特征向量； >2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵； >3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。 + +>[!bug] 问题排查 +>在求特征向量的时候，可以检查不同特征值的特征向量是否正交：如果不正交，则求得的结果一定是错误的。可以用这种方法来快速排查潜在的错误。 ##### 求标准形 1. 已知二次型（直接求） >[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题 @@ -320,9 +323,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >[!done] 该解法的底层逻辑 >记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T, C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}$， ->$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow y=C^{-1}\boldsymbol x$ +>$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow\boldsymbol y=C^{-1}\boldsymbol x$ >所以 $\boldsymbol y=C^{-1}D\boldsymbol z=\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$， ->这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列操作的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了. +>这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列变换的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了. >$f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol y^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol y=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$ >$=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&0&0\\0&4&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol z=-\dfrac{1}{2}z_1^2+4z_2^2$ From c194eb03ca5c479db8693e583df02c3537cde636 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Sat, 24 Jan 2026 00:40:20 +0800 Subject: [PATCH 2/4] =?UTF-8?q?=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E5=8F=8A=E4=BA=8C?= =?UTF-8?q?=E6=AC=A1=E5=9E=8B=20=E6=A0=A1=E5=AF=B9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../讲义/正交及二次型（解析版）.md | 10 +++++++++- 1 file changed, 9 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md index 56dd315..758b702 100644 --- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md @@ -129,6 +129,14 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$数都相同）且本身也是**实对称矩阵** > $C$ 选项的特征值与 $A$ 相同，然而, $C$ 选项的矩阵不是对称矩阵 +>[!faq] 思考 +>如果一个合同变换不改变特征值，那么这个合同变换一定是正交变换吗？ + +>[!done] 思考结论 +>**不一定！** +>举个例子：椭圆 $f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_2^2$，其矩阵为 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}$，特征值为 $1,4$； +>取变换矩阵 $P=\begin{bmatrix}2&0\\0&\frac12\end{bmatrix}$，$B=P^\mathrm TAP=\begin{bmatrix}4&0\\0&1\end{bmatrix}$，$A$ 与 $B$ 特征值相同，但是显然 $P$ 不是正交矩阵； +>从几何意义来说，我们可以这样想象：这个坐标系的 $x_1$ 轴缩短至原来的 $\frac12$， $x_2$ 轴 拉长至原来的 $2$ 倍，得到的结果是 $4y_1^2+y_2^2$，形状与原来相同（在代数上体现为特征值不变） ## 二次型 二次型，顾名思义，就是二次函数，只不过是 $n$ 元函数，当元数比较小时，我们可以清楚地画出它的图像，判断其几何形状，推得相应对的性质，然而一旦维度升高，我们是无法想象其空间几何构型的，只能从代数的角度了解其性质。因此引入二次型矩阵的概念，通过描述矩阵性质，进而得出函数的性质。 @@ -294,7 +302,7 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 ##### 抽象二次型 >[!example] 例题 ->证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A,\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$ ，$\boldsymbol A$ 的秩等于 $1$,则 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy}$ 作用下可得到标准型 $6y_1^2$. +>证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A,\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$ ，$\boldsymbol A$ 的秩等于 $1$,则 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy}$ 作用下可得到标准型 $6y_1^2$. >[!note] 证明： >$\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$，即 $\boldsymbol A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\6\\6\end{bmatrix}=6\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，于是 $6$ 是矩阵 $\boldsymbol A$ 对应向量 $\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ 的特征值，其代数重数至少为 $1$。 From 2021d3be925915cdb5556742876cea069e2d8f21 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=83=91=E5=93=B2=E8=88=AA?= Date: Sat, 24 Jan 2026 07:59:13 +0800 Subject: [PATCH 3/4] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E6=96=87?= =?UTF-8?q?=E4=BB=B6=EF=BC=9A?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md | 1 - 1 file changed, 1 deletion(-) diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md index a7024d1..70f1cfa 100644 --- a/试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md @@ -168,7 +168,6 @@ $$ \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{\mathrm{*}}\right]^{-1}BA^{-1} = 2AB + 4E, $$ -且$A^{*}\alpha = \alpha$，其中$\alpha = (1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，$A^{*}$为$A$的伴随矩阵，求二次型$x^{\mathrm{T}}Bx$的表达式。 --- From f53bce854429d3c024f505fab9ca196a586c8204 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Mon, 26 Jan 2026 10:36:20 +0800 Subject: [PATCH 4/4] =?UTF-8?q?M=20=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E8=B0=8F=E5=AD=A6?= =?UTF-8?q?=E9=AB=98=E6=95=B0=E8=80=85=E5=8D=81=E6=80=9D=E7=96=8F.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/谏学高数者十思疏.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/素材/谏学高数者十思疏.md b/素材/谏学高数者十思疏.md index 8b93d9f..9b6d18b 100644 --- a/素材/谏学高数者十思疏.md +++ b/素材/谏学高数者十思疏.md @@ -1 +1 @@ -学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；式所及，则思无以线而滥用。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。 \ No newline at end of file +学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。 \ No newline at end of file