From 8e1e0aa4fd950dc24dbbeb61cc788c12cedcdb5b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Tue, 20 Jan 2026 11:22:58 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?R=20=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E6=AD=A3=E4=BA=A4?= =?UTF-8?q?=E5=8F=8A=E4=BA=8C=E6=AC=A1=E5=9E=8B.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ...阵及二次型.md => 正交及二次型.md} | 15 +++++++++++++++ 1 file changed, 15 insertions(+) rename 素材/{矩阵及二次型.md => 正交及二次型.md} (86%) diff --git a/素材/矩阵及二次型.md b/素材/正交及二次型.md similarity index 86% rename from 素材/矩阵及二次型.md rename to 素材/正交及二次型.md index 7435b95..70c06c6 100644 --- a/素材/矩阵及二次型.md +++ b/素材/正交及二次型.md @@ -134,3 +134,18 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2 >满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$ # Section 2 实对称矩阵的正交变换与二次型 +%%TODO: 合同%% +>[!danger] 待整合 +>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等 +>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、0数都相同）且本身也是**实对称矩阵**. +>即：如果 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 合同，且 $\boldsymbol A$ 是实对称矩阵，则 $\boldsymbol B$ 也是实对称矩阵。 +>证明：$\boldsymbol B=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P \Rightarrow \boldsymbol B^\mathrm T=(\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P)^\mathrm T=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A^\mathrm T\boldsymbol P=\boldsymbol P\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P$，即 $\boldsymbol B^\mathrm T=\boldsymbol B$ + +>[!example] 例题 +>已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $\boldsymbol A$ 相似但不合同的是 +>A. $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ + +>[!note] 解析 +>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等 +>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、0数都相同）且本身也是**实对称矩阵** +>C选项的特征值与 $\boldsymbol A$ 相同，然而，C选项的矩阵不是对称矩阵