vault backup: 2026-01-18 17:06:58

素材/特征值与相似.md

@@ -30,7 +30,7 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 >>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出. 
 >
 >秩为 $1$ 的矩阵 $A$ 可以拆成 $A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^\mathrm{T}$，$\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 
->此时 $A$ 的迹为 $\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$
+>此时 $A$ 的迹为 $\displaystyle\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$
 
 >[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
 设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_
@@ -48,7 +48,8 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 >设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
 >$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
 >注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
->秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。
+>由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$.
+
 2. 针对“有理函数”设问
 >[!example] 例题3
 >已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
@@ -56,7 +57,7 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 >[!note] 解析
 >“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。”
 >根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。
->$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
+>$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $\displaystyle 0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
 
 >[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题4
 已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】