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-$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$
+设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零 $n$ 维列向量 $\xi$，使得 $A\xi = \lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。
+1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$。
+2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**。
+3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**。
+
+特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”。这一点在矩阵的相似表现的尤为明显。
+特征值最基本的性质：
+1. 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即 $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$；
+2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$。 
+3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$。
+4. 相似矩阵特征值相等。
+
+## 常见题型
+特征值常见的就是针对其性质进行设问
+1. 针对“迹”设问
+>[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
+设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为？（详解见[[特征值]]）
+2. 针对“有理函数”设问
+>[!example] 例题2
+>已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+
+>[!note] 解析
+>“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。”
+>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。
+>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
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+--- TODO: ADD MORE. --- 
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