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编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md

@@ -574,19 +574,51 @@ $AB = BA$
 (2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。
 
 >[!note] **证明：**
->(1)
->	$\because AB = 2A - B$
->	$\therefore (A + E)(B - 2E) = -2E$
->	$\therefore ( B - 2E)(A + E) = (A + E)(B - 2E)$
->	$\therefore AB = BA$
->(2)
->	设 $P^{-1}AP = \Lambda_1$，$\Lambda_1$ 为对角矩阵  
->	则 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$
->	$\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}AP$
->	设 $P^{-1}BP = \Lambda_2$
->	$\therefore \Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1$
->	与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵  
->	证毕
+>**(1)**  
+>$\because AB = 2A - B$  
+>$\therefore (A + E)(B - 2E) = -2E$  
+>$\therefore ( B - 2E)(A + E) = (A + E)(B - 2E)$  
+>$\therefore AB = BA$  
+>
+>**(2)**  
+>设 $P^{-1}AP = \Lambda_1$，$\Lambda_1$ 为对角矩阵，且其对角元素互不相同。  
+>则 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$  
+>$\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}AP$  
+>设 $P^{-1}BP = \Lambda_2$，则 $\Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1$。  
+>
+>**定理**：设 $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ 是一个 $n \times n$ 对角矩阵，且其对角元素两两互不相同（即当 $i \neq j$ 时，$\lambda_i \neq \lambda_j$）。若矩阵 $A$ 与 $D$ 可交换，即 $AD = DA$，则 $A$ 必为对角矩阵。
+>
+>**证明**：  
+>记 $A = (a_{ij})$ 为 $n \times n$ 矩阵，并记 $D$ 的对角元素为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。计算矩阵乘积 $AD$ 与 $DA$：
+>
+>1. 对于 $AD$ 的 $(i,j)$ 元素，由矩阵乘法规则，它是 $A$ 的第 $i$ 行与 $D$ 的第 $j$ 列对应元素的乘积之和。由于 $D$ 是对角矩阵，其第 $j$ 列只有第 $j$ 个元素非零，且等于 $\lambda_j$，其余元素均为零。因此：
+>$$
+>(AD)_{ij} = a_{i1} \cdot 0 + a_{i2} \cdot 0 + \dots + a_{ij} \cdot \lambda_j + \dots + a_{in} \cdot 0 = a_{ij} \lambda_j.
+>$$
+>
+>2. 对于 $DA$ 的 $(i,j)$ 元素，它是 $D$ 的第 $i$ 行与 $A$ 的第 $j$ 列对应元素的乘积之和。由于 $D$ 的第 $i$ 行只有第 $i$ 个元素非零，且等于 $\lambda_i$，其余元素均为零。因此：
+>$$
+>(DA)_{ij} = 0 \cdot a_{1j} + 0 \cdot a_{2j} + \dots + \lambda_i \cdot a_{ij} + \dots + 0 \cdot a_{nj} = \lambda_i a_{ij}.
+>$$
+>
+>由条件 $AD = DA$，对应元素相等，所以对于任意 $i,j$，有：
+>$$
+>a_{ij} \lambda_j = \lambda_i a_{ij}.
+>$$
+>移项得：
+>$$
+>a_{ij} (\lambda_j - \lambda_i) = 0.
+>$$
+>
+>当 $i \neq j$ 时，由已知 $\lambda_i \neq \lambda_j$，所以 $\lambda_j - \lambda_i \neq 0$，因此必须满足 $a_{ij} = 0$。  
+>当 $i = j$ 时，等式自然成立，对 $a_{ii}$ 没有限制。
+>
+>这表明 $A$ 的所有非对角元素（即 $i \neq j$ 时的 $a_{ij}$）都为零，因此 $A$ 是一个对角矩阵。∎
+>
+>由上述定理，因为 $\Lambda_1$ 的对角元素互不相同，且 $\Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1$，所以 $\Lambda_2$ 也是对角矩阵。  
+>因此，$B = P \Lambda_2 P^{-1}$ 可对角化，且 $A$ 和 $B$ 可同时对角化。
+>
+>**证毕**
 
 >[!example] 例题21
 设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。