From 93b4c8ac8be5618fcc02109e5a5cfefc6321b820 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Fri, 30 Jan 2026 11:50:01 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=B0=86=E8=B0=8F=E5=AD=A6=E9=AB=98=E6=95=B0?= =?UTF-8?q?=E8=80=85=E5=8D=81=E6=80=9D=E7=96=8F=E5=90=88=E5=B9=B6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/谏学高数者十思疏.md | 46 ----------------- ...元积分学（Part 1）（解析版）.md | 51 +++++++++++++++++-- 2 files changed, 47 insertions(+), 50 deletions(-) delete mode 100644 素材/谏学高数者十思疏.md diff --git a/素材/谏学高数者十思疏.md b/素材/谏学高数者十思疏.md deleted file mode 100644 index 13b66eb..0000000 --- a/素材/谏学高数者十思疏.md +++ /dev/null @@ -1,46 +0,0 @@ -学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思勿漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。 - -# 逐句解析 -##### 学高数者，诚能见等价，则思加减不能替； -等价无穷小的替换不能出现在加减法中。如果一定需要进行加减法，请改用**泰勒展开**，并留意泰勒展开的程度，你需要根据皮亚诺余项来判断需要展开到多少阶。 -##### 将有洛，则思代换以化简； -准备用洛必达的时候，先考虑能不能用等价代换来化简式子，减小求导的压力； -##### 念复合，则思勿漏层而求导； -在进行复合函数求导时，分层求导一定要彻底，不能漏掉某一层： -$f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x)$ -##### 惧积分，则思不定以加C ->[!error] 考试必考点！补药漏写常数 C 口牙！ -##### 乐微分，则思dx而莫忘； ->[!error] 考试必考点！补药漏写微分算子 dx 口牙！ -##### 忧定积，则思牛莱而相减； -定积分的牛顿-莱布尼兹公式 -##### 虑换元，则思积分上下限； -在定积分的换元时，注意上下限有没有一并换好！ -##### 惧级数，则思判别勿用错； -级数的判别需要按照以下步骤执行： -```mermaid -flowchart TD - A["开始"] --> B["$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0?$$"] - B --> |"否"| C["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 发散（必要条件）"] - B --> |"是"| D["$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$$ 是正项级数？"] - D --> |"否"| E["$$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$$ 收敛？"] - D --> |"是"| F["比较判别法；
比值/根值判别法"] - E --> |"否"| L["使用比值/根值判别法判别的$$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$$ 发散？"] - L --> |"否"| G["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 为交错级数？"] - L --> |"是"| M["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 发散"] - E --> |"是"| H["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 绝对收敛"] - G --> |"否"| I["利用级数的运算性质，
如部分和，或其他判别法"] - G --> |"是"| J["级数每一项的
绝对值单调递减？"] - J --> |"否"| I - J --> |"是"| K["莱布尼兹判别法：$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 条件收敛"] -``` - - ->[!error] 非正项级数需要写明“绝对收敛”和“条件收敛”！ -##### 项所加，则思无因忽以谬导； -在求导的时候，观察好每一项！不要漏掉了什么 -##### 拐所及，则思无因x而漏y。 ->[!error] 考试必考点！拐点是一个二维的点！！而零点、驻点等是一个一维的 $x$ 值！ -##### 总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。 -只要易错点不错，你就放心去考吧，我们已经帮你找好关系了——找的是牛顿、莱布尼兹、泰勒和柯西，我说服了他们往你的大脑注入一点他们的智慧，考试当天生效。 -最后提前祝大家过个好年！ diff --git a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md index fd15c70..1e20a53 100644 --- a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md @@ -394,8 +394,6 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
->[!bug] 待验证正确性 - 但是我们一般其实用不到这么高阶的，而低阶的不用这个公式也能比较自然地做出来，比如： >[!example] 例题 @@ -696,7 +694,7 @@ $\displaystyle\int x \ln x\mathrm dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$ $\displaystyle\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\mathrm dx = 2e^{\sqrt{x}} + C$ $\displaystyle\int \frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm dx = -2\cos\sqrt{x} + C$ >[!abstract] 练习 ->尝试推导上述公式 +>尝试推导上述公式， # 碎碎念 ### 魔法六边形 @@ -715,4 +713,49 @@ $\sin x=\frac{1}{\csc x}$，$\cos x=\frac{1}{\sec x}$ 对于每一个小倒三角 $\nabla$，三角形上边的两个角的平方和等于下面的角，用这种方法可以快速记忆三角函数平方和公式 $\tan^2 x+1=\sec^2 x, 1+\cot^2 x=\csc^2x$ ![[魔法六边形-5.svg]] -![[谏学高数者十思疏]] \ No newline at end of file + +学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思勿漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。 +# 逐句解析 +##### 学高数者，诚能见等价，则思加减不能替； +等价无穷小的替换不能出现在加减法中。如果一定需要进行加减法，请改用**泰勒展开**，并留意泰勒展开的程度，你需要根据皮亚诺余项来判断需要展开到多少阶。 +##### 将有洛，则思代换以化简； +准备用洛必达的时候，先考虑能不能用等价代换来化简式子，减小求导的压力； +##### 念复合，则思勿漏层而求导； +在进行复合函数求导时，分层求导一定要彻底，不能漏掉某一层： +$f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x)$ +##### 惧积分，则思不定以加C +>[!error] 考试必考点！补药漏写常数 C 口牙！ +##### 乐微分，则思dx而莫忘； +>[!error] 考试必考点！补药漏写微分算子 dx 口牙！ +##### 忧定积，则思牛莱而相减； +定积分的牛顿-莱布尼兹公式 +##### 虑换元，则思积分上下限； +在定积分的换元时，注意上下限有没有一并换好！ +##### 惧级数，则思判别勿用错； +级数的判别需要按照以下步骤执行： +```mermaid +flowchart TD + A["开始"] --> B["$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0?$$"] + B --> |"否"| C["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 发散（必要条件）"] + B --> |"是"| D["$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$$ 是正项级数？"] + D --> |"否"| E["$$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$$ 收敛？"] + D --> |"是"| F["比较判别法；
比值/根值判别法"] + E --> |"否"| L["使用比值/根值判别法判别的$$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$$ 发散？"] + L --> |"否"| G["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 为交错级数？"] + L --> |"是"| M["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 发散"] + E --> |"是"| H["$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 绝对收敛"] + G --> |"否"| I["利用级数的运算性质，
如部分和，或其他判别法"] + G --> |"是"| J["级数每一项的
绝对值单调递减？"] + J --> |"否"| I + J --> |"是"| K["莱布尼兹判别法：$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ 条件收敛"] +``` + + +>[!error] 非正项级数需要写明“绝对收敛”和“条件收敛”！ +##### 项所加，则思无因忽以谬导； +在求导的时候，观察好每一项！不要漏掉了什么 +##### 拐所及，则思无因x而漏y。 +>[!error] 考试必考点！拐点是一个二维的点！！而零点、驻点等是一个一维的 $x$ 值！ +##### 总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。 +只要易错点不错，你就放心去考吧，我们已经帮你找好关系了——找的是牛顿、莱布尼兹、泰勒和柯西，我说服了他们往你的大脑注入一点他们的智慧，考试当天生效。 +最后提前祝大家过个好年！