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素材/证明方阵可交换.md

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+## **通用解题框架**：$AB = kA + lB + C$型等式证明 AB=BA
+步骤1：等式变形，构造因式分解
+把给定的等式 $AB = kA + lB + C$ 整理成可以因式分解的形式。
+移项：$AB - kA - lB = C$
+凑因子：在等式两边加上 $klE$，凑出 $(A - lE)(B - kE)$
+$(A - lE)(B - kE) = C + klE$
+这样就把等式转化为两个矩阵的乘积等于一个常数矩阵的形式。
+步骤 2：证明矩阵可逆
+如果上一步得到的右边 $C + klE$ 是可逆矩阵（如单位矩阵 E、非零常数乘以 E），则：
+$(A - lE)$ 和 $(B - kE)$ 互为逆矩阵，即 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$
+若右边不是单位矩阵，但仍是可逆矩阵，同样能得到 $(A - lE)$ 与 $(B - kE)$ 可交换。
+步骤 3：展开等式，推导 AB=BA
+把步骤2得到的可交换等式 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$展开：
+$AB - kA - lB + klE = BA - lB - kA + klE$
+两边消去相同项 -kA - lB + klE，直接得到：
+AB = BA
+
+### **例子**
+>[!example] 例1（第一问)
+>设 $A, B$ 是 3 阶矩阵，$AB = 2A - B$，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个不同特征值。证明：
+(1) $AB = BA$；
+(2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。
+
+**证明：**
+
+(1) ∵ $AB = 2A - B$
+
+$$
+\therefore (A + E)(B - 2E) = -2E
+$$
+
+$$
+\therefore ( B - 2E)(A + E) = (A + E)(B - 2E)
+$$
+
+$$
+\therefore AB = BA
+$$
+
+(2) 设 $P^{-1}AP = \Lambda_1$，$\Lambda_1$ 为对角矩阵  
+则 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$
+
+$$
+\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}AP
+$$
+
+设 $P^{-1}BP = \Lambda_2$
+
+$$
+\therefore \Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1
+$$
+
+与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵  
+
+证毕
+
+>[!example] 例2（第二问）
+设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
+（1）证明 $A - E$ 可逆；
+（2）证明 $AB = BA$；
+（3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
+（4）若矩阵$$B = \begin{bmatrix}
+ 1 & -3 & 0 \\
+ 2 &  1 & 0 \\
+ 0 &  0 & 2
+\end{bmatrix}$$ 求矩阵 $A$。
+
+
+**【解】**
+
+**(1)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。  
+$$\text{……3 分}$$
+
+**(2)**  
+由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。  
+$$\text{……6 分}$$
+
+**(3)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故  
+$$
+\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).
+$$
+$$\text{……9 分}$$
+
+**(4)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故  
+$$
+A = B(B - E)^{-1}.
+$$
+已知
+$$
+B = \begin{bmatrix}
+1 & -3 & 0 \\
+2 &  1 & 0 \\
+0 &  0 & 2
+\end{bmatrix},
+$$
+则
+$$
+B - E = \begin{bmatrix}
+0 & -3 & 0 \\
+2 &  0 & 0 \\
+0 &  0 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+求逆得
+$$
+(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
+0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+于是