From 97b36b4247b2b39639fc2ad439f30948852fd9bf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Thu, 29 Jan 2026 17:18:23 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-29 17:18:23 --- .../讲义/一元积分学（Part 1）.md | 92 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 89 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md index 9d1d6fb..b42e215 100644 --- a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md +++ b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md @@ -212,9 +212,20 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n \, dx = \int_0^1 (1-t) t^n \, dt \\ >[!note] 解析 >我们可以提前代换变量，将根式消去。 >令 $t=\sqrt{x}$，则 $t^2=x,\ 2t\mathrm dt=\mathrm dx$，这样就能将根式化为整式。 ->$\displaystyle\int\mathrm e^\sqrt{x}\mathrm dx=2\int t\mathrm e^t\mathrm dt$ ->取 $u=x$： ->$\begin{align}\text{原式}&=2\int t\mathrm d\mathrm e^t\\&=2t\mathrm e^t-2\int\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2t\mathrm e^t-2\mathrm e^t+C\\&=2\mathrm e^\sqrt x(\sqrt x-1)+C\end{align}$ +>$$\begin{align}\text{原式}&=2\int t\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2\int t\mathrm d\mathrm e^t\\&=2t\mathrm e^t-2\int\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2t\mathrm e^t-2\mathrm e^t+C\\&=2\mathrm e^\sqrt x(\sqrt x-1)+C\end{align}$$ + +>[!example] 例题 +>求 $\displaystyle I=\int\dfrac{\text e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}\text dx.$ + +>[!note] 解析 +>令 $u=\arctan x$, 则 $\text dx=\sec^2u\text du.$ 则 $$\begin{aligned} +>\displaystyle I&=\int \text e^u\cos u\text du\\ +>&=\int \text e^u\text d\sin u\\ +>&=\text e^u\sin u-\int\text e^u\sin u\text du\\ +>&=\text e^u\sin u+\int \text e^u\text d\cos u\\ +>&=\text e^u\sin u+(\text e^u\cos u-\int\text e^u\cos u\text du)\\ +>&=\text e^u\sin u+\text e^u\cos u-I +>\end{aligned},$$于是 $\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\text e^u(\sin u+\cos u)=\dfrac{(x+1)\text e^{\arctan x}}{2\sqrt{x^2+1}}+C.$ >[!bug] TODO: 待补充 种类 @@ -272,8 +283,83 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n \, dx = \int_0^1 (1-t) t^n \, dt \\ >[!note] 解析 >解：TO BE CONTINUED + # Section 4 变限积分 +变限积分的意思就是这个积分的上/下限是变量。它最重要的性质就是$$\frac{\text d}{\text dx}\left(\int_a^xf(t)\text dt\right)=f(x).$$ +由此有一些推论： +1. $\displaystyle\frac{\text d}{\text dx}\left(\int^a_xf(t)\text dt\right)=-f(x);$ +2. $\displaystyle\frac{\text d}{\text dx}\left(\int_a^{\varphi(x)}f(t)\text dt\right)=f(\varphi(x))\varphi'(x);$ +3. $\displaystyle\frac{\text d}{\text dx}\left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\text dt\right)=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x).$ + +利用牛顿-莱布尼兹公式和复合函数求导法则可以证明这三点。 +变限积分的一个难点就是被积函数里出现 $x$ 时应该怎么处理。一般来说有两个处理办法： + +1. 类似 $\displaystyle\int_a^x(t+g(t))f(t)\text dt$ 的形式，可以拆开处理，即 $\displaystyle\int_a^x(x+g(t))f(t)\text dt= x\int_a^xf(t)\text dt+\int_a^xg(t)f(t)\text dt;$ +2. 类似 $\displaystyle\int_a^xf(x+t)\text dt$ 的形式，可以进行换元，令 $u=x+t$，则 $\text dt=\text du$，所以 $\displaystyle\int_a^xf(x+t)\text dt=\int_{x+a}^{2x}f(u)\text du.$ + +上面两种类型并没有穷尽所有的可能，只是抛砖引玉，实际可能的变形是有很多的。 +
+>[!example] 例题 +>已知函数 $$f_n(x)=\int_0^xt^2(1-t)\sin^{2n}t\text dt,\qquad x\in(-\infty,+\infty),$$其中 $n$ 为正整数。 +>（1）证明：对任意正整数 $n$，函数 $f_n(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值； +>（2）记 $a_n=f_n(1),n=1,2,\cdots$，试判断级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 的敛散性。 + +>[!note] 解析 +>（1）$f'_n(x)=x^2(1-x)\sin^{2n}x$，令 $f'_n(x)=0$，得 $x=0,1,\pm n\pi(n=1,2,\cdots)$ +>当 $x\lt1$ 时，$x^2\gt0$，$1-x\gt0$，$\sin^{2n}x\gt0$，故 $f'_n(x)\gt0$；当 $x\gt1$ 时，$x^2\gt0$，$1-x\lt0$，$\sin^{2n}x\gt0$，故 $f'_n(x)\lt0$。因此 $f_n(x)$ 在 $x=1$ 左侧递增，右侧递减，从而 $x=1$ 为 $f_n(x)$ 的极大值点，也是最大值点。 +> +>（2）当 $t\in[0,1]$ 时，有 $0\leqslant\sin t\leqslant t$，故$$\begin{aligned} +>0\leqslant a_n +>&=\int_0^1t^2(1-t)\sin^{2n}t\text dt\\ +>&\leqslant\int_0^1t^{2n+2}(1-t)\text dt\\ +>&=\frac{t^{2n+3}}{2n+3}\bigg|_0^1-\frac{t^{2n+4}}{2n+4}\bigg|_0^1\\ +>&=\frac{1}{(2n+3)(2n+4)}. +>\end{aligned}$$ +>又$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+3)(2n+4)}{n^2}=4,$$由比较判别法知 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n+3)(2n+4)}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛。 + +>[!example] 例题 +>已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，且 +$$\int_0^x t f(x-t) \, \mathrm{d}t = x^3 - \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t.$$ +(1) 验证：$f'(x) + f(x) = 6x$ 且 $f(0) = 0$；（5 分） +(2) 计算定积分 $\displaystyle \int_0^1 \text e^x f(x) \, \mathrm{d}x$。（3 分） + +>[!note] 解析 +>（1）令 $u=x-t$，则$$\begin{aligned} +>-\int_x^0(x-u)f(u)\text du +>&=x\int_0^xf(u)\text du-\int_0^xuf(u)\text du\\ +>&=x^3-\int_0^xf(t)\text dt\\ +>&=x^3-\int_0^xf(u)\text du +>\end{aligned},$$ +>两边求导得$$\int_0^xf(u)\text du+xf(x)-xf(x)=\int_0^xf(u)\text du=3x^2-f(x),\qquad(*)$$ +>再求导得$f'(x) + f(x) = 6x.$ 在 $(*)$ 式中令 $x=0$ 得 $f(0)=0.$ +>（2） +>**解1：** 考虑不定积分 $\displaystyle \int \text e^xf(x)\text dx.$ 用分部积分法得$$\begin{aligned} +>\int \text e^xf(x)\text dx +>&=\int f(x)\text d\text e^x\\ +>&=\text e^xf(x)-\int f'(x)\text e^x\text dx\\ +>&=\text e^xf(x)-\int (6x-f(x))\text e^x\text dx\\ +>&=\text e^xf(x)-6(x-1)\text e^x+\int \text e^xf(x)\text dx +>\end{aligned},$$于是 $\text e^xf(x)=6(x+1)\text e^x+C.$ 由 $f(0)=0$ 知 $C=6,$ 故 $\text e^xf(x)=6(x+1)\text e^x+6.$ +>从而 $\displaystyle \int_0^1\text e^xf(x)\text dx=6(x+2)\text e^x\big|_0^1+6x\big|_0^1=18\text e-6.$ +> +>**解2：** 令 $g(x) = \text e^x f(x)$，则 $g(0)=0$，且$$g'(x) = \text e^x [f'(x)+f(x)] = 6x \text e^x.$$ +积分得$$g(x) = \int 6x \text e^x \, \mathrm{d}x = 6(x-1)\text e^x + C.$$ +代入 $g(0)=0$ 得 $0 = 6(0-1) + C$，即 $C=6$，所以$$g(x) = 6(x-1)\text e^x + 6. +$$于是$$\begin{aligned} +\int_0^1 \text e^x f(x) \, \mathrm{d}x +&= \int_0^1 \left[ 6(x-1)\text e^x + 6 \right] \, \mathrm{d}x \\ +&= \left[ 6(x-2)\text e^x + 6x \right]_0^1 \\ +&= ( -6\text e + 6) - (-12) \\ +&= 18 - 6\text e. +\end{aligned}$$ + +>[!summary] 题后总结 +>第一问需要用到两个东西：（1）换元，把函数里的 $x$ 拿到函数外面来；（2）定积分的值与被积变量无关。第二点很容易被忘记。 +>第二问的两种解法都是有来头的。 +>解法1源自分部积分法，如果你尝试对需要求的定积分进行分部积分法，然后再用第一问的结论带进去，就会发现 $\displaystyle\int_0^1\text e^xf(x)\text dx$ 这一项被消掉了，这时如果你相对敏锐一点就会想到——这一项在不定积分中也会被消掉！这样我们就可以直接求出 $f(x)$ 的表达式了，再求定积分自然不在话下。剩下要注意就是不要忘记积分常数。 +>解法2的思路类似于微分中值定理的题。我们看第一问的结论 $f'(x) + f(x) = 6x$，是不是很像微分中值定理中我们要凑的 $(\text e^xf(x))'$？这样就产生了第二种思路。后面的过程中仍然要注意不要忘记积分常数。 + # Section 5 与积分相关的不等式证明 ## Extra. 常用积分公式速记 ### 一、基本初等函数积分