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@ -250,6 +250,17 @@ $$ y‘ = \frac{1}{1+\sin^2 x} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2
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$$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
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注意：不要漏写 $dx$ ！
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## **Vol.2等价无穷小问题**
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注意，等价无穷小只能用于乘除，用于加减虽然有时也会得到正确的答案，但这并不是有保证的。归根到底这是因为等价无穷小是一种**近似**，在乘除中它的近似程度还可以用，但在加减中就未必了，加减中我们需要更精确的近似方法：泰勒展开。另外重要极限也是等价无穷小的两种特殊情况。
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>[!example] 例题
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>求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$.
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**解**：如果直接用$tanx\sim x,sinx\sim x(x\to0)$的话，分子就会变成$0$，从而极限为$0$.
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然而从另一个角度看，$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx-sinxcosx}{x^3cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^3}\cdot \frac{1}{cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.$$
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两个似乎都有道理，那么到底那个是对的呢？学了泰勒展开之后，我们会知道第二种才是正确的.再看看函数图像我们也能明白这一点.
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![[易错点-等价无穷小.png]]
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## Vol. 3:可去间断点的说明
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>[!example] 例2
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@ -419,6 +430,19 @@ $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
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- 那意味着 $∣a_n∣$ 不趋于 0（实际上 $∣a_n∣$ 递增并且远离 0），
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- 因此 $a_n$ 也不趋于 0，
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- 所以$a_n$ 发散。
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## **Vol.7 分段函数分段点处求导问题**
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分段函数分段点处无论是求导还是判断连续都必须从**左右两边的极限**分别去算，而且计算的时候一定只能**用定义**。
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>[!example] 例题
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>设$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x ,\ \ x\le1 \\ x^2, \ \ x>1,\end{cases}$则$f(x)$在$x=1$处的\[ \].
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>（A）左右导数都存在 （B）左导数存在，右导数不存在
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>（C）左导数不存在，右导数存在 （D）左右导数都不存在
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**解：**$f(1)=\frac{2}{3},f'_-(1)=\lim\limits_{x\to1^-}\frac{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3},f'_+(1)=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=+\infty$,故左导数存在，右导数不存在，选$B$.
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## **Vol.8绝对收敛级数**
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绝对收敛的级数满足加法交换律，也就是说，交换各项的顺序不会导致最后结果的改变。但条件收敛的级数是不满足交换律的，改变加法的顺序可能会导致最后结果的改变，甚至可能使原本收敛的级数变成发散级数。这一点了解就行，不会出题目给大家考。
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## Vol. 9: 反函数求导
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易错：变量混淆。反函数的导数 = 原函数导数的倒数，但**自变量和因变量角色互换**。
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这一点，大家都明白，但是一写在答题卡上就错了😂。
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